2016年青島版六年級數(shù)學(xué)上冊第8單元總復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計.doc

回顧整理總復(fù)習(xí) 教材分析本單元復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容有，數(shù)與代數(shù)，包括分數(shù)的乘除法、比、分數(shù)四則混合運算、百分數(shù)。圖形與幾何，圓?？赡苄?。本單元總復(fù)習(xí)共分兩部分。第一部分是回顧整理，這一部分又分為兩個板塊：第一板塊是知識點自主回顧，第二板塊是數(shù)學(xué)思想方法提升。第二部分是綜合練習(xí)。教材精心設(shè)計了涵蓋全冊各個單元知識的練習(xí)題，旨在讓學(xué)生通過系統(tǒng)、綜合的練習(xí)，全面鞏固所學(xué)知識，提高靈活運用知識解決問題的能力。本單元教材編寫的主要特點：X |k |B| 1 . c|O |m1重視引導(dǎo)學(xué)生參與復(fù)習(xí)整理的過程，提高學(xué)生的反思能力。2重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的總結(jié)提升。 教學(xué)目標(biāo)知識與能力通過對全冊內(nèi)容的回顧與整理，全面復(fù)習(xí)和鞏固本學(xué)期所學(xué)知識，溝通知識之間的聯(lián)系，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。過程與方法經(jīng)歷知識的整理與復(fù)習(xí)的系統(tǒng)過程，提高歸納、整理知識和綜合運用所學(xué)知識解決簡單的實際問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀通過交流整理與復(fù)習(xí)的不同思路，學(xué)會整理知識的方法，逐步養(yǎng)成回顧與反思的習(xí)慣。 重點、難點重點: 數(shù)與代數(shù)部分計算和分數(shù)乘除法意義的應(yīng)用及典型模型，圖形與幾何部分的圓。難點: 乘除乘除法的意義以及數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。 教學(xué)建議1結(jié)合本班實際，制定切實可行的復(fù)習(xí)計劃。2重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和提煉數(shù)學(xué)思想方法。3關(guān)注復(fù)習(xí)過程中的評價，發(fā)揮評價的激勵作用。 課時安排新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)本單元用3課時完成教學(xué)，其中機動3課時。數(shù)與代數(shù)數(shù)的運算1課時意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型1課時圖形與幾何圓1課時1 數(shù)的運算n 教學(xué)內(nèi)容教材第103105頁，數(shù)的運算n 教學(xué)提示轉(zhuǎn)化思想在計算中的使用。教學(xué)目標(biāo)知識與能力能非常熟練的進行分數(shù)的四則運算、求比值、化簡比和經(jīng)行分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)之間的互化，會使用學(xué)過的簡便算法，合理、靈活地進行計算；養(yǎng)成檢查和驗算的習(xí)慣。過程與方法進一步感受數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的作用；感受數(shù)學(xué)思想方法在解決新問題時作用。情感、態(tài)度與價值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，養(yǎng)成規(guī)范、認真的好習(xí)慣。n 重點、難點重點：能非常熟練的進行分數(shù)的四則運算，會使用學(xué)過的簡便算法，合理、靈活地進行計算。難點：數(shù)學(xué)思想方法具體實施的手段。n 教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：課件、實物投影儀。學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本。n 教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧：1.師：怎樣計算分數(shù)的乘法？生：分數(shù)的分子乘分子的積作分數(shù)，分母乘分母的積作分母，先約分，在計算。師：我們是怎樣得到這個法則的。生：回憶http:/ www.x kb1.co m師生共同回憶：先回想分數(shù)乘整數(shù)，借助整數(shù)乘法的意義及分數(shù)的意義，歸納，分子乘整數(shù)作積的分子，分母不變。類推分數(shù)乘分數(shù)的計算方法，整數(shù)可以看做分母是1的分數(shù)，分數(shù)乘整數(shù)變成了分數(shù)乘分數(shù)，分子乘分子的積作分數(shù)，分母乘分母的積作分母，先約分，在計算，通過畫圖驗證法則的正確性。2、師：怎樣計算分數(shù)的除法？生：除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。師：我們是怎樣得到這個法則的。生：回憶師生共同回憶：先回想分數(shù)除以整數(shù)，借助整數(shù)除法的意義及分數(shù)的意義，歸納分數(shù)除以整數(shù)等于乘這個整數(shù)的倒數(shù)。借助分數(shù)的意義及類推分數(shù)除以整數(shù)的法則，觀察、總結(jié)、猜想分數(shù)除法的法則除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。通過畫圖驗證法則的正確性。3、分數(shù)的混合運算和簡便運算，根據(jù)算式的實際意義，類比整數(shù)的混合運算和簡便運算，得出結(jié)論，整數(shù)的運算順序和運算律在分數(shù)中同樣適用。4、求比值和化簡比，各根據(jù)比值的定義和比的基本性質(zhì)。5、分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化：結(jié)合分數(shù)與除法的關(guān)系和分數(shù)與百分數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)計意圖：學(xué)生回顧計算方法，教師幫助學(xué)生計算方法的得出過程，及過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法。