七年級數(shù)學(xué)(上冊)一元一次方程應(yīng)用題專題講解(超全超詳細)

七年級上冊應(yīng)用題專題講解列方程解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。許多實際問題都歸結(jié)為解一種方程或 方程組，所以列出方程或方程組解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際，解決實際問題的一個重要方面； 同時通過列方程解應(yīng)用題，可以培養(yǎng)我們分析問題，解決問題的能力。因此我們要努力學(xué) 好這部分知識。一、列方程解應(yīng)用題的一般步驟（解題思路）（1）審審題： 認(rèn)真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系（找出等量 關(guān)系）（2）設(shè)設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù)（3）列列出方程： 設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的 等量關(guān)系列出方程（4）解解方程： 解所列的方程，求出未知數(shù)的值（5）答檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際， 檢驗后寫出答案 （注意帶上單位）二、各類題型解法分析一元一次方程應(yīng)用題歸類匯集：行程問題，工程問題，和差倍分問題（生產(chǎn)、做工等 各類問題），等積變形問題，調(diào)配問題，分配問題，配套問題，增長率問題，數(shù)字問題， 方案設(shè)計與成本分析，古典數(shù)學(xué)，濃度問題等。（一）和、差、倍、分問題讀題分析法這類問題主要應(yīng)搞清各量之間的關(guān)系，注意關(guān)鍵詞語。仔細讀題，找出表示相等關(guān)系 的關(guān)鍵字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套, ”， 利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系 填入代數(shù)式，得到方程.1.倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率 , ” 來體現(xiàn)。2.多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余, ”來體現(xiàn)。增長量原有量增長率現(xiàn)在量原有量增長量例 1某單位今年為災(zāi)區(qū)捐款2 萬 5 千元，比去年的2 倍還多 1000 元，去年該單位為災(zāi)區(qū) 捐款多少元？解： 設(shè)去年該單位為災(zāi)區(qū)捐款x 元，則2x+1000=250002x=24000 x=12000答：去年該單位為災(zāi)區(qū)捐款12000 元.例 2旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽 油的 40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？解： 設(shè)油箱里原有汽油x 公斤 ,則x-25%x+40% (1-25%)x+1=25%x+40% (1-25%)x即10%x=1 x=10答：油箱里原有汽油10 公斤 .（二）等積變形問題等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為：原料體積=成品體積。常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式， 依據(jù)形雖變，但體積不變2圓柱體的體積公式V= 底面積高 Shr h長方體的體積V長寬高 abc例 3現(xiàn)有直徑為 0.8 米的圓柱形鋼坯30 米，可足夠鍛造直徑為0.4 米，長為 3 米的圓柱形機軸多少根？解：設(shè)可足夠鍛造直徑為0.4 米，長為 3 米的圓柱形機軸x 根, 則3.14 ( 0. 422)3x=3.14 ( 0.822)300.12x=4.8 x=40答：可足夠鍛造直徑為0.4 米，長為 3 米的圓柱形機軸40 根。（三）數(shù)字問題1.要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)，一般可設(shè)百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位 數(shù)字為 c（其中 a、b、c 均為整數(shù)，且1a9， 0b9， 0c9），則這個三位數(shù)表示 為： 100a+10b+c2.數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2 或 2n-2 表示；奇數(shù)用2n+1 或 2n1 表示。例 4有一個三位數(shù)，個位數(shù)字為百位數(shù)字的2 倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1，若將此數(shù)個 位與百位順序?qū)φ{(diào)（個位變百位）所得的新數(shù)比原數(shù)的2 倍少 49，求原數(shù)。解：設(shè)原數(shù)百位數(shù)為x,則十位數(shù)為10(x+1) ，個位數(shù)為 2x ，于是100 2x +10(x+1)+x+49=2 100x+10(x+1)+2x即211x+59=224x+2013x=39 x=3故原數(shù)為： 1002+104+23=246答：原數(shù)為 246.例 5一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的數(shù)字之和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十 位上的數(shù)的3 倍，求這個三位數(shù).