2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 一元二次方程.doc

2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 一元二次方程【例1】已知：關(guān)于的方程求證：取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱求二次函數(shù)的解析式；已知一次函數(shù)，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立；在條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對(duì)稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個(gè)一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個(gè)一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，0）。根據(jù)這個(gè)信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號(hào)，也必須過該點(diǎn)。于是通過代點(diǎn)，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個(gè)不等式,最終分析出a為何值時(shí)不等式取等號(hào),于是可以得出結(jié)果.【解析】解：（1）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得， （不要遺漏）當(dāng)，原方程有實(shí)數(shù)根. 當(dāng)時(shí)，原方程為關(guān)于的一元二次方程， .原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會(huì)是完全平方式，大家注意就是了） 綜上所述，取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根. （2）關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，.（關(guān)于Y軸對(duì)稱的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0）拋物線的解析式為. ，（判斷大小直接做差）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）. （3）由知，當(dāng)時(shí)，.、的圖象都經(jīng)過. （很重要，要對(duì)那個(gè)等號(hào)有敏銳的感覺）對(duì)于的同一個(gè)值，的圖象必經(jīng)過. 又經(jīng)過，. （巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計(jì)算）設(shè).對(duì)于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，.又根據(jù)、的圖象可得 ，.（a0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）. .而.只有，解得.拋物線的解析式為. 【例2】關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是否存在與拋物線只交于點(diǎn)的直線，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。第二問給點(diǎn)求解析式，比較簡(jiǎn)單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)閥=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.【解析】：（1）由題意得 解得 解得 當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. （2）由題意得 解得（舍） (始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為0) （3）拋物線的對(duì)稱軸是 由題意得 (關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握) 與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn) (這種情況考試中容易遺漏) 另設(shè)過點(diǎn)的直線（） 把代入，得， 整理得有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 解得 綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點(diǎn)（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒有，請(qǐng)說明理由；（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與軸無交點(diǎn)，求的最小值【思路分析】 拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點(diǎn)，然后建立二元方程組，十分麻煩，計(jì)算量大，浪費(fèi)時(shí)間并且可能出錯(cuò)。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。而拋物線只有一個(gè)未知系數(shù)，所以輕松寫出對(duì)稱軸求出b。 第二問依然是判別式問題，比較簡(jiǎn)單。第三問考平移，也是這類問題的一個(gè)熱點(diǎn)，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的變化，即左加右減(單獨(dú)的x),上加下減(表達(dá)式整體)然后求出結(jié)果?！窘馕觥?1)因?yàn)辄c(diǎn)P 、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱并且到對(duì)稱軸距離相等所以，拋物線對(duì)稱軸，所以，（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0因?yàn)椋?168=80所以，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別是 ，（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位后的解析式為若使拋物線的圖象與軸無交點(diǎn)，只需 無實(shí)數(shù)解即可由=0，得又是正整數(shù)，所以得最小值為2【例4】已知拋物線，其中是常數(shù)（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），求此拋物線的解析式【思路分析】本題第一問較為簡(jiǎn)單，用直接求頂點(diǎn)的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個(gè)關(guān)于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點(diǎn)式,節(jié)省了時(shí)間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點(diǎn)的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點(diǎn)的可能取值.（1）依題意，得， 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，的根是整數(shù)是整數(shù)，是整數(shù) 是整數(shù)的完全平方數(shù)， (很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手)取1，4，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 的值為2或 拋物線的解析式為或【例5】 已知：關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個(gè)固定點(diǎn)；（3）若是整數(shù)，且關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式【思路分析】本題第一問比較簡(jiǎn)單，直接判別式0就可以了，依然不能遺漏的是m10。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點(diǎn)既是求一個(gè)和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值.對(duì)于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對(duì)其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=(mxx1)(x+1)就可以看出當(dāng)x=1時(shí),Y=0，而這一點(diǎn)恰是拋物線橫過的X軸上固定點(diǎn).如果想不到因式分解,由于本題固定點(diǎn)的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個(gè)根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因?yàn)榈诙栔幸亚蟪隽硪桓?所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡(jiǎn)單.解：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, ,