2016年26省聯(lián)考高考數(shù)學(xué)文科模擬試卷（乙卷）含答案解析

第 1 頁（共 24 頁） 2016 年 “超級全能生 ”26 省聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（乙卷）（文科） 一、選擇題（本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) 的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知 ，則 AB=（ ） A B C D 3根據(jù)如下的樣本數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 5 6 7 y 到的回歸方程為 y=bx+a，則（ ） A a 0， b 0 B a 0， b 0 C a 0， b 0 D a 0， b 0 4點(diǎn) A 是 O 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B 是 O 內(nèi)的定點(diǎn)（不與點(diǎn) O 重合） 直平分 Q，交 點(diǎn) P，則點(diǎn) P 的軌跡是（ ） A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線 5若函數(shù) f（ x）同時(shí)滿足以下三個(gè)性質(zhì)： f（ x）的最小正周期為 ； 對任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0； f（ x）在（ ， ）上是減函數(shù)，則 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） = f（ x） = f（ x） =x+ ） D f（ x） =已知點(diǎn) A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 2），若 1 2， 2 3，則 的取值范圍是（ ） A 1， 10 B C 1， 5 D 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 k 的值為（ ） 第 2 頁（共 24 頁） A 4 B 5 C 6 D 7 8設(shè) x， y 滿足約束條件 ，且 z=ax+y 的最大值為 4，則 a=（ ） A 2 B C 2 D 4 9如圖所示，某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A B 4 C 3 D 2 10定義在（ 0， +）上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x） x），且 f（ 2） =4，則不等式 f（ x） 2x 0 的解集為（ ） A（ 2， +） B（ 0， 2） C（ 0， 4） D（ 4， +） 11已知拋物線 C： x 的焦點(diǎn)為 F， P， Q 是拋物線 C 的兩點(diǎn)，且 ，弦 中點(diǎn) E 在準(zhǔn)線上的射影為 H，則 的最大值為（ ） A 1 B C D 2 12如圖， M 是正方 體 角線 的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作垂直于面 、 Q 兩點(diǎn)，設(shè) AM=x， PQ=y，則函數(shù) y=f（ x）的圖象大致為（ ） 第 3 頁（共 24 頁） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小 題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在答題卷的橫線上 . 13已知 p： x m， q： |x 2| 1，若 p 是 q 的必要不充分條件，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 14某校從五月開始，要求高三學(xué)生下午 2： 30 前到校，加班班主任李老師下午每天到校，假設(shè)李老師和小紅同學(xué)在下午 2： 00 到 2： 30 之間到校，且每人在該段時(shí)間到校都是等可能的，則小紅同學(xué)比李老師至少早 5 分鐘到校的概率為 15已知點(diǎn) O 為 一點(diǎn)，滿足 ，若，則 16直線 l 平面 ，垂足是點(diǎn) P，正四面體 棱長為 2，點(diǎn) O 在平面 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) P 到直線 距離的最大值為 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 2Sn+an=n+2， n N* （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2）求數(shù)列 n（ n） 的前 n 項(xiàng)和 18某校高安文科 600 名學(xué)生參加了 12 月的模擬考試，學(xué)校為 了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、外語請客，利用隨機(jī)數(shù)表法從抽取 100 名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將學(xué)生編號為 000， 001，002， 599 （ 1）若從第 6 行第 7 列的數(shù)開始右讀，請你一次寫出最先抽出的 5 個(gè)人的編號（下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第 4 恒值第 7 行）； 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （ 2）抽出的 100 名學(xué)生的數(shù)學(xué)、外語成績?nèi)缦卤恚?