高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件 新人教A版選修11.ppt

2 3 2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第二章 2 3拋物線 1 掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2 能運(yùn)用拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)的問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì) 答案 x 0 x 0 y 0 y 0 0 0 e 1 知識(shí)點(diǎn)二焦點(diǎn)弦直線過拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)f 與拋物線交于a x1 y1 b x2 y2 兩點(diǎn) 由拋物線的定義知 af x1 bf x2 故 ab 知識(shí)點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系直線y kx b與拋物線y2 2px p 0 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程 的解的個(gè)數(shù) 當(dāng)k 0時(shí) 若 0 則直線與拋物線有個(gè)不同的公共點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物線有個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物線公共點(diǎn) 當(dāng)k 0時(shí) 直線與拋物線的對(duì)稱軸 此時(shí)直線與拋物線有個(gè)公共點(diǎn) x1 x2 p k2x2 2 kb p x b2 0 兩 一 沒有 平行或重合 一 答案 返回 題型探究重點(diǎn)突破 解析答案 題型一拋物線的幾何性質(zhì)例1已知雙曲線方程是 1 求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程 反思與感悟 反思與感悟 1 注意拋物線各元素間的關(guān)系 拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上 拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn) 拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直 拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對(duì)稱 2 解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中 通過定義的運(yùn)用 實(shí)現(xiàn)兩個(gè)距離之間的轉(zhuǎn)化 簡(jiǎn)化解題過程 解析答案 跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上 以原點(diǎn)為頂點(diǎn) 且經(jīng)過點(diǎn)m 1 2 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程 解 1 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 將點(diǎn)m 1 2 代入 得m 4 2 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí) 設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 mx m 0 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 4x 設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 ny n 0 解析答案 反思與感悟 反思與感悟 所以直線ab的斜率存在 設(shè)為k 消去x 整理得ky2 2py kp2 0 解得k 2 反思與感悟 1 解決拋物線的焦點(diǎn)弦問題時(shí) 要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用 通過定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問題 從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解 2 設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2 6x的焦點(diǎn)f 且與拋物線相交于a b兩點(diǎn) 1 若直線l的傾斜角為60 求 ab 的值 解因?yàn)橹本€l的傾斜角為60 若設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2 5 x1 x2 p 所以 ab 5 3 8 解析答案 2 若 ab 9 求線段ab的中點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離 解設(shè)a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是線段ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)是3 解析答案 題型三直線與拋物線的位置關(guān)系例3已知直線l y kx 1 拋物線c y2 4x 當(dāng)k為何值時(shí) 直線l與拋物線c有 1 一個(gè)公共點(diǎn) 2 兩個(gè)公共點(diǎn) 3 沒有公共點(diǎn) 反思與感悟 消去y 得k2x2 2k 4 x 1 0 當(dāng)k 0時(shí) 方程 為一元二次方程 2k 4 2 4k2 當(dāng) 0 即k 1且k 0時(shí) 直線l與拋物線c有兩個(gè)公共點(diǎn) 此時(shí)直線l與拋物線c相交 當(dāng) 0 即k 1時(shí) 直線l與拋物線c有一個(gè)公共點(diǎn) 此時(shí)直線l與拋物線c相切 解析答案 反思與感悟 當(dāng) 1時(shí) 直線l與拋物線c沒有公共點(diǎn) 此時(shí)直線l與拋物線c相離 綜上所述 1 當(dāng)k 1或k 0時(shí) 直線l與拋物線c有一個(gè)公共點(diǎn) 2 當(dāng)k1時(shí) 直線l與拋物線c沒有公共點(diǎn) 反思與感悟 反思與感悟 直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 等價(jià)于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù) 注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況 解析答案 跟蹤訓(xùn)練3如圖 過拋物線y2 x上一點(diǎn)a 4 2 作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線ab ac交拋物線于b c兩點(diǎn) 求證 直線bc的斜率是定值 解析答案 證明設(shè)kab k k 0 直線ab ac的傾斜角互補(bǔ) kac k k 0 直線ab的方程是y k x 4 2 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 a 4 2 b xb yb 是上述方程組的解 直線bc的斜率為定值 解析答案 返回 解后反思 例4已知頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y 2x 1截得的弦長(zhǎng)為 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 思想方法 分類討論思想的應(yīng)用 解析答案 解后反思 分析由于拋物線的開口有兩種可能性 向左或向右 其標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)為y2 2px p 0 或y2 2px p 0 解設(shè)直線和拋物線相交于點(diǎn)a x1 y1 b x2 y2 1 當(dāng)拋物線開口向右時(shí) 消去y 得4x2 2p 4 x 1 0 解得p 2 負(fù)值舍去 或p 6 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 12x 解后反思 2 當(dāng)拋物線開口向左時(shí) 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 2p1x p1 0 同理可得p1 2 此時(shí)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 4x 綜上所述 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 4x或y2 12x 分類討論思想在解決拋物線問題時(shí)經(jīng)常用到 如對(duì)拋物線的開口方向進(jìn)行討論 對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論 對(duì)判別式 的取值范圍進(jìn)行討論等 返回 解后反思 當(dāng)堂檢測(cè) 1 2 3 4 5 解析答案 1 以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑 過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦 長(zhǎng)為8 若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 則其方程為 a y2 8xb y2 8xc y2 8x或y2 8xd x2 8y或x2 8y解析設(shè)拋物線y2 2px或y2 2px p 0 得 y p 2 y 2p 8 p 4 c 解析答案 2 若拋物線y2 x上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離 則點(diǎn)p的坐標(biāo)為 解析由題意知 點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離等于它到頂點(diǎn)o的距離 因此點(diǎn)p在線段of的垂直平分線上 1 2 3 4 5 b 1 2 3 4 5 3 拋物線y 4x2上一點(diǎn)到直線y 4x 5的距離最短 則該點(diǎn)坐標(biāo)為 解析答案 解析因?yàn)閥 4x2與y 4x 5不相交 設(shè)與y 4x 5平行的直線方程為y 4x m 設(shè)此直線與拋物線相切 此時(shí)有 0 即 16 16m 0 m 1 c 解析答案 1 2 3 4 5 4 經(jīng)過拋物線y2 2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x 2y 5 0的直線l的方程是 a 6x 4y 3 0b 3x 2y 3 0c 2x 3y 2 0d 2x 3y 1 0解析設(shè)直線l的方程為3x 2y c 0 a 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知直線x y 1 0與拋物線y ax2相切 則a 直線與拋物線相切 a 0且 1 4a 0 課堂小結(jié) 1 討論拋物線的幾何性質(zhì) 一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 利用幾何性質(zhì) 也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程 2 直線與拋物線的相交弦問題共有兩類 一類是過焦點(diǎn)的弦 一類是不過焦點(diǎn)的弦 解決弦的問題 大多涉及到拋物線的弦長(zhǎng) 弦的中點(diǎn) 弦的斜率 常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立 轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程 然后利用根與系數(shù)的關(guān)系 這樣避免求交點(diǎn) 尤其是弦的中點(diǎn)問題 還應(yīng)注意 點(diǎn)差法 的運(yùn)用 3 判斷