八年級(jí)應(yīng)用題分類解析培優(yōu)訓(xùn)練

八年級(jí)應(yīng)用題分類總結(jié)【1.分式方程類】分式方程應(yīng)用性問題聯(lián)系實(shí)際比較廣泛，靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，有助于解決應(yīng)用問題中出現(xiàn)的分式化簡(jiǎn)、計(jì)算、求值等題目，運(yùn)用分式的計(jì)算有助于解決日常生活實(shí)際問題一、營銷類應(yīng)用性問題 例1 某校辦工廠將總價(jià)值為2000元的甲種原料與總價(jià)值為4800元的乙種原料混合后，其平均價(jià)比原甲種原料0.5kg少3元，比乙種原料0.5kg多1元，問混合后的單價(jià)0.5kg是多少元？分析：市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，常遇到營銷類應(yīng)用性問題，與價(jià)格有關(guān)的是：?jiǎn)蝺r(jià)、總價(jià)、平均價(jià)等，要了解它們的意義，建立它們之間的關(guān)系式.解：設(shè)混合后的單價(jià)為0.5kg x元，則甲種原料的單價(jià)為0.5kg (x+3)元，混合后的總價(jià)值為(20004800) 元，混合后的重量為2000+4800x斤，甲種原料的重量為2000x+3，乙種原料的重量為4800x-1，依題意，得：2000x+3 + 4800x-1 = 2000+4800x解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，所以。即混合后的單價(jià)為0.5kg 17元評(píng)析：營銷類應(yīng)用性問題，涉及進(jìn)貨價(jià)、售貨價(jià)、利潤率、單價(jià)、混合價(jià)、贏利、虧損等概念，要結(jié)合實(shí)際問題對(duì)它們表述的意義有所了解，同時(shí)，要掌握好基本公式，巧妙建立關(guān)系式隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制的建立，這類問題具有較強(qiáng)的時(shí)代氣息，因而成為中考?？疾凰サ臒狳c(diǎn)問題二、工程類應(yīng)用性問題例2 某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元2 甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說明理由分析：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量對(duì)于工期，一般情況下把整個(gè)工作量看成1，設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間分別為天，天，天，可列出分式方程組解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，依題意可得：，得=，得=，即z = 30，得=，即x = 10，得=，即y = 15經(jīng)檢驗(yàn)，x = 10，y = 15，z = 30是原方程組的解設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付元，乙隊(duì)做一天廠家需付元，丙隊(duì)做一天廠家需付元，根據(jù)題意，得由可知完成此工程不超過工期只有兩個(gè)隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì)此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花錢元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花錢元所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少評(píng)析：在求解時(shí)，把，分別看成一個(gè)整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解三、行程中的應(yīng)用性問題例3 甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度分析：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是路程= 速度時(shí)間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問題總的等量關(guān)系，即普通快車走完路程所用的時(shí)間與直達(dá)快車由甲地到乙地所用時(shí)間相等解：設(shè)普通快車車的平均速度為kmh，則直達(dá)快車的平均速度為1.5kmh，依題意，得=，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，且符合題意，即普通快車車的平均速度為46kmh，直達(dá)快車的平均速度為69kmh分析：列分式方程與列整式方程一樣，注意找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，設(shè)好未知數(shù)，列出方程不同之處是：所列方程是分式方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)其是否為所列方程的解，要要檢驗(yàn)是否符合題意，即滿足實(shí)際意義四、輪船順逆水應(yīng)用問題例4 輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時(shí)間與在逆水中航行20千米所用的時(shí)間相等，已知水流速度為2千米時(shí)，求船在靜水中的速度分析：此題的等量關(guān)系很明顯：順?biāo)叫?0千米的時(shí)間= 逆水中航行20千米的時(shí)間，即=設(shè)船在靜水中的速度為千米時(shí)，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣?、逆水航行速度可用未知?shù)表示，問題可解決解：設(shè)船在靜水中速度為千米時(shí)，則順?biāo)叫兴俣葹榍讜r(shí)，逆水航行速度為千米時(shí)，依題意，得=，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根即船在靜水中的速度是10千米時(shí)五、濃度應(yīng)用性問題例5 要在15%的鹽水40千克中加入多少鹽才能使鹽水的濃度變?yōu)?0%分析：濃度問題的基本關(guān)系是：溶質(zhì)溶液 =濃度此問題中變化前后三個(gè)基本量的關(guān)系如下表：設(shè)加入鹽千克溶液溶質(zhì)濃度加鹽前404015%15%加鹽后404015%20%根據(jù)基本關(guān)系即可列方程解：設(shè)應(yīng)加入鹽千克，依題意，得=100(4015%) = 20(40)，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，即加入鹽2.5千克六、貨物運(yùn)輸應(yīng)用性問題例6 一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地，有甲、乙、丙三輛卡車可雇用已知甲、乙、丙三輛車每次運(yùn)貨物量不變，且甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)這批貨物分別運(yùn)次、次能運(yùn)完；若甲、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，甲車共運(yùn)了180t；若乙、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，乙車共運(yùn)了270t問：乙車每次所運(yùn)貨物量是甲車每次所運(yùn)貨物量的幾倍；現(xiàn)甲、乙、丙合運(yùn)相同次數(shù)把這批貨物運(yùn)完時(shí)，貨主應(yīng)付車主運(yùn)費(fèi)各多少元？(按每運(yùn)1t付運(yùn)費(fèi)20元計(jì)算)分析：解題思路應(yīng)先求出乙車與甲車每次運(yùn)貨量的比，再設(shè)出甲車每次運(yùn)貨量是丙車每次運(yùn)貨量的倍，列出分式方程解：設(shè)這批貨物共有t，甲車每次運(yùn)t，乙車每次運(yùn)t，即乙車每次運(yùn)貨量是甲車的2倍甲車每次運(yùn)貨量是丙車每次運(yùn)貨量的倍，乙車每次運(yùn)貨量是丙車每次運(yùn)貨量的倍則180= 270，解得所以這批貨物總量為1801802 = 540 (t)甲車運(yùn)180t，丙車運(yùn)540180 =360 (t)，丙車每次運(yùn)貨量也是甲車的2倍甲車車主應(yīng)得運(yùn)費(fèi)：54020 = 2160(元)，乙、丙兩車主各得運(yùn)費(fèi)：54020 = 4320(元)即應(yīng)付甲車主運(yùn)費(fèi)2160元，付乙、丙兩車車主運(yùn)費(fèi)各4320元【2.一次函數(shù)類】確定解析式的幾種方法： 1. 根據(jù)實(shí)際意義直接寫出一次函數(shù)表達(dá)式，然后解決相應(yīng)問題；（直表法） 2. 已經(jīng)明確函數(shù)類型，利用待定系數(shù)法構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式；（待定系數(shù)法） 3. 利用問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，變形推導(dǎo)所求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式；（等是變形法） 二、重點(diǎn)題型 1. 根據(jù)各類信息猜測(cè)函數(shù)類型為一次函數(shù)，并驗(yàn)證猜想； 2.運(yùn)用函數(shù)思想，構(gòu)建函數(shù)模型解決（最值、決策）問題一、方案比較型例7 東風(fēng)商場(chǎng)文具部的某種毛筆每支售價(jià)25元，書法練習(xí)本每本售價(jià)5元。該商場(chǎng)為促銷制定了甲、乙兩種優(yōu)惠辦法。 甲：買1支毛筆就贈(zèng)送1本書法練習(xí)本； 乙：按購買金額打9折付款。 某校書法興趣小組打算購買這種毛筆10支，這種書法練習(xí)本x(x=10)本。 （1）分別寫出按甲、乙兩種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲（元）、y乙（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）比較購買不同數(shù)量的書法練習(xí)本時(shí)，按哪種優(yōu)惠辦法付款最省錢。 （3）如果商場(chǎng)允許既可以選擇一種優(yōu)惠辦法購買，也可以用兩種優(yōu)惠辦法購買，請(qǐng)你就購買這種毛筆10支和這種書法練習(xí)本60本設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方案。分析：只需根據(jù)題意，按要求將文字語言翻譯成符號(hào)語言，再列出一次函數(shù)關(guān)系式即可。 解：（1） y甲=1025+5（x-10）=5x+200（x=10） y乙=10250.9+50.9x=4.5x+225（x=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25 若y甲-y乙=0 解得x=50若y甲-y乙0 解得x50若y甲-y乙0 解得x50 當(dāng)購買50本書法練習(xí)本時(shí)，按兩種優(yōu)惠辦法購買實(shí)際付款一樣多，即可任選一種優(yōu)惠辦法付款；當(dāng)購買本數(shù)不小于10且小于50時(shí)，選擇甲種優(yōu)惠辦法付款省錢；當(dāng)購買本數(shù)大于50時(shí)，選擇乙種優(yōu)惠辦法付款省錢。 （3）設(shè)按甲種優(yōu)惠辦法購買a(0=a=10)支毛筆，則獲贈(zèng)a本書法練習(xí)本。則需要按乙種優(yōu)惠辦法購買10-a支毛筆和(60-a)支書法練習(xí)本。總費(fèi)用為y=25a+250.9（10-a）+50.9（60-a）=495-2a。故當(dāng)a最大（為10）時(shí)，y最小。所以先按甲種優(yōu)惠辦法購買10支毛筆得到10本書法練習(xí)本，再按乙種優(yōu)惠辦法購買50本書法練習(xí)本，這樣的購買方案最省錢。說明：本題屬于“計(jì)算、比較、擇優(yōu)”型，它運(yùn)用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，解決了最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)問題。二.方案設(shè)計(jì)型/利潤問題 (用列表法) 列表法就是將題目中的各個(gè)量列成一個(gè)表格，從而理順?biāo)鼈冎g的數(shù)量關(guān)系，以便于從中找到函數(shù)關(guān)系的解題方法。 例8 某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知：生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9kg、乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4kg、乙種原料10kg，可獲利潤1200元。 （1）若安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，共有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來。 （2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤是y元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中的哪種生產(chǎn)方案可以獲得最大總利潤。