外語 優(yōu) 良 及格 數(shù)學(xué) 優(yōu) 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 若數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率為 35%，求 m， n 的值； （ 3）在外語成績?yōu)榱嫉膶W(xué)生中，已知 m 12， n 10，求數(shù)學(xué)成績優(yōu)比良的人數(shù)少的概率 第 4 頁（共 24 頁） 19已知三棱錐 P 平面 C= 0， D、 E 分別是 C 的中點(diǎn)， 邊長為 2 的等邊三角形， O 為它的中心， ， C 的中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求 平面 成角的正弦值 20已知 為橢圓 C 的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) 在橢圓C 上 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）過 直線交橢圓 C 與 A、 B 兩點(diǎn)，圓 M 為 內(nèi)切圓，求圓 M 的面積的最大值 21已知函數(shù) f（ x） = 1）當(dāng) x 1 時(shí)，若 f（ x） a（ x 1）恒成立，求 a 的取值范圍； （ 2）求證：當(dāng) n 2 且 n N*時(shí)， 請考生在第（ 22）、（ 23）（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑，把答案填在答題卡上【選修 4何證明選講】 22已知 圓 O 的直徑， N， N 為 中點(diǎn)， 交于點(diǎn) M，切線 延長線交于點(diǎn) F （ 1）求證： M； （ 2）若圓 O 的半徑為 1，求 長 【選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程】 第 5 頁（共 24 頁） 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 為參數(shù)），以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，直線 （ 1）求曲線 C 與直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若 P、 Q 分別為曲線 C 與直線 l 上的兩動(dòng)點(diǎn)，求 |最小值以及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo) 【選修 4等式選講】 24已知 （ 1）比較 f（ 3）與 的大?。?（ 2）求證： 第 6 頁（共 24 頁） 2016 年 “超級全能生 ”26 省聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（乙卷）（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) 的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算化簡求解即可 【解答】 解：復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) = =1 i，對應(yīng)點(diǎn)為：（ 1， 1）在第四象限 故選： D 2已知 ，則 AB=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分 析】 先分別求出集合 A 和集合 B，由此能求出 AB 【解答】 解： ， A=x|1 x 3， B=y| ， AB=x|1 =（ 1， ） 故選： C 3根據(jù)如下的樣本數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 5 6 7 y 到 的回歸方程為 y=bx+a，則（ ） A a 0， b 0 B a 0， b 0 C a 0， b 0 D a 0， b 0 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 已知中的數(shù)據(jù)，可得變量 x 與變量 y 之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，且 x=0 時(shí)， a 0，進(jìn)而得到答案 【解答】 解：由已知中的數(shù)據(jù)，可得變量 x 與變量 y 之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，故 b 0， 當(dāng) x=0 時(shí)， a 0， 故選： B 第 7 頁（共 24 頁） 4點(diǎn) A 是 O 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B 是 O 內(nèi)的定點(diǎn)（不與點(diǎn) O 重合） 直平分 Q，交 點(diǎn) P，則點(diǎn) P 的軌跡是（ ） A直線 B圓 C橢 圓 D雙曲線 【考點(diǎn)】 軌跡方程 【分析】 由題意可得， 線段 中垂線， O=O=半徑 R（ R 由橢圓的定義可得，點(diǎn) P 的軌跡為橢圓 【解答】 解：由題意可得， 線段 中垂線， B， O=O=半徑 R， 即點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) O、 B 的距離之和等于定長 R（ R 由橢圓的定義可得，點(diǎn) P 的軌跡為橢圓， 故選： C 5若函數(shù) f（ x）同時(shí)滿足以下三個(gè)性質(zhì)： f（ x）的最小正周期為 ； 對任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0； f（ x）在（ ， ）上是減函數(shù)，則 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） = f（ x） = f（ x） =x+ ） D f（ x） =考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合題意的三個(gè)性質(zhì)逐個(gè)排除可得 【解答】 解：四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)均滿足： f（ x）的最小正周期為 ； f（ x）在（ ， ）上是減函數(shù)，可排除 C； 對任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0， 用 x+ 替換式中的 x 可得 f（ x ） +f（ x ） =0， 即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱，可排除 驗(yàn)證可得 A 符合題意 故選： A 6已知點(diǎn) A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 2），若 1 2， 2 3，則 的取值范圍是（ ） A 1， 10 B C 1， 5 D 【考點(diǎn)】 向量的 模 【分析】 用坐標(biāo)表示出 + 以及模長，根據(jù) 、 