21空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2 1 空間點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 主要內(nèi)容 2 1 2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 2 1 3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 2 1 1平面 2 1 1 平面 構(gòu)成圖形的基本元素 點(diǎn) 線 面 點(diǎn)無大小 線無粗細(xì) 面無厚薄 點(diǎn) 直線 平面 可無限延伸的 平面是可無限延展的 平面的表示 平面的畫法 一般來說 常用正方形或長方形表示平面 如圖一 在畫立體圖時(shí) 為了增強(qiáng)立體感 常常把平面畫成平行四邊形 如圖二是按照斜二測(cè)畫法得到的平面的水平直觀圖 圖一 圖二 平面的符號(hào)表示 1 希臘字母 平面 平面 平面 2 一個(gè)或幾個(gè)拉丁字母 平面M 平面AC 平面ABCD等 A B C D 平面的表示 平面的表示 兩個(gè)相交平面的畫法和表示 平面 和平面 相交于一條直線a 被遮住的部分畫虛線 平面 平面 直線a 平面的表示 直線和平面都可以看成點(diǎn)的集合 點(diǎn)P在直線l上 點(diǎn)A在平面 內(nèi) 用集合符號(hào)表示點(diǎn)與直線 點(diǎn)與平面 直線與平面的關(guān)系 點(diǎn)P在直線l外 點(diǎn)A在平面 外 直線l在平面 內(nèi) 或者說平面 經(jīng)過直線l 直線l在平面 外 平面的基本性質(zhì) 公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi) 那么這條直線在此平面內(nèi) 思考1 如何讓一條直線在一個(gè)平面內(nèi) 作用 為判斷直線與平面的位置關(guān)系提供依據(jù) 集合符號(hào)表示 平面經(jīng)過這條直線 平面的基本性質(zhì) 公理2過不在一條直線上的三點(diǎn) 有且只有一個(gè)平面 思考2 經(jīng)過兩點(diǎn)可以確定一條直線 那么經(jīng)過幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面呢 作用 判斷幾個(gè)點(diǎn)共面或直線在同一個(gè)平面內(nèi) 集合符號(hào)表示 不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 已知A B C三點(diǎn)不共線 則存在惟一平面 使得A B C 平面的基本性質(zhì) 思考3 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn) 那么還會(huì)有其它公共點(diǎn)嗎 如果有這些公共點(diǎn)有什么特征 公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) 那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 作用 判斷兩個(gè)平面位置關(guān)系的基本依據(jù) 例題 例1如圖 用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 解 1 A B l a A a B 2 a b l a l P b l P a b P 例2 已知直線a 和點(diǎn)P P a 求證經(jīng)過點(diǎn)P和直線a有且只有一個(gè)平面 探究問題 根據(jù)公理1探究直線與平面的各種位置關(guān)系 根據(jù)公理2探究兩條相交直線或平行直線確定一個(gè)平面的合理性 根據(jù)公理3探究平面與平面的各種位置關(guān)系 小結(jié) 1 平面的表示 概念 圖形 符號(hào)等2 平面的基本性質(zhì)公理1公理2公理33 判斷共面的方法 作業(yè) P43練習(xí)1 2 34P51習(xí)題A組1 2 2 1 2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 兩條直線的位置關(guān)系 思考1 同一平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系 空間中的兩條直線呢 C 1 教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板左右兩側(cè)所在直線的位置關(guān)系如何 2 天安門廣場(chǎng)上 旗桿所在直線與長安街所在直線的位置關(guān)系如何 兩條直線的位置關(guān)系 如圖 長方體ABCD A B C D 中 線段A B所在直線分別與線段CD 所在直線 線段BC所在直線 線段CD所在直線的位置關(guān)系如何 觀察 兩條直線的位置關(guān)系 定義不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線 異面直線的圖示 兩條直線的位置關(guān)系 A 空間中既不平行又不相交的兩條直線 B 平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直線 C 分別在不同平面內(nèi)的兩條直線 D 不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 E 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 關(guān)于異面直線的定義 你認(rèn)為下列哪個(gè)說法最合適 問題 兩條直線的位置關(guān)系 空間中的直線與直線之間有三種位置關(guān)系 不同在任何一個(gè)平面內(nèi) 沒有公共點(diǎn) 同一平面內(nèi) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 同一平面內(nèi) 沒有公共點(diǎn) 如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖 如果將它還原為正方體 那么AB CD EF GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對(duì) 探究 直線EF和直線HG 