2018中考數(shù)學題型專項研究12講：2018中考數(shù)學題型專項研究第11講：相似三角形的判定與性質

更多資料見微信公眾號：數(shù)學第六感；小編微信：AA-teacher第11講相似三角形的判定與性質1有關相似三角形的計算問題(如邊、角、周長、面積等)2用相似三角形解決實際問題3證明兩個三角形相似或有關相似三角形的證明1對應關系判斷錯誤2忽視分類討論而出錯3錯記相似三角形的面積比而出錯1求證兩三角形相似，方法有：(1)對應的兩個角相等(經常用到)；(2)三組對應邊成比例；(3)兩組對應邊成比例，并且相應的夾角相等；(4)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似；(5)對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形(定義)2相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，相似比邊長比周長比對應高的比對應中線的比對應角平分線的比；面積比相似比的平方3做題時靈活運用相關知識1有關相似三角形的計算問題：熟悉并掌握相似三角形的性質，在求解過程中能夠找出邊或角的對應關系，適當?shù)倪\用方程、轉化、分類等數(shù)學思想2用相似三角形解決實際問題：首先將實際問題轉化為相似三角形的模型，再判斷說明兩個三角形相似及利用相似三角形的性質求解3證明兩個三角形相似或有關相似三角形的證明：熟悉并掌握相似三角形的判定方法，注意總結歸納相似三角形的一些基本模型【典例解析】【例題1】（2017山東泰安）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，MEAM，ME交AD的延長線于點E若AB=12，BM=5，則DE的長為（）A18BCD【考點】S9：相似三角形的判定與性質；KQ：勾股定理；LE：正方形的性質【分析】先根據(jù)題意得出ABMMCG，故可得出CG的長，再求出DG的長，根據(jù)MCGEDG即可得出結論【解答】解：四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，MC=125=7MEAM，AME=90，AMB+CMG=90AMB+BAM=90，BAM=CMG，B=C=90，ABMMCG，=，即=，解得CG=，DG=12=AEBC，E=CMG，EDG=C，MCGEDG，=，即=，解得DE=故選B【例題2】（2017畢節(jié)）如圖，在ABCD中 過點A作AEDC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點，且AFE=D（1）求證：ABFBEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的長【考點】S9：相似三角形的判定與性質；L5：平行四邊形的性質；T7：解直角三角形【分析】（1）由平行四邊形的性質得出ABCD，ADBC，AD=BC，得出D+C=180，ABF=BEC，證出C=AFB，即可得出結論；（2）由勾股定理求出BE，由三角函數(shù)求出AE，再由相似三角形的性質求出AF的長【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，AD=BC，D+C=180，ABF=BEC，AFB+AFE=180，C=AFB，ABFBEC；（2）解：AEDC，ABDC，AED=BAE=90，在RtABE中，根據(jù)勾股定理得：BE=4，在RtADE中，AE=ADsinD=5=4，BC=AD=5，由（1）得：ABFBEC，即，解得：AF=2ADFDEC，【例題3】（2017湖北江漢）在RtABC中，ACB=90，點D與點B在AC同側，DACBAC，且DA=DC，過點B作BEDA交DC于點E，M為AB的中點，連接MD，ME（1）如圖1，當ADC=90時，線段MD與ME的數(shù)量關系是MD=ME；（2）如圖2，當ADC=60時，試探究線段MD與ME的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）如圖3，當ADC=時，求的值【考點】SO：相似形綜合題【分析】（1）先判斷出AMFBME，得出AF=BE，MF=ME，進而判斷出EBC=BEDECB=45=ECB，得出CE=BE，即可得出結論；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判斷出AF=BE，MF=ME，再判斷出ECB=EBC，得出CE=BE即可得出MDE=，即可得出結論【解答】解：（1）如圖1，延長EM交AD于F，BEDA，F(xiàn)AM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=90，BED=ADC=90，ACD=45，ACB=90，ECB=45，EBC=BEDECB=45=ECB，CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，MDE=45，MD=ME，故答案為MD=ME；（2）MD=ME，理由：如圖2，延長EM交AD于F，BEDA，F(xiàn)AM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=60，BED=ADC=60，ACD=60，ACB=90，ECB=30，EBC=BEDECB=30=ECB，CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，MDE=30，在RtMDE中，tanMDE=，MD=ME（3）如圖3，延長EM交AD于F，BEDA，F(xiàn)AM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，延長BE交AC于點N，BNC=DAC，DA=DC，DCA=DAC，BNC=DCA，ACB=90，ECB=EBC，CE=BE，AF=CE，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