的取值范圍，轉(zhuǎn)化為不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最值問題，即可求出答案 【解答】 解： =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， + =（ ， ）， | + |= ； 又 1 2， 2 3， 第 8 頁（共 24 頁） 、 滿足不等式組 ， 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的矩形 其內(nèi)部區(qū)域， 其中 C（ 2， 2）， D（ 2， 3）， E（ 1， 3）， F（ 1， 2）， 則區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為 |2， 最 大值為 | = ； 的取值范圍是 2， 故選： D 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 k 的值為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點(diǎn)】 程序框圖 【 分析】 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出輸出不滿足條件 S=0+1+2+8+ 100 時(shí)， k+1 的值 【解答】 解：分析程序中各變量、各語句的作用， 再根據(jù)流程圖所示的順序， 可知：該程序的作用是： 輸出不滿足條件 S=0+1+2+8+ 100 時(shí)， k+1 的值 第 9 頁（共 24 頁） 第一次運(yùn)行：滿足條件， s=1， k=1； 第二次運(yùn)行：滿足條件， s=3， k=2； 第三次運(yùn)行：滿足條件， s=11 100， k=3；滿足判斷框的條件，繼續(xù)運(yùn)行， 第四次運(yùn)行： s=1+2+8+211 100， k=4，不滿足判斷框的條件，退出循環(huán) 故最后輸出 k 的值為 4 故選： A 8設(shè) x， y 滿足約束條件 ，且 z=ax+y 的最大值為 4，則 a=（ ） A 2 B C 2 D 4 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由題意可得最值只能在兩直線的交點(diǎn)取到，解方程組代點(diǎn)可得 a 的方程，解方程結(jié)合圖象驗(yàn)證可得 【解答】 解：由題意可得約束條件 所對應(yīng)的區(qū)域 為 兩直線 3x+2y=7 和 4x y=a 所夾的角形的無限區(qū)域， 故最值只能在交點(diǎn)取到，解方程組可得 ， 代入計(jì)算可得 a + =4，解得 a=2 或 a= 4， 經(jīng)驗(yàn)證當(dāng) a=2 時(shí)， z=ax+y 取最大值 4，當(dāng) a= 4 時(shí)， z=ax+y 取最小值 4， 故選： A 9如圖所示，某幾何體的三視圖，則該幾何 體的體積為（ ） 第 10 頁（共 24 頁） A B 4 C 3 D 2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體為： 平面 平面 接幾何體的體積 V=E 可得出 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體為： 平面 平面 連接 該幾何體的體積 V=E + = + =2 10定義在（ 0， +）上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x） x），且 f（ 2） =4，則不等式 f（ x） 2x 0 的解集為（ ） A（ 2， +） B（ 0， 2） C（ 0， 4） D（ 4， +） 【考點(diǎn)】 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 的關(guān)系 【分析】 構(gòu)造函數(shù) g（ x） = ，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求不等式 【解答】 解：設(shè) g（ x） = ， 則 g（ x） = ， f（ x） x）， g（ x） 0 即當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞減， f（ 2） =4， 第 11 頁（共 24 頁） g（ 2） = =2， 則不等式 f（ x） 2x 0 等價(jià)為 g（ x） g（ 2）， 即 0 x 2， 則不等式 f（ x） 2x 0 的解集為（ 0， 2） 故選： B 11已知拋物線 C： x 的焦點(diǎn)為 F， P， Q 是拋物線 C 的兩點(diǎn)，且 ，弦 中點(diǎn) E 在準(zhǔn)線上的射影為 H，則 的最大值為（ ） A 1 B C D 2 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系 【分 析】 由題意可知， P， Q 到拋物線： x 的準(zhǔn)線的距離為 據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得丨 = （丨 +丨 ），在 ，根據(jù)余弦定理丨 2 丨 2+丨 2丨 丨 ， =+ ，由基本不等式的性質(zhì)可知 1，即可求得 1，求得 的最大值 【解答】 解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn) P 到拋物線 C： x 的準(zhǔn)線的距離為 Q 到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為 則丨 = （ d1+= （丨 +丨 ）， 在 ，根據(jù)余弦定理得：丨 2=丨 2+丨 2 2 丨 丨 =丨 2+丨 2丨 丨 ， = =+ ， 由均值不等式，丨 2+丨 2 2 丨 丨 ， 則 1，那么 1，當(dāng)且僅當(dāng)丨 =丨 時(shí)等號成立 故答案為： A 第 12 頁（共 24 頁） 12如圖， M 是正方體 角線 的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作垂直于面 、 Q 兩點(diǎn)，設(shè) AM=x， PQ=y，則函數(shù) y=f（ x）的圖象大致為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 根據(jù)題意和正方體的特征，分析點(diǎn) P 動(dòng)的過程中， x 隨著 y 變化情況以及變化速度，結(jié)合正方體的對稱性質(zhì)可求 【解答】 解：設(shè)正方體的棱長為 1， AM=x 0， ， PQ=y 0， ， 底面上的射影平行于 最大值為 從而當(dāng) P 在 時(shí)， O 為 中點(diǎn)，分別過 M、 Q、 P 作底面的 垂線，垂足分別為 1、 則 y=1x = x 而當(dāng) P 在 時(shí)，然后 x 變大 y 變小，直到 y 變?yōu)?0，根據(jù)對稱性可知此時(shí) y=2 x， 故函數(shù) y= ， 結(jié)合所給的答案， 第 13 頁（共 24 頁） 故選： C 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在答題卷的橫線上 . 