（二）梳理總結(jié)：基本性質(zhì)求比值，根據(jù)比值的定義。化簡比根據(jù)比的基本性質(zhì)（比的基本性質(zhì)類比分數(shù)的、商不變的原理）分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化：結(jié)合分數(shù)與除法的關(guān)系和分數(shù)與百分數(shù)之間的關(guān)系分數(shù)乘法（根據(jù)整數(shù)乘法的意義，結(jié)合觀察、總結(jié)、猜想，最后驗證得出法則）分數(shù)除法（結(jié)合整數(shù)除法的意義，分數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化成分數(shù)乘法四則運算類比整數(shù)的四則運算簡便運算類比整數(shù)的簡便運算設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生尋找計算之間的內(nèi)在聯(lián)系。（三）鞏固新知：1、綜合練習(xí)1，練習(xí)分數(shù)的乘除的簡單運算。（要求熟練）http:/ www.x kb1.co m答案：，72，。 2、綜合練習(xí)2，脫式計算。（要求熟練）答案：，300，4，5。3、綜合練習(xí)4，簡便運算（主要是乘法分配律）答案：1，10，。4、綜合練習(xí)5，解方程（復(fù)習(xí)解方程方法的同時練習(xí)分數(shù)的乘除）答案：，。5、除法、分數(shù)、比之間的練習(xí)。答案：65，23，1:2，6:5。w W w . x K b 1.c o M設(shè)計意圖：綜合練習(xí)的題目比較簡單，要求學(xué)生要熟練掌握；這一部分練習(xí)對求比值沒有涉及，化簡比也僅僅體現(xiàn)了一個整數(shù)比化成最簡整數(shù)比，百分數(shù)和分數(shù)小數(shù)之間的互化也沒有涉及。（四）達標(biāo)反饋1、不計算，你能比較大小嗎？ 3 4a1a 1212 1616 12、直接寫得數(shù)。3= 15= 2= 15%= = 5= 75%= 4= =3、脫式計算。 【（）】4、簡便運算。 （）36 （） 27http:/ www.x kb1.co m5、解方程、X= X= X= XX=756、先化簡比，在求比值。51：34 ： 3.1:0.15 0.625：7、把下列分數(shù)化成百分數(shù)。 答案：1、，。2、，9，1，105%，1，4，。3、2，。4、17，26。5、，60。6、3:2，7:10，62:3，1:2，。7、75%，12.5%，37.5%，62.5%，87.55，20%，40%，60%，80%。設(shè)計意圖：檢驗前面學(xué)習(xí)的效果，確定哪些同學(xué)還有下大力氣進行計算的練習(xí)。（五）課堂小結(jié)這節(jié)課你學(xué)會了什么，有哪些收獲？給大家說說。 同桌互相說說自己的收獲。設(shè)計意圖：通過總結(jié)，既能夠使學(xué)生加深對所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解和深層次思考，從而將所學(xué)知識納入自己的認知結(jié)構(gòu)，又提升了學(xué)生的梳理和概括能力。（六）布置作業(yè)第1課時：數(shù)的運算 1、不計算，你能比較大小嗎？ aba(a0，0b1)2、直接寫得數(shù)。 4= = 1.4= 2.4= 10020%= 0.25= 1.3100%= 72%= 3、脫式計算。1（ ） （ ）28% (1515)w W w . x K b 1.c o M4、簡便運算。 1.7525% 12（ ） 7235、解方程、 X30% X =22010% X5050%=40 11X=6、先化簡比，在求比值。26：65 ： 2.3:0.25 0.75：答案：1、，。2、，2，500，1，1.3，。3、，。4、1，1，1。5、，25，。6、2:5，5:6，46:5，2:1，2。板書設(shè)計計算基本性質(zhì)求比值，根據(jù)比值的定義?；啽雀鶕?jù)比的基本性質(zhì)（比的基本性質(zhì)類比分數(shù)的、商不變的原理）分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化：結(jié)合分數(shù)與除法的關(guān)系和分數(shù)與百分數(shù)之間的關(guān)系分數(shù)乘法（根據(jù)整數(shù)乘法的意義，結(jié)合觀察、總結(jié)、猜想，最后驗證得出法則）分數(shù)除法（結(jié)合整數(shù)除法的意義，分數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化成分數(shù)乘法四則運算類比整數(shù)的四則運算簡便運算類比整數(shù)的簡便運算n 教學(xué)反思計算時學(xué)生應(yīng)該掌握的基本能力，但有相當(dāng)一部分學(xué)生，沒有認真訓(xùn)練，導(dǎo)致計算能力十分低下，因此要引起教師的重視。n 教學(xué)資料包教學(xué)資源http:/ www.x kb1.co m一、乘法分配律。(ab)c=acbc7（） 8（） ( )15二、乘法分配律的逆運算。AcBc=（AB）c 3 答案：一、2，8，13，二、，。資料鏈接卡爾弗里德里希高斯約翰卡爾弗里德里希高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日1855年2月23日）德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達110個，屬數(shù)學(xué)家中之最。他對數(shù)論、代數(shù)、統(tǒng)計、分析、微分幾何、大地測量學(xué)、地球物理學(xué)、力學(xué)、靜電學(xué)、天文學(xué)、矩陣理論和光學(xué)皆有貢獻。家庭背景高斯是一對貧窮夫婦的唯一的兒子。母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育。在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當(dāng)高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學(xué)會計算。能夠在頭腦中進行復(fù)雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德迪德里赫對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過分。