，ADC=，MDE=，在RtMDE中， =tanMDE=tan【例題4】（1）閱讀理解：如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，E是BC的中點，若AE是BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關系解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證AEBFEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉化在一個三角形中即可判斷AB、AD、DC之間的等量關系為AD=AB+DC；（2）問題探究：如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論（3）問題解決：如圖，ABCF，AE與BC交于點E，BE：EC=2：3，點D在線段AE上，且EDF=BAE，試判斷AB、DF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論【考點】SO：相似形綜合題【分析】（1）延長AE交DC的延長線于點F，證明AEBFEC，根據(jù)全等三角形的性質得到AB=FC，根據(jù)等腰三角形的判定得到DF=AD，證明結論；（2）延長AE交DF的延長線于點G，利用同（1）相同的方法證明；（3）延長AE交CF的延長線于點G，根據(jù)相似三角形的判定定理得到AEBGEC，根據(jù)相似三角形的性質得到AB=CG，計算即可【解答】解：（1）如圖，延長AE交DC的延長線于點F，ABDC，BAF=F，E是BC的中點，CE=BE，在AEB和FEC中，AEBFEC，AB=FC，AE是BAD的平分線，DAF=BAF，DAF=F，DF=AD，AD=DC+CF=DC+AB，故答案為：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，證明：如圖，延長AE交DF的延長線于點G，E是BC的中點，CE=BE，ABDC，BAE=G，在AEB和GEC中，AEBGEC，AB=GC，AE是BAF的平分線，BAG=FAG，ABCD，BAG=G，F(xiàn)AG=G，F(xiàn)A=FG，AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），證明：如圖，延長AE交CF的延長線于點G，ABCF，AEBGEC，=，即AB=CG，ABCF，A=G，EDF=BAE，F(xiàn)DG=G，F(xiàn)D=FG，AB=CG=（CF+DF）【專項訓練】一、選擇題：1. 如圖，把ABC沿著BC的方向平移到DEF的位置，它們重疊部分的面積是ABC面積的一半，若BC=，則ABC移動的距離是（）ABCD【分析】移動的距離可以視為BE或CF的長度，根據(jù)題意可知ABC與陰影部分為相似三角形，且面積比為2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的長，利用線段的差求BE的長【解答】解：ABC沿BC邊平移到DEF的位置，ABDE，ABCHEC，=（）2=，EC：BC=1：，BC=，EC=，BE=BCEC=故選：D【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質、平移的性質，關鍵在于證ABC與陰影部分為相似三角形2. （2017哈爾濱）如圖，在ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點，DEBC，點F為BC邊上一點，連接AF交DE于點G，則下列結論中一定正確的是（）A =B =C =D =【考點】S9：相似三角形的判定與性質【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質即可求出答案【解答】解：（A）DEBC，ADEABC，故A錯誤；（B）DEBC，故B錯誤；（C）DEBC，故C正確；（D）DEBC，AGEAFC，=，故D錯誤；故選（C）3. （2017山東臨沂）已知ABCD，AD與BC相交于點O若=，AD=10，則AO=4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可【解答】解：ABCD，=，即=，解得，AO=4，故答案為：4【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵4. （2017綏化）如圖，在ABCD中，AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，已知SAEF=4，則下列結論： =；SBCE=36；SABE=12；AEFACD，其中一定正確的是（）ABCD【考點】S9：相似三角形的判定與性質；L5：平行四邊形的性質【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到AE=CE，根據(jù)相似三角形的性質得到=，等量代換得到AF=AD，于是得到=；故正確；根據(jù)相似三角形的性質得到SBCE=36；故正確；根據(jù)三角形的面積公式得到SABE=12，故正確；由于AEF與ADC只有一個角相等，于是得到AEF與ACD不一定相似，故錯誤【解答】解：在ABCD中，AO=AC，點E是OA的中點，AE=CE，ADBC，AFECBE，=，AD=BC，AF=AD，=；故正確；SAEF=4， =（）2=，SBCE=36；故正確；=，=，SABE=12，故正確；BF不平行于CD，AEF與ADC只有一個角相等，AEF與ACD不一定相似，故錯誤，故選D5. （2017湖北江漢）如圖，矩形ABCD中，AEBD于點E，CF平分BCD，交EA的延長線于點F，且BC=4，CD=2，給出下列結論：BAE=CAD；DBC=30；AE=；AF=2，其中正確結論的個數(shù)有（）A1個B2個C3個D4個【考點】S9：相似三角形的判定與性質；LB：矩形的性質【分