分析 由已知條件給出了百位和個位上的數(shù)的關(guān)系，若設(shè)十位上的數(shù)為x，則百位上的數(shù)為x+7，個位上的數(shù)是3x，等量關(guān)系為三個數(shù)位上的數(shù)字和為17。解： 設(shè)這個三位數(shù)十位上的數(shù)為x，則百位上的數(shù)為x+7，個位上的數(shù)是3x ，則x+x+7+3x=17解得x=2 x+7=9 ， 3x=6答：這個三位數(shù)是926。（四）商品利潤問題（市場經(jīng)濟問題或利潤贏虧問題）（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價( 或成本 )、售價、標(biāo)價（或定價） 、利潤等。（2）利潤問題常用等量關(guān)系：商品利潤商品售價商品進價商品標(biāo)價折扣率商品進價商品利潤率商品利潤100 %商品售價- 商品進價100 %商品進價商品進價（3）商品銷售額商品銷售價商品銷售量商品的銷售利潤（銷售價成本價）銷售量（4）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打8 折出售，即按原 標(biāo)價的 80%出售即 商品售價 = 商品標(biāo)價折扣率 例6：一家商店將某種服裝按進價提高40%后標(biāo)價，又以8 折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？分析 探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出成本為x 元 ,進價折扣率標(biāo)價優(yōu)惠價利潤x 元8 折（ 1+40% ） X 元 80%（ 1+40% ）X15 元 等量關(guān)系：（利潤=折扣后價格進價）折扣后價格進價=15解： 設(shè) 這種服裝每件的 進價為 x 元，則80%x （ 1+40% ） x=15 ， 解得 x=125答： 這種服裝每件的 進價是 125 元。例 6* ：某商品的進價為800 元，出售時標(biāo)價為1200 元，后來由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售， 但要保持利潤率不低于5%，則至多打幾折？解： 設(shè)至多打x 折，則根據(jù)題意有1200 x800800 100%=5%解得x=0.7=70%答：至多打7 折出售（五）行程問題畫圖分析法利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有 關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系（可把未知數(shù)看做已知量），填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).1.行程問題中的三個基本量及其關(guān)系：路程速度時間時間路程速度速度路程時間2.行程問題基本類型（1）相遇問題：快行距慢行距原距（2）追及問題：快行距慢行距原距（3）航行問題： 順?biāo)L(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 逆水（風(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 水流速度 =( 順?biāo)俣?-逆水速度）2（4）環(huán)路問題甲乙同時同地背向而行：甲路程乙路程=環(huán)路一周的距離 甲乙同時同地同向而行： 快者的路程慢者的路程=環(huán)路一周的距離抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關(guān)系即順?biāo)?逆水問題常用等量關(guān)系：順?biāo)烦?=逆水路程常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。例 7：甲、乙兩站相距480 公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90 公里，一列快車從乙 站開出，每小時行140 公里。（1）慢車先開出 1 小時， 快車再開。 兩車相向而行。 問快車開出多少小時后兩車相遇?（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600 公里？（3）兩車同時開出， 慢車在快車后面同向而行， 多少小時后快車與慢車相距600 公里？（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？（5）慢車開出 1 小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢 車？ ( 此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。)解析：（ 1）分析 ：相遇問題，畫圖表示為：等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480 公里。甲乙解： 設(shè)快車開出x 小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480解這個方程， 230x=39016x1,23答：快車開出161小時兩車相遇23600（ 2）分析 ：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480 公里 =600 公里。甲乙解： 設(shè) x 小時后兩車相距600 公里，由題意得， (140+90)x+480=600解這個方程， 230x=120 x=1223答： 12 小時后兩車相距600 公里。23（ 3）分析： 等量關(guān)系為：快車所走路程慢車所走路程+480 公里 =600 公里。解： 設(shè) x 小時后兩車相距600 公里， 由題意得， (140 90)x+480=60050x=120 x=2.4答： 2.4 小時后兩車相距600 公里。