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹慎的性格。高斯很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經(jīng)超出了一個孩子能被許可的范圍。當(dāng)丈夫為此訓(xùn)斥孩子時，她總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)在成長過程中，幼年的高斯主要得力于他的母親羅捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產(chǎn)的思想，不無傷感地說，舅舅去世使我們失去了一位天才。正是由于弗利德里?；垩圩R英才，經(jīng)常勸導(dǎo)姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā)展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。羅捷雅真的希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學(xué)研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數(shù)學(xué)成就，但她仍向數(shù)學(xué)界的朋友W.波爾約問道：高斯將來會有出息嗎？波爾約說她的兒子將是歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，為此她激動得熱淚盈眶。初顯天分高斯7歲那年開始上學(xué)。10歲的時候，他進入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班級，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學(xué)教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3這樣從1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：你一定是算錯了，回去再算算。”高斯說出答案就是5050，高斯是這樣算的1+100=101，2+99=1011加到100有50組這樣的數(shù)，所以50X101=5050。布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術(shù)書送給高斯，說：“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西可以教你了?！苯又?，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學(xué)習(xí)，互相幫助，高斯由此開始了真正的數(shù)學(xué)研究。得到資助1788年，11歲的高斯進入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學(xué)。布倫茲維克公爵卡爾威廉斐迪南召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。高斯的花體親筆簽名。1792年高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學(xué)，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開始進行創(chuàng)造性的研究。http:/ www.x kb1.co m1796年高斯19歲，發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，1 解決了自歐幾里德以來懸而未決的一個難題。1 同年，發(fā)表并證明了二次互反律。這是他的得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”2 。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學(xué)的博士學(xué)位，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克，雖然他的博士論文順利通過了，被授予博士學(xué)位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵繼續(xù)慷慨資助高斯的研究，使得他能在1803年謝絕圣彼得堡提供的教授職位，他一直是圣彼得堡科學(xué)院通訊院士。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了算術(shù)研究，使該書得以在1801年問世；還負擔(dān)了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和算術(shù)研究中，寫下了情真意切的獻詞：獻給大公，你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研究社會化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動因素之一。高斯正處于私人資助科學(xué)研究與科學(xué)研究社會化的轉(zhuǎn)變時期。歷經(jīng)變故1806年，卡爾威廉斐迪南公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時不幸在耶拿戰(zhàn)役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經(jīng)濟上的拮據(jù)，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公布于眾的數(shù)學(xué)手稿時才得知他那時的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細微的鉛筆字：對我來說，死去也比這樣的生活更好受些?？犊?、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。由于高斯在天文學(xué)、數(shù)學(xué)方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學(xué)院不斷暗示他，自從1783年萊昂哈德歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學(xué)院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺。