第二章二體問題

.,第二章二體問題,.,本章主要介紹有關(guān)衛(wèi)星的運動規(guī)律，軌道的描述，以及二體問題的運動方程和方程的解。重點：1.二體問題的定義；2.衛(wèi)星運動的軌道參數(shù)；3.二體問題基本運動方程；4.二體問題基本運動方程的解。難點：1怎樣理解二體問題基本運動方程；2怎樣得到二體問題基本運動方程的解。,.,主要內(nèi)容,2.1引言,2.2開普勒行星運動三定律,2.3二體問題的運動方程,2.4軌道根數(shù),2.5人衛(wèi)軌道攝動因素簡介,.,2.引言,.,一、人衛(wèi)軌道理論概述,內(nèi)容：研究人造地球衛(wèi)星的運動規(guī)律,特點:,需要考慮地球引力的高階項的影響（即不能把地球當(dāng)作質(zhì)點，也不能把地球當(dāng)作均質(zhì)圓球）需要同時考慮保守力和非保守力（耗散力）的作用,衛(wèi)星在空間運行的軌跡稱為軌道，描述衛(wèi)星軌道位置和狀態(tài)的參數(shù)稱為軌道參數(shù)。,.,需要采用不同于研究自然天體的新理論、新方法（天體力學(xué)中的原有公式由于收斂性和精度的原因而不適用于人衛(wèi)軌道的研究）,研究內(nèi)容除定軌外，還包括軌道設(shè)計、衛(wèi)星回收等問題,衛(wèi)星在空間繞地球運行時，除了受地球重力場的引力作用外，還受到太陽、月亮和其它天體的引力影響，以及太陽光壓、大氣阻力和地球潮汐力等因素影響。衛(wèi)星實際運行軌道十分復(fù)雜，難以用簡單而精確的數(shù)學(xué)模型加以描述。,.,為了研究工作和實際應(yīng)用的方便，通常把作用于衛(wèi)星上的各種力按其影響的大小分為兩類：一類是假設(shè)地球為均質(zhì)球體的引力（質(zhì)量集中于球體的中心），稱為中心力，決定著衛(wèi)星運動的基本規(guī)律和特征，由此決定的衛(wèi)星軌道，可視為理想軌道，是分析衛(wèi)星實際軌道的基礎(chǔ)。另一類是攝動力或非中心力，包括地球非球形對稱的作用力、日月引力、大氣阻力、光輻射壓力以及地球潮汐力等。攝動力使衛(wèi)星的運動產(chǎn)生一些小的附加變化而偏離理想軌道，同時偏離量的大小也隨時間而改變。在攝動力的作用下的衛(wèi)星運動稱為受攝運動，相應(yīng)的衛(wèi)星軌道稱為受攝軌道。,二、作用在衛(wèi)星上的外力,.,地球引力地球引力(1)地球的球形引力或稱地球中心力地球引力(2)地球的非球形引力或稱地球形狀攝動力,.,日、月及其它天體的引力,大氣阻力,其它作用力（如：地磁、地球潮汐攝動等）,太陽光壓,在各種作用力對衛(wèi)星運行軌道的影響中，地球引力場的影響為主，其它作用力的影響相對要小的多。若假設(shè)地球引力場的影響為1，其它引力場的影響均小于10-5。,.,三、二體問題與人衛(wèi)正常軌道,二體問題研究二個質(zhì)點在萬有引力作用下的運動規(guī)律問題,攝動力除地球引力(1)外，其它作用在衛(wèi)星上的力,.,人衛(wèi)正常軌道滿足如下假定條件下的衛(wèi)星軌道，稱為人衛(wèi)正常軌道:地球為正球除地球正球引力外，衛(wèi)星不受其它攝動力的作用,人衛(wèi)正常軌道的特點:運動軌道為一橢圓,可以精確地計算出橢圓大小形狀及其在空間中的定向以及衛(wèi)星在軌道上的位置,.,四、軌道攝動,人衛(wèi)真實軌道除了地球引力(1)外，衛(wèi)星還受到地球引力(2)以及其它攝動力的作用。衛(wèi)星在所有這些力的作用下的軌道，稱為人衛(wèi)真實軌道。軌道攝動衛(wèi)星的真實軌道與正常軌道之間的差異，稱為軌道攝動。,.,五、軌道理論的分類,人衛(wèi)正常軌道理論確定人造衛(wèi)星正常軌道的形狀、大小與空間定向以及衛(wèi)星在軌道上的位置的一整套方法及相關(guān)理論，稱為人衛(wèi)正常軌道理論。人衛(wèi)攝動軌道理論解決人造衛(wèi)星軌道攝動問題的一整套方法和相應(yīng)的理論，稱為人衛(wèi)攝動軌道理論。人衛(wèi)正常軌道與人衛(wèi)真實軌道之間的關(guān)系,.,綜述,.,2.2開普勒行星運動三定律,開普勒（JohannesKepler）國籍:德國生卒日期:1571.12.271630.11.15主要成就:發(fā)現(xiàn)了行星運動三定律,.,一.衛(wèi)星運動的開普勒定律（1）開普勒第一定律衛(wèi)星運行的軌道為一橢圓，該橢圓的一個焦點與地球質(zhì)心重合。此定律闡明了衛(wèi)星運行軌道的基本形態(tài)及其與地心的關(guān)系。由萬有引力定律可得衛(wèi)星繞地球質(zhì)心運動的軌道方程。r為衛(wèi)星的地心距離，a為開普勒橢圓的長半徑，e為開普勒橢圓的偏心率；f為真近點角，它描述了任意時刻衛(wèi)星在軌道上相對近地點的位置，是時間的函數(shù)。,.,（2）開普勒第二定律：衛(wèi)星的地心向徑在單位時間內(nèi)所掃過的面積相等。表明衛(wèi)星在橢圓軌道上的運行速度是不斷變化的，在近地點處速度最大，在遠地點處速度最小。