析】根據(jù)余角的性質得到BAE=ADB，等量代換得到BAE=CAD，故正確；根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tanDBC=，于是得到DBC30，故錯誤；由勾股定理得到BD=2，根據(jù)相似三角形的性質得到AE=；故正確；根據(jù)角平分線的定義得到BCF=45，求得ACF=45ACB，推出EAC=2ACF，根據(jù)外角的性質得到EAC=ACF+F，得到ACF=F，根據(jù)等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故正確【解答】解：在矩形ABCD中，BAD=90，AEBD，AED=90，ADE+DAE=DAE+BAE=90，BAE=ADB，CAD=ADB，BAE=CAD，故正確；BC=4，CD=2，tanDBC=，DBC30，故錯誤；BD=2，AB=CD=2，AD=BC=4，ABEDBA，即，AE=；故正確；CF平分BCD，BCF=45，ACF=45ACB，ADBC，DAC=BAE=ACB，EAC=902ACB，EAC=2ACF，EAC=ACF+F，ACF=F，AF=AC，AC=BD=2，AF=2，故正確；故選C二、填空題：6. （2017湖北隨州）在ABC在，AB=6，AC=5，點D在邊AB上，且AD=2，點E在邊AC上，當AE=或時，以A、D、E為頂點的三角形與ABC相似【考點】S8：相似三角形的判定【分析】若A，D，E為頂點的三角形與ABC相似時，則=或=，分情況進行討論后即可求出AE的長度【解答】解：當=時，A=A，AEDABC，此時AE=；當=時，A=A，ADEABC，此時AE=；故答案為：或7. （2017齊齊哈爾）經過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”如圖，線段CD是ABC的“和諧分割線”，ACD為等腰三角形，CBD和ABC相似，A=46，則ACB的度數(shù)為113或92【考點】S7：相似三角形的性質；KH：等腰三角形的性質【分析】由ACD是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即ACCD，分兩種情形討論當AC=AD時，當DA=DC時，分別求解即可【解答】解：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，當AC=AD時，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，當DA=DC時，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案為113或928. （2017內江）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分線，且CMAB，M為垂足，AM=AB若四邊形ABCD的面積為，則四邊形AMCD的面積是1【考點】S9：相似三角形的判定與性質；KJ：等腰三角形的判定與性質【分析】延長BA、CD，交點為E依據(jù)題意可知MB=ME然后證明EADEBC依據(jù)相似三角形的性質可求得EAD和EBC的面積，最后依據(jù)S四邊形AMCD=SEBCSEAD求解即可【解答】解：如圖所示：延長BA、CD，交點為ECM平分BCD，CMAB，MB=ME又AM=AB，AE=ABAE=BEADBC，EADEBC=S四邊形ADBC=SEBC=SEBC=SEAD=S四邊形AMCD=SEBCSEAD=1故答案為：19. （2017內江）如圖，正方形ABCD中，BC=2，點M是邊AB的中點，連接DM，DM與AC交于點P，點E在DC上，點F在DP上，且DFE=45若PF=，則CE=【考點】S9：相似三角形的判定與性質；LE：正方形的性質【分析】如圖，連接EF首先求出DM、DF的長，證明DEFDPC，可得=，求出DE即可解決問題【解答】解：如圖，連接EF四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA=2，DAB=90，DCP=45，AM=BM=1，在RtADM中，DM=，AMCD，=，DP=，PF=，DF=DP=PF=，EDF=PDC，DFE=DCP，DEFDPC，=，=，DE=，CE=CDDE=2=故答案為10. （2017呼和浩特）如圖，在ABCD中，B=30，AB=AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，點M是邊AB的一個三等分點，則AOE與BMF的面積比為3：4【考點】S9：相似三角形的判定與性質；L5：平行四邊形的性質【分析】作MHBC于H，設AB=AC=m，則BM=m，MH=BM=m，根據(jù)平行四邊形的性質求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=m，然后根據(jù)ASA證得AOECOF，證得AE=FC=m，進一步求得OE=AE=m，從而求得SAOE=m2，作ANBC于N，根據(jù)等腰三角形的性質以及解直角三角形求得BC=m，進而求得BF=BCFC=mm=m，分別求得AOE與BMF的面積，即可求得結論【解答】解：設AB=AC=m，則BM=m，O是兩條對角線的交點，OA=OC=AC=m，B=30，AB=AC，ACB=B=30，EFAC，cosACB=，即cos30=，F(xiàn)C=m，AEFC，EAC=FCA，又AOE=COF，AO=CO，AOECOF，AE=FC=m，OE=AE=m，SAOE=OAOE=m=m2，作ANBC于N，AB=AC，BN=CN=BC，BN=AB=m，BC=m，BF=BCFC=mm=m，作MHBC于H，B=30，MH=BM=m，SBMF=BFMH=mm=m2，=故答案為3：4三、解答題：1. （2017.江蘇宿遷）如圖，在ABC中，AB=AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），滿足DEF=B，且點D、F分別在邊AB、AC上（1）求證：BDECE