高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析空間向量.doc

2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：7.3空間向量一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示（一）用向量法證明平行、垂直相關(guān)鏈接1.用向量證明線面平行的方法有：(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.2.用向量法證垂直問(wèn)題(1)證明線線垂直,只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0;(2)證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明面面垂直,只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.3利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線,直線與平面，平面與平面的平行和垂直.（1）設(shè)直線的方向向量為直線的方向向量為則（2）設(shè)直線l的方向向量為平面的法向量為則（3）設(shè)平面的法向量為平面的法向量則例題解析例如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角.(1)求證:CM平面PAD;(2)求證:平面PAB平面PAD.思路解析：題目中存在從點(diǎn)C出發(fā)的三條兩兩垂直的直線,故可建立空間直角坐標(biāo)系,用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線面平行,線線垂直,面面垂直.解答：以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD,PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC=30.PC=2,BC=,PB=4.D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M(),=(0,-1,2),=(,3,0),=(),（1）令為平面PAD的一個(gè)法向量，則即令y=2,得（2）取AP的中點(diǎn)E，則（二）異面直線所成的角相關(guān)鏈接高考中對(duì)異面直線所成的角的考查,一般出現(xiàn)在綜合題的某一步,一般步驟為:(1)平移：要充分挖掘圖形的性質(zhì),尋找平行關(guān)系,如利用“中點(diǎn)”特征等.(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角.尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的取值范圍是00），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F(xiàn)（0，4，0）從而9分設(shè)平面AEF的法向量為，由得，取x=1，則，即，11分不妨設(shè)平面EFCB的法向量為，由條件，得解得所以當(dāng)時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60（三）利用向量法解決開(kāi)放性問(wèn)題相關(guān)鏈接1.開(kāi)放性問(wèn)題是近幾年高考的一種常見(jiàn)題型，這類問(wèn)題具有一定的思維深度，用向量法較容易解決.2.對(duì)于探索性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.例題解析例如圖，已知正方形OBCD所在平面與等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，點(diǎn)E、F分別為CD、OA的中點(diǎn).(1)求證：DF平面AEB；(2)線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使BM與平面AEB所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.思路解析：第(1)問(wèn)用傳統(tǒng)方法證明，即利用中位線定理在平面AEB內(nèi)找一條直線與DF平行；第(2)問(wèn)用向量法解答比較容易入手.解答：(1)如圖，取AB中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG；FGOB，F(xiàn)GDE，又FG=OB，DE=OB，F(xiàn)G=DE，四邊形EDFG為平行四邊形，DFEG，又EG平面AEB，DF平面AEB，DF平面AEB.(2)依題意知平面OBCD平面AOD，OBOD，OB平面AOD，得OBOA，又AOOD，OBOD.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，AO=OD=4，可得A(0，4，0)、E(4，0，2)、B(0，0，4)，=(4，-4，2)，=(0，-4，4).設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為=(1，b，c)，解得b=2，c=2，=(1，2，2).設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)M(t，4-t，0)，其中0t4，則=(t,4-t,-4).可得t2+2t-8=0，解得t=2或t=-4(舍去).所以AD上存在一點(diǎn)M(2，2，0)，它是AD的中點(diǎn)，所以二、空間直角坐標(biāo)系（一）求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)鏈接1、通過(guò)分析幾何體的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，可以方便的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，“恰當(dāng)”的原則是：充分利用幾何體的垂直關(guān)系；盡可能的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上。注：不同的建系方法，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)也不同。2、求空間點(diǎn)P坐標(biāo)的方法方法一：（1）過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面yOz,這個(gè)平面與x軸的交點(diǎn)記為，它在x軸上的坐標(biāo)為x,這個(gè)數(shù)x叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOz，這個(gè)平面與y軸的交點(diǎn)記為，它在y軸上的坐標(biāo)為y，這個(gè)數(shù)y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOy,這個(gè)平面與z軸的交點(diǎn)記為，它在z軸上的坐標(biāo)為z,這個(gè)數(shù)z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)。顯然x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,0,0),xOy平面上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,y,0).方法二：從點(diǎn)P向三個(gè)坐標(biāo)平面作垂線，所得點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離等于點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)。例題解析例已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為A1C1中點(diǎn)，N為AB1中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。思路解析：利用正方體的共頂點(diǎn)的三棱兩兩垂直建系，然后用求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的方法來(lái)求。解答：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x,y,z軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系。從M點(diǎn)分別向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂線。正方體的棱長(zhǎng)為2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,2).同理，N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,1).（二）空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題相關(guān)鏈接1、常見(jiàn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z),則點(diǎn)P（1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y,-z);（2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,-z);（3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y,-z);（4）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y,z);（5）關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(x,y,-z);（6）關(guān)于yOz坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y,z);（7）關(guān)于zOx坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,z).2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為3、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式也可求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。