,.,（3）開普勒第三定律：衛(wèi)星運行周期的平方與軌道橢圓長半徑的立方之比為一常量，等于GM的倒數(shù)。假設(shè)衛(wèi)星運動的平均角速度為n，則n=2/T，可得當(dāng)開普勒橢圓的長半徑確定后，衛(wèi)星運行的平均角速度也隨之確定，且保持不變。,.,2.二體問題的運動方程,在圖3-1中所示的二體問題中，依據(jù)萬有引力定律可知，地球O作用于衛(wèi)星S上的引力F為：,式中：G萬有引力常數(shù)，G=(66724.1)10-14Nm2/kg2；，m地球和衛(wèi)星的質(zhì)量；r衛(wèi)星的在軌位置矢量。,.,由牛頓第二定律可知，衛(wèi)星與地球的運動方程：,.,二體問題的運動方程,設(shè)為衛(wèi)星S相對于O的加速度，則:,.,由于M遠大于m，通常不考慮m的影響，則有：取地球引力常數(shù)=GM=1，此時（3-4）式可寫成為：,.,二體問題的運動方程,設(shè)以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系為O-XYZ，S點的坐標(biāo)為（X，Y，Z），則衛(wèi)星S的地心向徑r=（X，Y，Z），加速度，代入（3-4）得二體問題的運動方程：,.,左邊(3-6)方程解的一般形式為：,.,二體問題微分方程的解,衛(wèi)星運動的軌道平面方程直接由微分方程（3-6）求積分，可得衛(wèi)星運動的軌道平面方程：式中，X,Y,Z是衛(wèi)星在地心天球坐標(biāo)系中的坐標(biāo),.,衛(wèi)星運動的軌道方程衛(wèi)星運動的軌道方程為：由于，所以（3-10）式可以真近點角V表示：另外由二體運動的微分方程可求出常用的表示衛(wèi)星運動速度U的活力積分：,.,用偏近點角E代替真近點角V從表示偏近點角E與真近點角V的關(guān)系的圖3-2，不難證明:,.,另外還可導(dǎo)出V和E的關(guān)系：,.,開普勒方程設(shè)衛(wèi)星的運動周期為T，則衛(wèi)星平均角速度為：由此得到開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達式：,.,建立軌道坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點O在地心，X軸指向橢圓軌道近地點P，Y軸為軌道橢圓的短軸，Z軸為軌道橢圓的法向。在此坐標(biāo)系下可以得出著名的開普勒軌道方程：,.,2.4軌道根數(shù),.,什么是軌道根數(shù),所謂軌道根數(shù)即軌道參數(shù)，是在人衛(wèi)軌道理論中用來描述衛(wèi)星橢圓軌道的形狀、大小及其在空間的指向，及確定任一時刻t0衛(wèi)星在軌道上的位置的一組參數(shù)。通常采用的是所謂的6個開普勒軌道根數(shù)。,.,即：長半徑a偏心率e這兩個參數(shù)確定了開普勒橢圓的形狀和大小。升交點赤經(jīng):即地球赤道面上升交點與春分點之間的地心夾角。軌道傾角I:即衛(wèi)星軌道平面與地球赤道面之間的夾角。這兩個參數(shù)唯一地確定了衛(wèi)星軌道平面與地球體之間的相對定向。近地點角距:即在軌道平面上，升交點與近地點之間的地心夾角，表達了開普勒橢圓在軌道平面上的定向。衛(wèi)星過近地點的時刻t0：確定衛(wèi)星在軌道上的瞬時位置。（該參數(shù)可用f代替。f為衛(wèi)星的真近點角）,.,f為衛(wèi)星的真近點角：即軌道平面上衛(wèi)星與近地點之間的地心角距。該參數(shù)為時間的函數(shù)，確定衛(wèi)星在軌道上的瞬時位置。,真近點角f的計算在描述衛(wèi)星無攝運動的6個開普勒軌道參數(shù)中，只有真近點角是時間的函數(shù)，其余均為常數(shù)。故衛(wèi)星瞬間位置的計算，關(guān)鍵在于計算真近點角。,.,為了計算真近點角，引入兩個輔助參數(shù)E偏近點角和M平近點角。M是一個假設(shè)量，當(dāng)衛(wèi)星運動的平均角速度為n，則M=n(t-t0)，t0為衛(wèi)星過近地點的時刻，t為觀測衛(wèi)星時刻。平近點角與偏近點角間存在如下關(guān)系：E=M+esinE。由此可得真近點角,.,軌道平面上的特殊點,近地點與遠地點升交點與降交點通常，衛(wèi)星軌道與赤道平面有2個交點。當(dāng)衛(wèi)星從赤道平面以下（南半球）穿過赤道平面進入北半球的交點，稱為升交點。反之，則稱為降交點。,.,開普勒軌道根數(shù)(1),升交點赤經(jīng)定義：升交點的赤經(jīng),軌道傾角i定義：在升交點處軌道正方向（衛(wèi)星運動方向）與赤道正方向（赤經(jīng)增加方向）之間的夾角。,長半徑a定義：軌道長軸的一半，也稱作長半軸或半長軸,偏心率e定義：,近地點角距定義：從升交點的地心矢徑起算，逆時針方向（從正方向看）旋轉(zhuǎn)至近地點的地心矢徑所經(jīng)過的角度。,衛(wèi)星過近地點的時刻t0