13已知 p： x m， q： |x 2| 1，若 p 是 q 的必要不充分條件，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 3， +） 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由 |x 2| 1 得 1 x 2 1 得 1 x 3， 若 p 是 q 的必要不充分條件， 則 m 3， 故答案為： 3， +） 14某校從五月開始，要求高三學(xué)生下午 2： 30 前到校，加班班主任李老師下午每天到校，假設(shè)李老師和小紅同學(xué)在下午 2： 00 到 2： 30 之間到校，且每人在該段時(shí)間到校都是等可能的，則小紅同學(xué)比李老師至少早 5 分鐘到校的概率為 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 設(shè)小紅和老師到校的時(shí)刻分別為 x 和 y，由題意可得 0 x 30， 0 y 30，小紅同學(xué)比李老師至少早 5 分鐘到?？傻?0 x 30， 0 y 30 且 y x 5，作出平面區(qū)域，由幾何概型概率公式可得 【解答】 解：設(shè)小紅和老師到校的時(shí)刻分別為 x 和 y， 則由題意可 得 0 x 30， 0 y 30， 小紅同學(xué)比李老師至少早 5 分鐘到校， 則 0 x 30， 0 y 30 且 y x 5， 數(shù)形結(jié)合可得 P= = ， 故答案為： 第 14 頁（共 24 頁） 15已知點(diǎn) O 為 一點(diǎn)，滿足 ，若，則 2 【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用 【分析】 以 O 為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) OB=x， OC=y，求出 ， 的坐標(biāo)，代入 列出方程組解出 【解答】 解：以 x 軸， O 為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則 ，設(shè)OB=x， OC=y，則 B（ x， ）， C（ ， ）， A（ 4， 0） =（ 4， 0）， =（ x， ）， =（ ， ） ， ，解得 x=2 故答案為： 2 16直線 l 平面 ，垂足是點(diǎn) P，正四面體 棱長為 2，點(diǎn) O 在平面 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) P 到直線 距離的最大值為 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 【分析】 P 到 距離為四面體上以 直徑的球面上的點(diǎn)到 距離，最大距離為球心的距離（即 公垂線） +半徑 【解答】 解：由題意，直線 動(dòng)點(diǎn) P 的空間關(guān)系： 點(diǎn) P 是以 直徑的球面上的點(diǎn)， P 到 距離為四面體上以 直徑的球面上的點(diǎn)到 距離， 最大距離為 球心的距離（即 公垂線） +半徑， 正四面體 棱長為 2， 公垂線長為： = ， 以 直徑的球的半徑 r=1， 第 15 頁（共 24 頁） 點(diǎn) P 到直線 距離的最大值為 故答案為： 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 2Sn+an=n+2， n N* （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2）求數(shù)列 n（ n） 的前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）由 2Sn+an=n+2， n N*，可得 2a1+2+2，解得 n 2 時(shí)，可得：2an+1=2n+1，變形為 n= ，再 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 （ 2）利用 “錯(cuò)位相減法 ”與等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 2Sn+an=n+2， n N*， 2a1+2+2，解得 當(dāng) n 2 時(shí)， 21+1=（ n 1） 2+2（ n 1） +2，可得： 2an+1=2n+1， 化為 n= ， 數(shù)列 n是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為 n= ， 可得 an=n+2 （ 2） n（ n） = 數(shù)列 n（ n） 的前 n 項(xiàng)和 ， =2 ， = ， 第 16 頁（共 24 頁） + + + n = n = 18某校高安文科 600 名學(xué)生參加了 12 月的模擬考試，學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、外語請客，利用隨機(jī)數(shù)表法從抽取 100 名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將學(xué)生編號為 000， 001，002， 599 （ 1）若從第 6 行第 7 列的數(shù)開始右讀，請你一次寫出最先抽出的 5 個(gè)人的編號（下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第 4 恒值第 7 行）； 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （ 2）抽出的 100 名學(xué)生的數(shù)學(xué)、外語成績?nèi)缦卤恚?