為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學(xué)者洪堡（B.A.Von Humboldt）聯(lián)合其他學(xué)者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，以及哥廷根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。從這時起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會議以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)立、德國成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條件。同時，這也標(biāo)志著科學(xué)研究社會化的一個良好開端。投身研究 X k B 1 . c o m1833年高斯從他的天文臺拉了一條長八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實驗室，以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個電報機。高斯對自己的工作態(tài)度是精益求精，非常嚴格地要求自己的研究成果。他自己曾說：寧可發(fā)表少，但發(fā)表的東西是成熟的成果。許多當(dāng)代的數(shù)學(xué)家要求他，不要太認真，把結(jié)果寫出來發(fā)表，這對數(shù)學(xué)的發(fā)展是很有幫助的。其中一個有名的例子是關(guān)于非歐幾何的發(fā)展。非歐幾何的的開山祖師有三人，高斯、 洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學(xué)的同學(xué)，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反對他繼續(xù)從事這種看起來毫無希望的研究，小波爾約還是沉溺于平行公理。最后發(fā)展出了非歐幾何，并且在18321833年發(fā)表了研究結(jié)果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學(xué)高斯，想不到高斯卻回信道：我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。早在幾十年前，高斯就已經(jīng)得到了相同的結(jié)果，只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學(xué)的創(chuàng)造者，可以把他們的天才用到其他方面去。 他越來越多的學(xué)生成為有影響的數(shù)學(xué)家，如后來聞名于世的戴德金和黎曼。他的父親死于1808年4月14日，1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也離開人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine （1788-1831）。他們又有三個孩子：Eugen （1811-1896）,Wilhelm （1813-1883） 和 Therese （1816-1864）。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯開始學(xué)習(xí)俄語。1839年4月18日，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯于1855年2月23日凌晨1點在哥廷根去世。他的很多散布在給朋友的書信或筆記發(fā)現(xiàn)于1898年。3 個人信仰新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)高斯的信仰是基于尋求真理的。他相信“精神個性上的不朽，像是個人在死后的持久性，還有最后命令的東西，以及永恒的、正義的、無所不知和無所不能的上帝?！备咚挂矆猿肿诮痰膶捜?，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。4 他說：”微小的學(xué)識使人遠離神，廣博的學(xué)識使人接近神?！案咚咕哂袧夂竦淖诮谈星椤①F族的舉止和保守的傾向。他一直遠離他那個時代的進步政治潮流。在高斯身上表現(xiàn)出的矛盾是與他實際上的和諧結(jié)合在一起的。高斯身為才氣橫溢的算術(shù)家，對於數(shù)具有非凡的記憶力。他既是一個深刻的理論家，又是一個杰出的數(shù)學(xué)實踐家。教學(xué)是他最討厭的事，因此他只有少數(shù)幾個學(xué)生。但他的那些影響數(shù)學(xué)發(fā)展進程的論著(大約155篇)卻使他嘔心瀝血。有3個原則指導(dǎo)他的工作他最喜歡說的少些，但要成熟些；他的格言不留下進一步要做的事；和他的極度嚴格的要求。從他死后出版的著作中可以看出，他有許多重要和內(nèi)容廣泛的論文從未發(fā)表，因為按他的意見，它們都不符合這些原則。高斯所追求的數(shù)學(xué)研究題目都是那些他能在其中預(yù)見到具有某種有意義聯(lián)系的概念和結(jié)果，它們由於優(yōu)美和普遍而值得稱道。偉人之死1849年舉辦了高斯獲博士學(xué)位50周年慶祝會，為此高斯準(zhǔn)備了他早期對代數(shù)基本定理證明的一個新版本。由於健康狀況愈來愈差，這成了他最后的著作。給他帶來最大歡樂和榮譽的還是哥廷根市贈與他的榮譽公民頭銜。由於他在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、大地測量學(xué)和物理學(xué)中的杰出研究成就，他被選為許多科學(xué)院和學(xué)術(shù)團體的成員。他謝絕了許多大學(xué)請他當(dāng)教授的邀請而一直留在哥廷根大學(xué)的院系中，直至1855年2月23日逝世。逝世后不久就鑄造了紀念他的錢幣。個人成就數(shù)學(xué)成就歐幾里德已經(jīng)指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù)兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實現(xiàn)的，但從那時起關(guān)于這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數(shù)論的基礎(chǔ)上提出了判斷一給定邊數(shù)的正多邊形是否可以幾何作圖的準(zhǔn)則。例如，用圓規(guī)和直尺可以作圓內(nèi)接正十七邊形。這樣的發(fā)現(xiàn)還是歐幾里得以后的第一個。這些關(guān)於數(shù)論的工作對代數(shù)數(shù)的現(xiàn)代算術(shù)理論(即代數(shù)方程的解法)作出了貢獻。