最大的總利潤是多少？分析：本題中共出現(xiàn)了9個(gè)數(shù)據(jù)，其中涉及甲、乙兩種原料的質(zhì)量，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總件數(shù)及兩種產(chǎn)品所獲得的利潤等。為了清楚地整理題目所涉及的各種信息，我們可采用列表法。 解：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是（50-x）件?？闪谐鱿卤黻P(guān)系式：產(chǎn)品每件產(chǎn)品需要甲種原料（kg）每件產(chǎn)品需要乙種原料（kg）每件產(chǎn)品利潤（元）件數(shù)A93700xB410120050-x根據(jù)題意及上表可得：9x+450-x360 3x+1050-x290 解不等式組，得30=X=32 因?yàn)閤是整數(shù)，所以x只可取30、31、32，相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。所以，生產(chǎn)的方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。 （2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50-x。 由題意得：y=700x+1200(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）-5000 所以y隨x的增大而減小。當(dāng)x=30時(shí)，y的值最大因此，按（1）中第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲得的總利潤最大 最大的總利潤是：-50030+60000=45000（元） 說明：本題是先利用不等式的知識(shí)，得到幾種生產(chǎn)方案，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳生產(chǎn)方案。三、分段函數(shù)型例9 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一。為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，某市自來水公司對(duì)居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)的辦法收費(fèi)。即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）用戶，每噸收水費(fèi)a元，一月用水超過10噸的用戶，超過部分每噸按b元（ba）收費(fèi)。設(shè)一戶居民月用水x噸，水費(fèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。010 20 x(元)3515y(元)（1）求a的值，若某戶上月用水8噸，應(yīng)收水費(fèi)多少元？（2）求b值，并寫出當(dāng)x大于10時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收費(fèi)46元，求他們上月分別用水多少噸？解：（1）當(dāng)x10時(shí)，有y=ax.將x=10,y=15代入,得a=1.5 用8噸水應(yīng)收水費(fèi)81.5=12(元)(2)當(dāng)x10時(shí),y=b(x-10)+15將x=20,y=35代入,得35=10b+15 b=2故當(dāng)x10時(shí),y=2x-5(3)因1.510+1.510+2446,所以甲乙兩家上月用水均超過10噸.設(shè)甲乙兩家上月用水分別為x噸,y噸,則 y=x-4 2y-5+2x-5=46 解得 x=16y=12 故居民甲上月用水16噸,居民乙上月用水12噸.課后作業(yè)東0 10 20 x（噸）4kmA7kmB8km1.（9分）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？2.（8分）某商場(chǎng)出售一批進(jìn)價(jià)為元的賀卡，在市場(chǎng)營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價(jià)x（元）與日銷售量y（個(gè)）之間有如下關(guān)系：日銷售單價(jià)x（元）3456日銷售量y(個(gè))20151210（1）猜測(cè)并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為元，求出與x之間的函數(shù)關(guān)系式.若物價(jià)局規(guī)定此賀卡的售價(jià)最高不能超過10元個(gè)，請(qǐng)你求出當(dāng)日銷售單價(jià)x定為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤？X3、（10分）在抗震救災(zāi)活動(dòng)中,某廠接到一份訂單,要求生產(chǎn)7200頂帳篷支援四川災(zāi)區(qū),后來由于情況緊急, 接收到上級(jí)指示,要求生產(chǎn)總量比原計(jì)劃增加20%,且必須提前4天完成生產(chǎn)任務(wù),該廠迅速加派人員組織生產(chǎn),實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)720頂,請(qǐng)問該廠實(shí)際每天生產(chǎn)多少頂帳篷?4（10分）八年級(jí)某班對(duì)最近一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將所有成績(jī)由低到高分成五組，并繪制如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，請(qǐng)結(jié)合直方圖提供信息，回答下列問題。（1） 該班共有多少名同學(xué)參加這次測(cè)試？（2） 在該頻數(shù)分布直方圖中畫出頻數(shù)折線圖；（3） 這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)中的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)？（4） 若這次測(cè)驗(yàn)中，成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）為優(yōu)秀，那么該班這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的優(yōu)秀率是多少？5（18分）某商店積壓了100件某種商品，為使這批貨物盡快脫手，該商店采取了如下銷售方案，將價(jià)格提高到原來的2.5倍，再作3次降價(jià)處理：第一次降價(jià)30%，標(biāo)出“虧本價(jià)”；第二次降價(jià)30%，標(biāo)出“破產(chǎn)價(jià)”；第三次降價(jià)30%，標(biāo)出“跳樓價(jià)