外語 優(yōu) 良 及格 數(shù)學(xué) 優(yōu) 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 若數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率為 35%，求 m， n 的值； （ 3）在外語成績?yōu)榱嫉膶W(xué)生中，已知 m 12， n 10，求數(shù)學(xué)成績優(yōu)比良的人數(shù)少的概率 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 （ 1）利用隨機(jī)數(shù)表法能求出最先抽出的 5 人的編號 （ 2）由頻率 = ，能求出 m， n （ 3）由題意 m+n=35，且 m 12， n 10，由此利用列舉法能求出數(shù)學(xué)成績優(yōu)比良的人數(shù)少的概率 【解答】 解：（ 1）從第 6 行第 7 列的數(shù)開始右讀，最先抽出的 5 人的編號依次為： 544， 354， 378， 520， 384 （ 2）由 ，解得 m=18， 8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，解得 n=17 （ 3）由題意 m+n=35，且 m 12， n 10， 滿足條件的（ m， n）有： （ 12， 23），（ 13， 22），（ 14， 21），（ 15， 20），（ 16， 19），（ 17， 18），（ 18， 17）， （ 19， 16），（ 20， 15），（ 21， 14），（ 22， 13），（ 23， 12），（ 24， 11），（ 25， 10），共 14 種， 且每種出現(xiàn)都是等可能的， 記 “數(shù)學(xué)成績優(yōu)比良的人數(shù)少 ”為事件 M， 則事件 M 包含的基本事件有：（ 12， 23），（ 13， 22），（ 14， 21），（ 15， 20），（ 16， 19），（ 17，18），共 6 種， 第 17 頁（共 24 頁） P（ M） = 19已知 三棱錐 P 平面 C= 0， D、 E 分別是 C 的中點(diǎn)， 邊長為 2 的等邊三角形， O 為它的中心， ， C 的中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求 平面 成角的正弦值 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中點(diǎn) G，連結(jié) 而平面 平面此能證明 平面 （ 2）取 中點(diǎn) H，連結(jié) 平面 H 作 M，連結(jié) H 作 N，連結(jié) 平面 成的角，由此能求出 成角的正弦值 【解答】 證明：（ 1）取 中點(diǎn) G，連結(jié) D 是 中點(diǎn)， F 為 中點(diǎn)， 又 E 為 中點(diǎn)， 又 F=F， 平面 平面 平面 解：（ 2）取 中點(diǎn) H，連結(jié) 平面 過 H 作 M，連結(jié) 平面 平面 平面 過 H 作 N，即 平面 連結(jié) 平面 成的角， 在等腰 ，設(shè) ，則 ， ， ， 即 在 ， H 在 ， ， = ，即 ， 在 ， = ， 平面 成角的正弦值為 第 18 頁（共 24 頁） 20已知 為橢圓 C 的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) 在橢圓C 上 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）過 直線交橢圓 C 與 A、 B 兩點(diǎn)，圓 M 為 內(nèi)切圓，求圓 M 的面積的最大值 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ 1）由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， c= ， + 在橢圓 入橢圓方程即可求得 a 和 b 的值，求得橢圓方程； （ 2）過 直線斜率不為 0，設(shè) l： x=，并代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得 y1+y1用弦長公式求得丨 ，點(diǎn)到直線的距離公式求得 l 的距離，利用三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)求得 S 大值，即可求得切圓 M 的面積最大值 【解答】 解：（ 1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （ a b 0）， 由 c= ， +點(diǎn) 在橢圓 C 上， ，即 ， ， ； （ 2）過 直線斜率不為 0，設(shè) l： x=，與 A（ B（ 將直線代入橢圓 得： （ ） 1=0， 第 19 頁（共 24 頁） y1+， y1， 丨 = = = ， 點(diǎn) ， 0）到 l： x=，的距離為 d= ， S = =4 ， =4 4 =2， 當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 m= 時(shí)取等， 設(shè)內(nèi)切圓 M 的半徑為 r，則 S 4a=4r=2，即 ， 即內(nèi)切圓 M 的面積最大值為： S 圓 21已知函數(shù) f（ x） = 1）當(dāng) x 1 時(shí)，若 f（ x） a（ x 1）恒成立，求 a 的取值范圍； （ 2）求證：當(dāng) n 2 且 n N*時(shí)， 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用 【分析】 （ 1）原不等式可化為 a（ x 1），從而討論 x=1 與 x 1 時(shí)不等式成立的條件即可； （ 2）根據(jù) （ x 1），令 x= （ n 2 且 n N*），即 ，通 過賦值疊加即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） a（ x 1）（ x 1）可化為 a（ x 1）， 當(dāng) x=1 時(shí)， 0 0，顯然成立； 當(dāng) x 1 時(shí)，不等式可化為 a ， 令 g（ x） = ， g（ x） = = ， 令 h（ x） =x 1， h（ x） =1 ， 故 h（ x） =x 1 在（ 1， +）上是增函數(shù)， 故 x 1 1 0 1=0， 第 20 頁（共 24 頁） 故 g（ x） = 0； 故 g（ x） = 在（ 1， +）上是增函數(shù)，且 =1， 故 a 1； （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)： （ x 1）， 令 x= （ n 2 且 n N*），即 ， 得： n 1） ， n 1） n 2） ， n 2） n 3） ， ， ， 上述各式相加得： + + + ， 即當(dāng) n 2 且 n N*