直線AB和直線CD 直線AB和直線HG 答 3對(duì) 平行直線 如圖 在長方體ABCD A B C D 中 BB AA DD AA 那么BB 與DD 平行嗎 觀察 答 平行 平行直線 公理4平行于同一直線的兩條直線互相平行 空間中的平行線具有傳遞性 如果a b b c 那么a c 三條平行線共面 三條平行線不共面 平行直線 已知三條直線兩兩平行 任取兩條直線能確定一個(gè)平面 問這三條直線能確定幾個(gè)平面 三條平行線共面 三條平行線不共面 問題 平行直線 例2如圖 空間四邊形ABCD中 E F G H分別是AB BC CD DA的中點(diǎn) 求證 四邊形EFGH是平行四邊形 在上例中 如果再加上條件AC BD 那么四邊形EFGH是什么圖形 探究 答 四邊形EFGH是菱形 等角定理 在平面上 我們?nèi)菀鬃C明 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 空間中 結(jié)論是否仍然成立 思考1 如圖 四棱柱ABCD A B C D 的底面是平行四邊形 ADC與 A D C ADC與 B A D 的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 這兩組角的大小關(guān)系如何 思考2 ADC A D C ADC B A D 1800 如圖 在空間中AB A B AC A C 你能證明 BAC與 B A C 相等嗎 思考3 等角定理 定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同 那么這兩個(gè)角相等 異面直線所成的角 思考 在同一平面內(nèi)兩條相交直線形成四個(gè)角 常取較小的一組角來度量這兩條直線的位置關(guān)系 這個(gè)角叫做兩條直線的夾角 在空間中怎樣度量兩條異面直線的位置關(guān)系呢 a 平面內(nèi)兩條相交直線 空間中兩條異面直線 異面直線所成的角 已知兩條異面直線a b 經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線 把與所成的銳角 或直角 叫做異面直線a與b所成的角 異面直線所成的角 我們規(guī)定兩條平行直線的夾角為0 那么兩條異面直線所成的角的取值范圍是什么 如果兩條異面直線所成角為900 那么這兩條直線垂直 探究 記直線a垂直于b為 a b 異面直線所成的角 探究 1 在長方體中 有沒有兩條棱所在的直線是相互垂直的異面直線 2 如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直 那么 另一條直線是否也與這條直線垂直 3 垂直于同一條直線的兩條直線是否平行 垂直 異面直線所成的角 例3已知正方體 1 哪些棱所在直線與直線是異面直線 2 直線和的夾角是多少 3 哪些棱所在的直線與直線垂直 解 1 由異面直線的定義可知 棱所在的直線分別與直線是異面直線 2 由可知 為 異面直線與的夾角 所以與的夾角為 在如圖所示的長方體中 AB 且AA1 1 求直線BA1和CD所成角的度數(shù) 30O 練習(xí)1 如圖 在四面體ABCD中 E F分別是棱AD BC上的點(diǎn) 且 已知AB CD 3 求異面直線AB和CD所成的角 練習(xí)2 n直線相交最多有幾個(gè)交點(diǎn) 練習(xí)3 作業(yè) P48練習(xí)1 2P51 52習(xí)題2 1A組3 4 1 2 3 6 5 6 B組1 1 空間直線的三種位置關(guān)系 2 平行線的傳遞性 3 等角定理 4 異面直線所成的角 基本知識(shí) 基本方法把空間中問題通過平移轉(zhuǎn)化為平面問題 知識(shí)回顧 2 1 3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 直線與平面 思考 1 一支鉛筆所在的直線與一個(gè)作業(yè)本所在的平面 可能有幾種關(guān)系 2 如圖 線段A B所在直線與長方體ABCD A B C D 的六個(gè)面所在平面有幾種位置關(guān)系 直線與平面 直線和平面的位置關(guān)系有且只有三種 1 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) a 記為 a 直線與平面 2 直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) a 記為 a A A 直線與平面 3 直線與平面平行 沒有公共點(diǎn) a 記為 a 直線與平面 直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外 記為 a a a a a A A 或 直線與平面 例1 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 1 若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi) 則l 2 若直線l與平面 平行 則l與平面 內(nèi)的任意一條直線都平行3 如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行 那么另一條也與這個(gè)平面平行4 若直線l與平面 平行 則l與平面 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn) A 0 B 1 C 2 D 3 B 平面與平面之間的位置關(guān)系 2 1 4 平面與平面之間的位置關(guān)系 思考 1 拿出兩本書 看作兩個(gè)平面 上下 左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn) 它們之間的位置關(guān)系有幾種 2 如圖 圍成長方體ABCD A B C D 的六個(gè)面 兩兩之間的位置關(guān)系有幾種 兩個(gè)平面的位置關(guān)系 兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有兩種 兩個(gè)平面平行 沒有公共點(diǎn) 兩個(gè)平面相交 有一條公共直線 分類的依據(jù)是什么 公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) 那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 兩個(gè)平面平行或相交的畫法及表示 m m 已知平面 直線a b 且 a b 則