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2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析:7.3空間向量一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示(一)用向量法證明平行、垂直相關(guān)鏈接1.用向量證明線面平行的方法有:(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行;(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.2.用向量法證垂直問(wèn)題(1)證明線線垂直,只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0;(2)證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明面面垂直,只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.3利用直線的方向向量和平面的法向量,可以判定直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直.(1)設(shè)直線的方向向量為直線的方向向量為則(2)設(shè)直線l的方向向量為平面的法向量為則(3)設(shè)平面的法向量為平面的法向量則例題解析例如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角.(1)求證:CM平面PAD;(2)求證:平面PAB平面PAD.思路解析:題目中存在從點(diǎn)C出發(fā)的三條兩兩垂直的直線,故可建立空間直角坐標(biāo)系,用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線面平行,線線垂直,面面垂直.解答:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD,PBC為PB與平面ABCD所成的角,PBC=30.PC=2,BC=,PB=4.D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M(),=(0,-1,2),=(,3,0),=(),(1)令為平面PAD的一個(gè)法向量,則即令y=2,得(2)取AP的中點(diǎn)E,則(二)異面直線所成的角相關(guān)鏈接高考中對(duì)異面直線所成的角的考查,一般出現(xiàn)在綜合題的某一步,一般步驟為:(1)平移:要充分挖掘圖形的性質(zhì),尋找平行關(guān)系,如利用“中點(diǎn)”特征等.(2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角.尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之.(4)取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的取值范圍是00),則C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(,3,0),F(xiàn)(0,4,0)從而9分設(shè)平面AEF的法向量為,由得,取x=1,則,即,11分不妨設(shè)平面EFCB的法向量為,由條件,得解得所以當(dāng)時(shí),二面角A-EF-C的大小為60(三)利用向量法解決開(kāi)放性問(wèn)題相關(guān)鏈接1.開(kāi)放性問(wèn)題是近幾年高考的一種常見(jiàn)題型,這類問(wèn)題具有一定的思維深度,用向量法較容易解決.2.對(duì)于探索性問(wèn)題,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.例題解析例如圖,已知正方形OBCD所在平面與等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直,OA=OD=4,點(diǎn)E、F分別為CD、OA的中點(diǎn).(1)求證:DF平面AEB;(2)線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使BM與平面AEB所成角的正弦值為?若存在,請(qǐng)求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.思路解析:第(1)問(wèn)用傳統(tǒng)方法證明,即利用中位線定理在平面AEB內(nèi)找一條直線與DF平行;第(2)問(wèn)用向量法解答比較容易入手.解答:(1)如圖,取AB中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG;FGOB,F(xiàn)GDE,又FG=OB,DE=OB,F(xiàn)G=DE,四邊形EDFG為平行四邊形,DFEG,又EG平面AEB,DF平面AEB,DF平面AEB.(2)依題意知平面OBCD平面AOD,OBOD,OB平面AOD,得OBOA,又AOOD,OBOD.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,AO=OD=4,可得A(0,4,0)、E(4,0,2)、B(0,0,4),=(4,-4,2),=(0,-4,4).設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為=(1,b,c),解得b=2,c=2,=(1,2,2).設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)M(t,4-t,0),其中0t4,則=(t,4-t,-4).可得t2+2t-8=0,解得t=2或t=-4(舍去).所以AD上存在一點(diǎn)M(2,2,0),它是AD的中點(diǎn),所以二、空間直角坐標(biāo)系(一)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)鏈接1、通過(guò)分析幾何體的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系,可以方便的寫出點(diǎn)的坐標(biāo),“恰當(dāng)”的原則是:充分利用幾何體的垂直關(guān)系;盡可能的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上。注:不同的建系方法,求出的點(diǎn)的坐標(biāo)也不同。2、求空間點(diǎn)P坐標(biāo)的方法方法一:(1)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面yOz,這個(gè)平面與x軸的交點(diǎn)記為,它在x軸上的坐標(biāo)為x,這個(gè)數(shù)x叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo);(2)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOz,這個(gè)平面與y軸的交點(diǎn)記為,它在y軸上的坐標(biāo)為y,這個(gè)數(shù)y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo);(3)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOy,這個(gè)平面與z軸的交點(diǎn)記為,它在z軸上的坐標(biāo)為z,這個(gè)數(shù)z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)。顯然x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,0,0),xOy平面上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,y,0).方法二:從點(diǎn)P向三個(gè)坐標(biāo)平面作垂線,所得點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離等于點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值,進(jìn)而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)。例題解析例已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M為A1C1中點(diǎn),N為AB1中點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。思路解析:利用正方體的共頂點(diǎn)的三棱兩兩垂直建系,然后用求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的方法來(lái)求。解答:如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1分別為x,y,z軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系。從M點(diǎn)分別向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂線。正方體的棱長(zhǎng)為2,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,2).同理,N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,1).(二)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題相關(guān)鏈接1、常見(jiàn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x,y,z),則點(diǎn)P(1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y,-z);(2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,-z);(3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y,-z);(4)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y,z);(5)關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(x,y,-z);(6)關(guān)于yOz坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y,z);(7)關(guān)于zOx坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,z).2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為3、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式也可求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。