例題解析例已知矩形ABCD中，A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)思路解析：AC的中點(diǎn)即為BD中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解答：矩形的對(duì)角線互相平分，AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)。由已知，AC中點(diǎn)M為(，4，-1)。設(shè)D(x,y,z),則x=5,y=13,z=-3.D(5,13,-3).（三）空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=AC=AA1=2，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，求|MN|思路解析：建立空間直角坐標(biāo)系確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)求|MN|。解答：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），B1（2，0，2），N（1，0，2），M（1，1，1）。|MN|=。注：利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式，可以求兩點(diǎn)間的距離或某線段的長(zhǎng)，只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決。三、空間向量及其運(yùn)算（一）空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)鏈接用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形?？蓮囊韵陆嵌热胧帧＃?）要有基向量意識(shí)，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來(lái)；（2）把要表示感謝向量標(biāo)在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系。（3）用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用加法，否則考慮用減法，如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘。（4）注意應(yīng)用以下結(jié)論，A為BC中點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)共線，O為空間任一點(diǎn)，則+（1-）等。例題解析例如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)，試用，表示以下各向量：（1）；（2）；（3）思路解析：結(jié)合圖形，利用空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算法則和運(yùn)算律即可。解答：（1）P是C1D1的中點(diǎn)，（2）N是BC的中點(diǎn)，又，（二）共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用相關(guān)鏈接應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面。1、證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線：（1）（2）對(duì)空間任一點(diǎn)O，（3）對(duì)空間任一點(diǎn)O，2、證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面（1）（2）對(duì)空間任一點(diǎn)O，（3）對(duì)空間任一點(diǎn)O，；（4）注：在（3）中，若，則點(diǎn)P即為MAB的重心。若則若P為MAB的重心，則，此即為三角形重心坐標(biāo)公式。例題解析例設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面。思路解析：解答：由題意得，又A，B，C及A1，B1，C1分別共線，（三）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求證：AB1=A1C。思路解析：利用直棱柱的性質(zhì)，可證明AB=AC，則AB1=A1C。解答：。同理：，注：（1）利用向量的數(shù)量積，可以求異面直線所成的角，兩點(diǎn)間的距離，證明垂直等問(wèn)題。當(dāng)題目條件中有垂直關(guān)系時(shí)，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用，非常方便。（2）利用向量解決幾何體中的長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題的基本思路是先根據(jù)已知條件選擇基向量，并求出其長(zhǎng)度和數(shù)量積，再用基向量表示出有關(guān)的向量，并進(jìn)行向量運(yùn)算，從而得出相關(guān)結(jié)論。（四）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算相關(guān)鏈接空間向量的有關(guān)運(yùn)算設(shè)（1）坐標(biāo)運(yùn)算（2）共線與垂直的坐標(biāo)表示（均為非零向量）。（3）模和距離公式若則例題解析例設(shè)向量計(jì)算以及所成角的余弦值，并確定，應(yīng)滿足的條件，使與z軸垂直。思路解析：代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求，利用數(shù)量積求的夾角余弦值，利用確定，的關(guān)系。解答：=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）。=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）。=(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21.由=(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=-4+8=0,即=2,當(dāng),滿足=2時(shí),可使與z軸垂直四、立體幾何中的向量方法（一）利用空間向量證明平行和垂直相關(guān)鏈接利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直。（1）設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（2）設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則（3）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則例題解析例如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=600，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)。（1）證明AECD；（2）證明：PD平面ABE。思路解析：建立空間直角坐標(biāo)系確定的坐標(biāo)計(jì)算AECD；求面ABE的法向量判斷滿足PD平面ABE或確定坐標(biāo)計(jì)算 PD平面ABE解答：（1）AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AB=BC=1，則P（0，0，1）。（二）利用空間向量求點(diǎn)面距相關(guān)鏈接利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下：（1）求出該平面的一個(gè)法向量；（2）找出過(guò)該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；（3）求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)面平面的距離，如圖：點(diǎn)P到平面的距離由于可以視為平面的單位法向量，所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，即。例題解析例（北京卷16）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離思路解析：題中（I）利用證明；題中（II）（III）可利用題中（I）的結(jié)論：PC，AC，BC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系求解。解法一：ACBDP（）取中點(diǎn)，連結(jié)，平面平面，（），ACBEP又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小為（）由（）知平面，平面平面過(guò)作，垂足為平面平面，平面的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中， 點(diǎn)到平面的距離為解法二：（），又，平面平面，（）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBPzxyHE則設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，是二面角的平面角，二面角的大小為（），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離如（）建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)到平面的距離為（三）利用空間向量求空間角例湖北卷18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.思路解析：（I）利用面面垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線面垂直，再證線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的某個(gè)三角函數(shù)值，然后比較兩角的大