程守珠普通物理學(xué)六版電子教案8-3

8 3畢奧 薩伐爾定律 一 畢奧 薩伐爾 Biot Savart 定律 載流導(dǎo)線中的電流為I 導(dǎo)線半徑比到觀察點(diǎn)P的距離小得多 即為線電流 在線電流上取長(zhǎng)為dl的定向線元 規(guī)定的方向與電流的方向相同 為電流元 電流元在給定點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與Idl成正比 與到電流元的距離平方成反比 與電流元和矢徑夾角的正弦成正比 方向垂直于與組成的平面 指向?yàn)橛山?jīng)角轉(zhuǎn)向時(shí)右螺旋前進(jìn)方向 磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量式 Biot Savart定律的微分形式 Biot Savart定律的積分形式 其中 0 4 10 7N A 2 稱為真空中的磁導(dǎo)率 而 二 運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng) 電流 電荷運(yùn)動(dòng) 磁場(chǎng) 設(shè)電流元 橫截面積S 單位體積內(nèi)有n個(gè)定向運(yùn)動(dòng)的正電荷 每個(gè)電荷電量為q 定向速度為v 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橫截面S的電量即為電流強(qiáng)度I 電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 設(shè)電流元內(nèi)共有dN個(gè)以速度v運(yùn)動(dòng)的帶電粒子 每個(gè)帶電量為q的粒子以速度v通過(guò)電流元所在位置時(shí) 在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 其方向根據(jù)右手螺旋法則 垂直 組成的平面 q為正 為的方向 q為負(fù) 與的方向相反 矢量式 三 畢奧 薩伐爾定律的應(yīng)用 寫出電流元在所求點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 然后按照磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加原理求出所有電流元在該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和 先將載流導(dǎo)體分割成許多電流元 實(shí)際計(jì)算時(shí)要應(yīng)先建立合適的坐標(biāo)系 求各電流元的分量式 即電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向不同時(shí) 應(yīng)先求出各分量然后再對(duì)各分量積分 例8 1載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)設(shè)有長(zhǎng)為L(zhǎng)的載流直導(dǎo)線 其中電流為I 計(jì)算距離直導(dǎo)線為a處的P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 解 任取電流元 據(jù)畢奧 薩伐爾定律 此電流元在P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 方向根據(jù)右手螺旋定則確定 由于直導(dǎo)線上所有電流元在該點(diǎn)方向相同 矢量積分可變?yōu)闃?biāo)量積分 由幾何關(guān)系有 考慮三種情況 1 導(dǎo)線無(wú)限長(zhǎng) 即 2 導(dǎo)線半無(wú)限長(zhǎng) 場(chǎng)點(diǎn)與一端的連線垂直于導(dǎo)線 3 P點(diǎn)位于導(dǎo)線延長(zhǎng)線上 B 0 例8 2載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)設(shè)有圓形線圈L 半徑為R 通以電流I 求軸線上一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度 在場(chǎng)點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度大小為 解 各電流元的磁場(chǎng)方向不相同 可分解為和 由于圓電流具有對(duì)稱性 其電流元的逐對(duì)抵消 所以P點(diǎn)的大小為 1 在圓心處 2 在遠(yuǎn)離線圈處 載流線圈的磁矩 引入 若線圈有N匝 例 3載流直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng) 設(shè)螺線管的半徑為R 電流為I 每單位長(zhǎng)度有線圈n匝 計(jì)算螺線管內(nèi)軸線上P點(diǎn)的電磁感應(yīng)強(qiáng)度 在螺線管上任取一小段dl由于每匝可作平面線圈處理 ndl匝線圈可作Indl的一個(gè)圓電流 在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 實(shí)際上 L R時(shí) 螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)近似均勻 大小為 1 螺線管無(wú)限長(zhǎng) 2 半無(wú)限長(zhǎng)螺線管的端點(diǎn)圓心處 例題8 4亥姆霍茲線圈 在實(shí)驗(yàn)室中 常應(yīng)用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生所需的不太強(qiáng)的均勻磁場(chǎng) 特征是由一對(duì)相同半徑的同軸載流線圈組成 當(dāng)它們之間的距離等于它們的半徑時(shí) 試計(jì)算兩線圈中心處和軸線上中點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 從計(jì)算結(jié)果將看到 這時(shí)在兩線圈間軸線上中點(diǎn)附近的場(chǎng)強(qiáng)是近似均勻的 解 設(shè)兩個(gè)線圈的半徑為R 各有N匝 每匝中的電流均為I 且流向相同 如圖 兩線圈在軸線上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向均沿軸線向右 在圓心O1 O2處磁感應(yīng)強(qiáng)度相等 大小都是 兩線圈間軸線上中點(diǎn)P處 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 此外 在P點(diǎn)兩側(cè)各R 4處的O1 O2兩點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度都等于 在線圈軸線上其他各點(diǎn) 磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值都介乎B0 BP之間 由此可見(jiàn) 在P點(diǎn)附近軸線上的場(chǎng)強(qiáng)基本上是均勻的 其分布情況約如圖所示 圖中虛線是每個(gè)圓形載流線圈在軸線上所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分布 實(shí)線是代表兩線圈所激發(fā)場(chǎng)強(qiáng)的疊加曲線 右圖為磁感線分布情況 例題 在玻爾的氫原子模型中 電子繞原子核運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)圓電流 具有相應(yīng)的磁矩 稱為軌道磁矩 試求 軌道中心磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小 軌道磁矩 與軌道角動(dòng)量L之間的關(guān)系 計(jì)算氫原子在基態(tài)時(shí)電子的軌道磁矩 解 為簡(jiǎn)單起見(jiàn) 設(shè)電子繞核作勻速圓周運(yùn)動(dòng) 圓的半徑為r 轉(zhuǎn)速為n 電子的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)圓電流 電流的量值為I ne 利用例 的結(jié)果 軌道中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 圓電流的面積為S r2 所以相應(yīng)的磁矩為 電子角動(dòng)量為 Me是電質(zhì)量 比較兩式 可得 角動(dòng)量和磁矩的方向可分別按右手螺旋規(guī)則確定 因?yàn)殡娮舆\(yùn)動(dòng)方向與電流方向相反 所以L和 的方向恰好相反 如圖所示 上式關(guān)系寫成矢量式為 由于電子的軌道角動(dòng)量是滿足量子化條件的 在玻爾理論中 其量值等于 h 2 d的整數(shù)倍 所以氫原子在基態(tài)時(shí) 其軌道磁矩為 這一經(jīng)典結(jié)論與量子理論導(dǎo)出的結(jié)果相符 它是軌道磁矩的最小單位 稱為玻爾磁子 將e 1 602 10 19C me 9 11 10 31kg 普朗克常量h 6 626 10 34J s代入 可算得 原子中的電子除沿軌道運(yùn)動(dòng)外 還有自旋 電子的自旋是一種量子現(xiàn)象 它有自己的磁矩和角動(dòng)量 電子自旋磁矩的量值等于玻爾磁子 選擇進(jìn)入下一節(jié) 8 0教學(xué)基本要求 8 1恒定電流 8 2