（4）分析： 追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程= 慢車走的路程 +480 公里。甲乙解： 設(shè) x 小時后快車追上慢車。由題意得， 140x=90x+480解這個方程， 50x=480 x=9.6答： 9.6 小時后快車追上慢車。（ 5）分析： 追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程= 慢車走的路程+480 公里。解： 設(shè)快車開出x 小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+48050x=570 x=11.4答：快車開出11.4 小時后追上慢車。例 8： 一輪船在甲、乙兩碼頭之間航行，順?biāo)叫行枰? 小時，逆水航行需要5 小時，水流的速度 為 2 千米 /時，求甲、乙兩碼頭之間的距離。解： 設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為x 千米，則xx445x=80答： 甲、乙兩碼頭之間的距離為80 千米 .（六）工程問題1工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量工作效率工作時間工作效率工作總量工作時間工作時間工作總量工作效率2經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位1。即完成某項任務(wù)的各工作量的和總工作量 1工程問題常用等量關(guān)系：先做的 + 后做的 =完成量 例 9：將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6 小時，乙獨做需4 小時，甲 先做 30 分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？解： 設(shè)甲、乙一起做還需x 小時才能完成工作根據(jù)題意，得1 1+（ 1 + 1） x=16264解這個方程，得x= 11511 =2 小時 12 分5答：甲、乙一起做還需2 小時 12 分才能完成工作例 10：一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6 小時可注滿水池； 單獨開乙管8 小時可注滿水池，單獨開丙管9 小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時 開放 2 小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？分析 等量關(guān)系為：甲注水量+ 乙注水量 -丙排水量 =1。 解： 設(shè)打開丙管后x 小時可注滿水池，則由題意得， ( 161) ( x2)8x3041解這個方程得x291313答：打開丙管后42小時可注滿水池。13例 11：一項工程甲單獨做需要10 天，乙需要12 天，丙單獨做需要15 天，甲、丙先做3 天后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？ 解： 設(shè)還需 x 天，則111015113x11215111或3x(3x )110121510解得x3答：還需10 天完成。3（七）儲蓄問題1顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和， 存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.2儲蓄問題中的量及其關(guān)系為：利息本金利率期數(shù)本息和本金 + 利息利息利率100 %本金利息稅 =利息稅率（20% ）例 12：某同學(xué)把 250 元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7 元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）分析 等量關(guān)系：本息和= 本金（ 1+利率）解： 設(shè)半年期的實際利率為X，依題意得方程250（ 1+X ） =252.7，解得 X=0.0108所以年利率為0.0108 2=0.0216答：銀行的年利率是21.6%（八）配套問題：這類問題的關(guān)鍵是找對配套的兩類物體的數(shù)量關(guān)系。例 13：某車間有 28 名工人生產(chǎn)螺栓和螺母， 每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12 個或螺母 18 個， 應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母） ？ 解： 設(shè)生產(chǎn)螺栓的人有x 名，則生產(chǎn)螺母的有28-x 名工人，于是212x=18（ 28-x） 即42x=504x=1228-x=16答： 應(yīng)分配 12 名工人生產(chǎn)螺栓， 16 名工人生產(chǎn)螺母。例 14：機械廠加工車間有85 名工人，平均每人每天加工大齒輪16 個或小齒輪 10 個，已知2 個大齒輪與3 個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天 加工的大小齒輪剛好配套？解： 設(shè)分配 x 名工人加工大齒輪，則加工小齒輪的有85-x 名工人，于是16x2=10(85-x) 334x=850 x=2585-x=60答： 應(yīng)分配 25 名工人加工大齒輪，60 名工人加工小齒輪。（九）勞力調(diào)配問題這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：（1）既有調(diào)入又有調(diào)出；（2）只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；（3）只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。例 15某廠一車間有64 人，二車間有56 人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車 間人數(shù)的一半。