高斯還將復(fù)數(shù)引進了數(shù)論，開創(chuàng)了復(fù)整數(shù)算術(shù)理論，復(fù)整數(shù)在高斯以前只是直觀地被引進。1831年(發(fā)表於1832年)他給出了一個如何藉助於x,y平面上的表示來發(fā)展精確的復(fù)數(shù)理論的詳盡說明。新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學(xué)是自然界和思想中所固有的那些人之一。歐幾里得是建立系統(tǒng)性幾何學(xué)的第一人。他模型中的一些基本思想被稱作公理，它們是透過純粹邏輯構(gòu)造整個系統(tǒng)的出發(fā)點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，通過不在給定直線上的任何點只能作一條與該直線平行的線。不久就有人推測這一公理可從其他一些公理推導(dǎo)出來，因而可從公理系統(tǒng)中刪去。但是關(guān)於它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學(xué)的人之一。他逐漸得出革命性的結(jié)論確實存在這樣的幾何學(xué)，其內(nèi)部相容并且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發(fā)表(參閱非歐幾里得幾何條)。當(dāng)1830年前后匈牙利的波爾約(Janos Bolyai)和俄國的羅巴切夫斯基獨立地發(fā)表非歐幾何學(xué)時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結(jié)論。高斯也沒有發(fā)表特殊復(fù)函數(shù)方面的工作，可能是因為沒有能從更一般的原理導(dǎo)出它們。因此這一理論不得不在他死后數(shù)十年由其他數(shù)學(xué)家從他著作的計算中重建。1830年前后，極值(極大和極小)原理在高斯的物理問題和數(shù)學(xué)研究中開始占有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。在探討毛細作用時，他提出了一個數(shù)學(xué)公式能將流體系統(tǒng)中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內(nèi)。這一工作對於能量守恒原理的發(fā)展作出了貢獻。從1830年起高斯就與物理學(xué)家威廉愛德華韋伯密切合作。由於對地磁學(xué)的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統(tǒng)觀測網(wǎng)。他們在電磁學(xué)方面最重要的成果是電報的發(fā)展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規(guī)模的。天文發(fā)現(xiàn)1801天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認為火星和木星間應(yīng)該還有行星未被發(fā)現(xiàn)。1801年的元旦，一位意大利天文學(xué)家在西西里島觀察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動，這顆如今被稱作谷神星（Ceres）的小行星在天空出現(xiàn)了41天，掃過八度角之后，就在太陽的光芒下沒了蹤影。我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個，當(dāng)時天文學(xué)家無法確定這顆新星是彗星還是行星，必須繼續(xù)觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道，再來，它便隱身到太陽后面去了。因此無法知道它的軌道，也無法判定它是行星或彗星。X k B 1 . c o m高斯也對這顆星著了迷，他決定解決這個捉摸不到的星體軌跡的問題。高斯自己獨創(chuàng)了只要三次觀察，就可以來計算星球軌道的方法。他可以極準(zhǔn)確地預(yù)測行星的位置。他利用天文學(xué)家提供的觀測資料，不慌不忙地算出了它的軌跡。果然，谷神星準(zhǔn)確無誤的在高斯預(yù)測的地方出現(xiàn)。這個方法雖然他當(dāng)時沒有公布就是“最小平方法”。在天文學(xué)中這一成就立即得到公認。他在天體運動理論(1809)中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應(yīng)現(xiàn)代計算機的要求。高斯在小行星智神星方面也獲得類似的成功?？紤]到其他行星對智神星軌道的攝動，高斯改進了他的計算。 這時他的聲名遠播，榮譽滾滾而來。自那以后，行星、大行星（海王星）接二連三地被發(fā)現(xiàn)了。1807年他成為格丁根大學(xué)的天文學(xué)教授和新天文臺臺長，直到逝世。1809年，在結(jié)婚4年后和第三個孩子剛出世不久，他第一個妻子去世。他的第二次婚姻(18101831)帶給他兩個兒子和一個女兒。在1812年，他研究了超幾何級數(shù)，并且把研究結(jié)果寫成專題論文，呈給哥廷根皇家科學(xué)院。地理測量X k B 1 . c o m1820年前后，高斯把注意力轉(zhuǎn)向大地測量用數(shù)學(xué)方法測定地球表面的形狀和大小。他把很多時間用於大地測量的理論研究和野外工作。為了增加測量的精確度，他發(fā)明了回光儀(一種利用日光以保證比較精確測量的儀器)。他還引進了所謂的高斯誤差曲線，并指出概率如何能用變差的鐘形曲線(一般稱為正態(tài)曲線，它是刻畫數(shù)據(jù)統(tǒng)計分布的基礎(chǔ))來表示。他還對透過實際的大地測量確定地球形狀感興趣，這個工作使他回到了純理論。他利用這些測量數(shù)據(jù)發(fā)展了曲面論，按照這一理論，一個曲面的特徵只要透過測量曲面上曲線的長度就能確定。這種內(nèi)蘊曲面論啟發(fā)了他的學(xué)生黎曼發(fā)展三維或多維空間的一般內(nèi)蘊幾何學(xué)。這是黎曼1854年在格丁根就職演說的題目，據(jù)說也是困擾高斯的問題。大約60年以后黎曼的思想形成愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。與他在引力和磁學(xué)方面的興趣有密切關(guān)系的是他在1840年發(fā)表的實分析論文。這一論文成為現(xiàn)代位勢理論的出發(fā)點。這可能是他所有的工作中唯一沒有達到他本人高標(biāo)準(zhǔn)要求的一個。只有到20世紀初數(shù)學(xué)家在不同原理的基礎(chǔ)上或藉助於尋求高斯結(jié)論是完全正確的成立條件，才有可能重新發(fā)展位勢理論。