例題解析例已知矩形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)思路解析:AC的中點(diǎn)即為BD中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解答:矩形的對(duì)角線互相平分,AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)。由已知,AC中點(diǎn)M為(,4,-1)。設(shè)D(x,y,z),則x=5,y=13,z=-3.D(5,13,-3).(三)空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=900,AB=AC=AA1=2,M為BC1的中點(diǎn),N為A1B1的中點(diǎn),求|MN|思路解析:建立空間直角坐標(biāo)系確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)求|MN|。解答:如圖,以A為原點(diǎn),AB,AC,AA1為x軸,y軸,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(2,0,0),C1(0,2,2),A1(0,0,2),B1(2,0,2),N(1,0,2),M(1,1,1)。|MN|=。注:利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式,可以求兩點(diǎn)間的距離或某線段的長(zhǎng),只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,通過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決。三、空間向量及其運(yùn)算(一)空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)鏈接用已知向量表示未知向量,一定要結(jié)合圖形??蓮囊韵陆嵌热胧帧#?)要有基向量意識(shí),把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來(lái);(2)把要表示感謝向量標(biāo)在封閉圖形中,表示為其他向量的和差的形式,進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系。(3)用基向量表示一個(gè)向量時(shí),如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的,一般考慮用加法,否則考慮用減法,如果此向量與一個(gè)易求的向量共線,可用數(shù)乘。(4)注意應(yīng)用以下結(jié)論,A為BC中點(diǎn),O為空間任一點(diǎn),則A、B、C三點(diǎn)共線,O為空間任一點(diǎn),則+(1-)等。例題解析例如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=,M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點(diǎn),試用,表示以下各向量:(1);(2);(3)思路解析:結(jié)合圖形,利用空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算法則和運(yùn)算律即可。解答:(1)P是C1D1的中點(diǎn),(2)N是BC的中點(diǎn),又,(二)共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用相關(guān)鏈接應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理,可以證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面。1、證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線:(1)(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,2、證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P,M,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面(1)(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,;(4)注:在(3)中,若,則點(diǎn)P即為MAB的重心。若則若P為MAB的重心,則,此即為三角形重心坐標(biāo)公式。例題解析例設(shè)A,B,C及A1,B1,C1分別是異面直線上的三點(diǎn),而M,N,P,Q分別是線段AA1,BA1,BB1,CC1的中點(diǎn),求證:M,N,P,Q四點(diǎn)共面。思路解析:解答:由題意得,又A,B,C及A1,B1,C1分別共線,(三)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1AB1,BC1A1C,求證:AB1=A1C。思路解析:利用直棱柱的性質(zhì),可證明AB=AC,則AB1=A1C。解答:。同理:,注:(1)利用向量的數(shù)量積,可以求異面直線所成的角,兩點(diǎn)間的距離,證明垂直等問(wèn)題。當(dāng)題目條件中有垂直關(guān)系時(shí),轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用,非常方便。(2)利用向量解決幾何體中的長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題的基本思路是先根據(jù)已知條件選擇基向量,并求出其長(zhǎng)度和數(shù)量積,再用基向量表示出有關(guān)的向量,并進(jìn)行向量運(yùn)算,從而得出相關(guān)結(jié)論。(四)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算相關(guān)鏈接空間向量的有關(guān)運(yùn)算設(shè)(1)坐標(biāo)運(yùn)算(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示(均為非零向量)。(3)模和距離公式若則例題解析例設(shè)向量計(jì)算以及所成角的余弦值,并確定,應(yīng)滿足的條件,使與z軸垂直。思路解析:代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求,利用數(shù)量積求的夾角余弦值,利用確定,的關(guān)系。解答:=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)。=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)。=(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21.由=(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=-4+8=0,即=2,當(dāng),滿足=2時(shí),可使與z軸垂直四、立體幾何中的向量方法(一)利用空間向量證明平行和垂直相關(guān)鏈接利用直線的方向向量和平面的法向量,可以判定直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直。(1)設(shè)直線的方向向量為,直線的方向向量為,則(2)設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,則(3)設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,則例題解析例如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=600,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn)。(1)證明AECD;(2)證明:PD平面ABE。思路解析:建立空間直角坐標(biāo)系確定的坐標(biāo)計(jì)算AECD;求面ABE的法向量判斷滿足PD平面ABE或確定坐標(biāo)計(jì)算 PD平面ABE解答:(1)AB、AD、AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1)。(二)利用空間向量求點(diǎn)面距相關(guān)鏈接利用向量法求點(diǎn)面距,其步驟如下:(1)求出該平面的一個(gè)法向量;(2)找出過(guò)該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量;(3)求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模,即可求出點(diǎn)面平面的距離,如圖:點(diǎn)P到平面的距離由于可以視為平面的單位法向量,所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值,即。例題解析例(北京卷16)如圖,在三棱錐中,()求證:;()求二面角的大??;()求點(diǎn)到平面的距離思路解析:題中(I)利用證明;題中(II)(III)可利用題中(I)的結(jié)論:PC,AC,BC兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系求解。解法一:ACBDP()取中點(diǎn),連結(jié),平面平面,(),ACBEP又,又,即,且,平面取中點(diǎn)連結(jié),是在平面內(nèi)的射影,是二面角的平面角在中,ACBDPH二面角的大小為()由()知平面,平面平面過(guò)作,垂足為平面平面,平面的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離由()知,又,且,平面平面,在中, 點(diǎn)到平面的距離為解法二:(),又,平面平面,()如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBPzxyHE則設(shè),取中點(diǎn),連結(jié),是二面角的平面角,二面角的大小為(),在平面內(nèi)的射影為正的中心,且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離如()建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)到平面的距離為(三)利用空間向量求空間角例湖北卷18.(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱中,平面?zhèn)让?()求證:;()若直線與平面所成的角為,二面角的大小為,試判斷與的大小關(guān)系,并予以證明.思路解析:(I)利用面面垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線面垂直,再證線面垂直,進(jìn)而得到線線垂直;(II)建立空間直角坐標(biāo)系,求出與的某個(gè)三角函數(shù)值,然后比較兩角的大
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