問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？解： 設(shè)需從第一車間調(diào)x 人到第二車間 ,則2（ 64-x）=56+x即3x=72則x=24答： 需從第一車間調(diào)24 人到第二車間 .例 16學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8 人，還少 12 個床位，如果每室住9 人，則空出兩 個房間。求房間的個數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。解： 設(shè)房間數(shù)為 x 個，則有學(xué)生8x+12 人，于是8x+12=9(x-2)解得x=30 則8x+12=252 答：房間數(shù)為30 個，學(xué)生 252 人。（十）比例分配問題比例分配問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x ，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。 常用等量關(guān)系： 各部分之和 = 總量。例 17：甲、乙、丙三個人每天生產(chǎn)機器零件數(shù)為甲、乙之比為4： 3；乙、丙之比為6：5， 又知甲與丙的和比乙的2 倍多 12 件，求每個人每天生產(chǎn)多少件？解： 設(shè)甲每天生產(chǎn)x 件，則乙每天生產(chǎn)3x 件，丙每天生產(chǎn)45x 件，于是853x+x-12=2x84解得x=963則x=72 ,45x=608答：甲每天生產(chǎn)96 件，則乙每天生產(chǎn)72 件，丙每天生產(chǎn)60 件 .（十一）年齡問題例 19：兄弟二人今年分別為15 歲和 9 歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2 倍？ 解：設(shè) x 年后，兄的年齡是弟的年齡的2 倍，則 x 年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x 由題意，得2（ 9+x）=15+x18+2x=15+x2x-x=15-18x= -3答： 3 年前兄的年齡是弟的年齡的2 倍（點撥： -3 年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點前的3 年，是與3?年后具有相反意 義的量）例 20：三位同學(xué)甲乙丙，甲比乙大1 歲，乙比丙大2 歲，三人的年齡之和是41，求乙同學(xué) 的年齡。解：設(shè) 乙同學(xué)的年齡為x 歲，則甲的年齡為（x+1）歲，丙同學(xué)的年齡為（x-2 ）歲，于是x+ （x+1）+（x-2 ）= 41即3x=42 x=14答： 乙同學(xué)的年齡為14 歲，甲同學(xué)的年齡為15 歲，丙同學(xué)的年齡為12 歲.（十二）比賽積分問題例 21：某企業(yè)對應(yīng)聘人員進行英語考試，試題由50 道選擇題組成，評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每道題 的答案選對得3 分，不選得0 分，選錯倒扣1 分。已知某人有5 道題未作，得了103 分， 則這個人選錯了8道題。解： 設(shè)這個人選對了x 道題目，則選錯了45-x 道題，于是3x- （45-x）=1034x=148 解得x=37 則45-x=8答： 這個人選錯了8 道題 .例 22：某學(xué)校七年級 8 個班進行足球友誼賽，采用勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負一場 得 0 分的記分制。某班與其他 7 個隊各賽 1 場后，以不敗的戰(zhàn)績積 17 分，那么該班共勝了 幾場比賽？解： 設(shè)該班共勝了x 場比賽，則3x+（ 7-x）=17解得x=5答： 該班共勝了 5 場比賽 .（十三）方案選擇問題例 23：某家電商場計劃用9 萬元從生產(chǎn)廠家購進50 臺電視機已知該廠家生產(chǎn)3?種不同型號的電視機，出廠價分別為A 種每臺 1500 元， B 種每臺 2100 元，C 種每臺 2500 元（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50 臺，用去9 萬元，請你研究一 下商場的進貨方案（2）若商場銷售一臺A 種電視機可獲利150 元，銷售一臺B 種電視機可獲利200 元， 銷售一臺 C 種電視機可獲利250 元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷 售時獲利最多，你選擇哪種方案？解： 按購 A，B 兩種， B，C 兩種， A ，C 兩種電視機這三種方案分別計算， 設(shè)購 A 種電視機 x 臺，則 B 種電視機 y 臺（1）當(dāng)選購A ，B 兩種電視機時， B 種電視機購（ 50-x ）臺，可得方程1500x+2100（50-x ）=90000即5x+7（50-x ）=3002x=50 x=2550-x=25當(dāng)選購 A ，C 兩種電視機時， C 種電視機購（ 50-x）臺， 可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5 （50-x）=1800 x=3550-x=15當(dāng)購 B，C 兩種電視機時， C 種電視機為（ 50-y）臺 可得方程2100y+2500（ 50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意由此可選擇兩種方案：一是購A，B 兩種電視機25 臺；二是購A 種電視機 35 臺， C種電視機 15 臺（2）若選擇（ 1）中的方案，可獲利15025+25015=8750（元） 若選擇（ 1）中的方案，可獲利15035+25015=9000（元）90008750故為了獲利最多，選擇第二種方案（十四）古典數(shù)學(xué)問題例 2