1820到1830年間，高斯為了測繪汗諾華公國的地圖，開始做測地的工作，他寫了關(guān)于測地學(xué)的書，由于測地上的需要，他發(fā)明了日觀測儀。高斯和韋伯（Withelm Weber)一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋伯作實驗，高斯研究理論，韋伯引起高斯對物理問題的興趣，而高斯用數(shù)學(xué)工具處理物理問題，影響韋伯的思考工作方法。以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個電報機，設(shè)立磁觀測站，和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。研究領(lǐng)域新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學(xué)問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發(fā)表出來。高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在1808年談到：“任何一個花過一點功夫研習(xí)數(shù)論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱?！备咚箤Υ鷶?shù)學(xué)的重要貢獻是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。事實上在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認為已給出了這個結(jié)果的證明，可是沒有一個證明是嚴密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的證明。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來。在物理學(xué)方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學(xué)家韋伯發(fā)明了有線電報，這使高斯的聲望超出了學(xué)術(shù)圈而進入公眾社會。除此以外，高斯在力學(xué)、測地學(xué)、水工學(xué)、電動學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)等方面均有杰出的貢獻。人物著作著作 出版時間 著作介紹 算術(shù)研究 1801年 介紹了同余、二次互逆定理天體運動理論 1809年 天體運動的著作曲面的一般研究 1827年 闡述了空間曲面的微積分幾何學(xué)關(guān)于代數(shù)基本定理的博士論文 1799年證明了每個復(fù)系數(shù)方程必有復(fù)數(shù)解高等大地測量學(xué)理論上 1843/44年地理測量高等大地測量學(xué)理論下 1846/47年地理測量地磁的一般理論 1839年地磁概念 1840年論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律1840年人物評價高斯不僅對純粹數(shù)學(xué)作出了意義深遠的貢獻，而且對20世紀的天文學(xué)、大地測量學(xué)和電磁學(xué)的實際應(yīng)用也作出了重要的貢獻。高斯開辟了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊幾何學(xué)，都留下了他的足跡。從研究風(fēng)格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是1819世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。高斯是人類的驕傲。天才、早熟、高產(chǎn)、創(chuàng)造力不衰人類智力領(lǐng)域的幾乎所有褒獎之詞，對于高斯都不過分。愛因斯坦曾評論說：“高斯對于近代物理學(xué)的發(fā)展，尤其是對于相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所作的貢獻（指曲面論），其重要性是超越一切，無與倫比的。”貝爾曾經(jīng)這樣評論高斯：在高斯死后，人們才知道他早就預(yù)見一些十九世的數(shù)學(xué)，而且在1800年之前已經(jīng)期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏，很可能比當(dāng)今數(shù)學(xué)還要先進半個世紀或更多的時間。人物名言編輯淺薄的學(xué)識使人遠離神，廣博的學(xué)識使人接近神。高斯數(shù)學(xué)，科學(xué)的皇后；算術(shù)，數(shù)學(xué)的皇后。高斯后世紀念從1989年直到2001年年底，他的肖像和他所寫的正態(tài)分布曲線與一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德國10馬克的鈔票中。另一方面，在漢諾威有和他有關(guān)的雞血石以及三角測量方法。在德國也發(fā)行了三種用以表彰高斯的郵票。第一種郵票(第725號)發(fā)行于1955年他死后的第100周年；另外兩種郵票(第1246號.第1811號)發(fā)行于1977年，他出生的第200周年。在高斯的榮耀中，以他命名的事物包括：1.用在磁場的CGS制計量單位以高斯來命名。新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)2.月球上的坑洞以他來命名。3.小行星1001又稱為高斯星。4.1901年德國建造了一艘名為“高斯”的船，并進行了被稱為“高斯號遠征的”南極探險活動。5 2007年的時候，高斯的半身像被引進瓦爾哈拉神殿。2 意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型n 教學(xué)內(nèi)容教材第103110頁，意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型n 教學(xué)提示題目要求，和題目特點決定應(yīng)用的知識。n 教學(xué)目標(biāo)知識與能力進一步分數(shù)乘除法的意義、比、百分數(shù)的意義、以及在整數(shù)和小數(shù)中存在的模型，在分數(shù)中同樣適用。過程與方法進一步感受數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的作用；掌握所學(xué)的常見數(shù)量關(guān)系和解決問題的思考方法，能夠比較靈活地運用所學(xué)知識解決生活中一些簡單的實際問題，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考的能力。w W w . x K b 1.c o M情感、態(tài)度與價值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，養(yǎng)成定期歸納總結(jié)的習(xí)慣。n 重點、難點重點：意義和模型的靈活應(yīng)用。難點：意義的靈活運用。n 教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：實物投影儀。學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本。n 教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧：1、師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分數(shù)、百分數(shù)的意義，分數(shù)乘除法的意義，比的意義。誰能來說一說。（生回憶，不全的師補全）生：分數(shù)，可以表示一個數(shù)量，也可以表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾生：百分數(shù)只表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，也就是分數(shù)、百分數(shù)都可以表示兩者之間的關(guān)系，用除法進行計算。生：分數(shù)乘法，表示一個數(shù)的幾分之幾是多少 分數(shù)除法，可以看做1、表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或幾倍）2、表示一個數(shù)里有多少個另一個數(shù)。生：比：是描述兩者之間一種相除的關(guān)系，比值則是分數(shù)除法的第一個意義。2、師：我們學(xué)過哪些數(shù)學(xué)模型。生：分數(shù)意義得到的，一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。一個數(shù)我們用甲數(shù)，另一個數(shù)用乙數(shù)，幾分之幾用來表示，那么模型變成：甲數(shù)是乙數(shù)的。生：一個數(shù)比另一個數(shù)的幾分之幾多（或少）多少，模型化：甲數(shù)比乙數(shù)的多（少）丙數(shù)。生：一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾，即甲數(shù)比乙數(shù)多（少）生：按比分配，轉(zhuǎn)化成甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾新課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)生：三個模型根據(jù)已知和待求的量不同，可以變換成3種類型的題目。師：同學(xué)們總結(jié)的太好了。師：我稍稍補充一下，甲數(shù)比乙數(shù)多（少）丙數(shù)。下面我們一起看看它們之間的聯(lián)系。設(shè)計意圖：通過回憶，確定學(xué)過的一些模型，時間足的話，可以說說怎么來的。（二）梳理總結(jié)：設(shè)計意圖：通過構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生明確知識間的內(nèi)在聯(lián)系。（三）鞏固新知：1.一個班有45人，期中考試數(shù)學(xué)有42人及格，這個班的及格率是多少？2.蔣集鎮(zhèn)中心小學(xué)信息興趣小組有32人，其中男生占，男生有多少人？3.大胡村蔬菜大棚去年出產(chǎn)蔬菜800噸，是今年出產(chǎn)蔬菜的，今年出產(chǎn)蔬菜多少噸？4.六年級三班有男生25人，女生人數(shù)比男生的還多3人，女生有多少人？5.蔣集鎮(zhèn)中心小學(xué)舞蹈隊有23名成員，比合唱隊的少2人，合唱隊有多少名同學(xué)？6.天天鮮蔬菜店，今天運來西紅柿200千克，運來的白菜比西紅柿多，天天鮮蔬菜點運來白菜多少千克?7. 天天鮮蔬菜店，今天運來白菜280千克，運來的白菜比西紅柿多，天天鮮蔬菜點運來白菜多少千克?8. 天天鮮蔬菜店，今天運來白菜280千克，西紅柿200千克，天天鮮蔬菜點運來的白菜比西紅柿多幾分之幾？X k B 1 . c o m9.明德小學(xué)今年購進科技書和故事書共2000冊，科技書與故事書的比是3:7，明德小學(xué)今年購進故事書多少冊？10.寧陽縣舉行學(xué)科素養(yǎng)大賽，決定按1:3:5的比例設(shè)置一、二、三等獎，其中，活動二等獎的有30人，那么，獲一等獎的有多少人？答案：93.3%，24人，850噸，23人，20人，280千克，200千克，1400冊，10人。設(shè)計意圖：對上面理論內(nèi)容，進行實踐。（四）達標(biāo)反饋1.學(xué)期末，體育老師對六年級五班的學(xué)生進行體育考查，全部有40人，其中過關(guān)的有36人，過關(guān)率是多少？2.寧莊王大爺家今年共種植黃姜5小畝，肖大爺種植黃姜是王大爺家的，肖大爺家共種植黃姜多少小畝？X k B 1 . c o m3. 寧莊肖大爺家今年共種植黃姜3.5小畝，肖大爺種植黃姜是王大爺家的，肖大爺家共種植黃姜多少小畝？4.水果店運來蘋果200千克，運來的香蕉比蘋果的還少20千克，運來香蕉多少千克？5. 水果店運來香蕉130千克，運來的香蕉比蘋果的還少20千克，運來香蕉多少千克？6.今天農(nóng)貿(mào)市場上，香菜每千克6元，山藥的價格比香菜的多0.5元，山藥每千克多少元？7. 今天農(nóng)貿(mào)市場上，黃瓜每千克4元，比藕價格的少1元，藕每千克多少元？8.豬肉每千克24元，羊肉每千克68元，豬肉比羊肉便宜幾分之幾？9.劉叔叔家有飼養(yǎng)的白兔和黑兔，共180只，白兔和黑兔的比是5:1，劉叔叔家飼養(yǎng)的黑兔有多少只？10. 劉叔叔家有飼養(yǎng)的白兔和黑兔，白兔和黑兔的比是5:2，其中白兔有150只，劉叔叔家飼養(yǎng)的黑兔有多少只？答案：90%，3.5小畝，5小畝，130千克，200千克，4.5元，6元，30只，60只。設(shè)計意圖：檢驗理論的應(yīng)用效果效果。（五）課堂小結(jié)這節(jié)課你學(xué)會了什么，有哪些收獲？給大家說說。設(shè)計意圖：通過總結(jié)，既能夠使學(xué)生加深對所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解和深層次思考，從而將所學(xué)知識納入自己的認知結(jié)構(gòu)，又提升了學(xué)生的梳理和概括能力。（六）布置作業(yè)第2課時：意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型1、工程隊原計劃一周修路20千米，實際修了24千米。實際修的是原計劃的百分之幾？新 -課 -標(biāo) -第- 一-網(wǎng)2、一根繩子用去，正好用去6米。繩子全長有多少米？3、小紅讀一本故事書，第一天讀了這本書的，第二天讀了45頁，還剩下15頁沒有讀。這本故事書一共有多少頁？4、育才小學(xué)有一個直徑是6米的圓形花壇，為美化校園，把這個花壇進行了擴建，擴建后花壇的直徑與原來直徑的比是4:3。擴建后花壇的面積是多少平方米？5、學(xué)校舉辦美術(shù)作品展覽。繪畫作品有80件，比書法作品少。書法作品有多少件？6、一輛汽車從甲地去乙地，已行了全程的，這時距中點還有15千米。全程有多少千米？7. 一張課桌比一把椅子貴20元，如果椅子的單價是課桌的，課桌和椅子的單價各是多少？8. 學(xué)校計劃投資7200元舉辦才藝展示活動，實際的費用比計劃節(jié)約了。實際的費用是多少元？9. 學(xué)校舉行朗誦比賽，獲三等獎的有120人，獲二等獎的人數(shù)是獲三等獎的，獲一等獎的人數(shù)是獲二等獎的。獲一等獎的有多少人？10. “六五”班共有學(xué)生48人，其中男生占。班級里組織學(xué)生成立科技小組，共有22人報名參加。問這個班參加科技小組的男生最多可能有多少人？答案：1、120%，30米，100頁，50.24平方米，112幅，150千米，桌子80元，椅子60元，2700元，40人，22人。板書設(shè)計X Kb 1. C om 意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型 教學(xué)反思題目分類后，看著很簡單，學(xué)生在對比練習(xí)時做的還好，也就是當(dāng)有意識的去區(qū)分，還能區(qū)分清楚，一旦打亂順序，做起來就不理想了。因此，要學(xué)生重點理解公式歸納總結(jié)的過程。才能有利于掌握。n 教學(xué)資料包教學(xué)資源新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)少50米（ ）米360米（ ）米、1、列綜合算式或方程計算。 2.中心小學(xué)有110人參加書寫大賽，其中獲一、二等獎的人數(shù)分別占和。獲一、二等獎的一共多少人？3.一個籃球的價錢是120元，一個排球的價錢是一個籃球價錢的，一個排球的價錢是一個足球價錢的，一個足球多少錢？新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)4.某工廠四月份下半月用水5400噸，比上半月節(jié)約20%，上半月用水多少噸？5.學(xué)校購進一批圖書，按3:5的比例分給四、五年級，五年級分得150本。這批圖書共有多少本？6.某廠九月份用水28噸，十月份比九月份節(jié)約。十月份比九月份節(jié)約多少噸？7.舞蹈隊有男生28人，是女生人數(shù)的，舞蹈隊有女生多少人？8.生產(chǎn)一批零件，已經(jīng)生產(chǎn)了1200個。如果再生產(chǎn)300個就完成任務(wù)了，已經(jīng)生產(chǎn)了百分之幾？9.水果店運來梨、蘋果和橘子共600千克，其中梨運來240千克，運來的蘋果和橘子的重量比是5:4，水果店運來蘋果多少千克？答案：20，280；40人；84元；6750噸；240本；24噸；32人；80%；200千克。資料鏈接數(shù)學(xué)三大危機數(shù)學(xué)三大危機簡述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀）發(fā)現(xiàn)了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數(shù)比（不可公度比）來表示，從而發(fā)現(xiàn)了第一個無理數(shù)，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當(dāng)時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發(fā)現(xiàn)而把希帕索斯拋入大海；第二，微積分的合理性遭到嚴重質(zhì)疑，險些要把整個微積分理論推翻；第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：“我正在撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！http:/ www.x kb1.co m第一次數(shù)學(xué)危機 畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué) 古希臘哲學(xué)家畢達哥拉斯 術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學(xué)派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。畢達哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)僅指整數(shù)。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。 畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)的誕生。小小的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊，對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的 的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。第二次數(shù)學(xué)危機 導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如反掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。但經(jīng)過牛頓和萊布尼茲等著名科學(xué)家的努力（主要是柯西用極限的方法定義了無窮小量），微積分理論得以發(fā)展和完善，從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗！第三次數(shù)學(xué)危機 十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了” 可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。 羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定X k B 1 . c o m 相關(guān)書籍 的集合，問是否屬于它自己是有意義