倒易空間和布里淵區(qū)

上節(jié)回顧：,1、計(jì)算一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)時(shí)常使用單電子近似方法，其主要內(nèi)容是什么?2、布洛赫定理的內(nèi)容是什么？如何理解？3、簡(jiǎn)要介紹如何求解克龍尼克-潘納模型中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？隱色散關(guān)系的意義是什么？4、請(qǐng)畫出三種能帶結(jié)構(gòu)示意圖。（擴(kuò)展，簡(jiǎn)約，周期）5、什么是自由電子近似方法？在布里淵區(qū)邊界處采用簡(jiǎn)并微擾，其基本思路是什么？這種方法可以告訴我們關(guān)于能帶的什么信息？6.什么是倒空間?如何理解倒空間?7.布里淵區(qū)和倒空間的關(guān)系如何?,倒格子與布里淵區(qū),簡(jiǎn)單晶格,復(fù)式晶格,在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的方向上的周期為邊長(zhǎng)形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個(gè)平行六面體即為原胞，它是體積最小的重復(fù)單元。代表原胞三個(gè)邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡(jiǎn)稱基矢。,1原胞,特點(diǎn)：格點(diǎn)只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點(diǎn)，平均每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)。,(1)固體物理學(xué)原胞(原胞),基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用表示。,體積為：,原胞內(nèi)任一點(diǎn)的位矢表示為：,(2)結(jié)晶學(xué)原胞（單胞）,構(gòu)造：使三個(gè)基矢的方向盡可能地沿著空間對(duì)稱軸的方向，它具有明顯的對(duì)稱性和周期性。,基矢：結(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用表示。,特點(diǎn)：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及內(nèi)部亦可有格點(diǎn)。其體積是固體學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。,體積為：,(a)簡(jiǎn)立方,(3)固體學(xué)原胞與結(jié)晶學(xué)原胞（單胞）的比較,結(jié)晶學(xué)原胞和固體學(xué)原胞相同包含1個(gè)格點(diǎn)。,平均每個(gè)結(jié)晶學(xué)原胞包含4個(gè)格點(diǎn)；體積為。,(b)面心立方(Cu,Ag,Au),固體物理學(xué)原胞的體積,(c)體心立方,平均每個(gè)布拉維原胞包含2個(gè)格點(diǎn),固體物理學(xué)原胞的體積,（Na，Li,K),倒格子是相對(duì)于正格子而言的，因此首先確定要確定正格子。a1,a2,a3稱為正點(diǎn)陣。,a1,a2,a3,2.倒格子（ReciprocalLattice）,定義b1,b2,b3為新的基矢：,b1垂直于a2a3晶面b2垂直于a1a3晶面b3垂直于a1a2晶面,a1,a2,b3,a3,b2,b1,b1,b2,b3為不共面的基矢，稱為倒易點(diǎn)陣（reciprocallattice）或倒格子,下面簡(jiǎn)單說一下b1與a2a3晶面面間距的關(guān)系：,為平行四邊形（a2,a3）的面積，則有,設(shè)(a2,a3)平面所在的晶面族的面間距為d1,表明倒易點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比,說明：(1)倒易點(diǎn)陣基矢的大小是該晶面族的晶面間距的倒數(shù)的2倍。單位為長(zhǎng)度的倒數(shù)。(2)倒易點(diǎn)陣基矢的方向是該晶面的法線方向，倒易點(diǎn)陣的一個(gè)基矢與正點(diǎn)陣的一組晶面相對(duì)應(yīng)。也可以說正點(diǎn)陣?yán)锏囊蛔寰媾c倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。,a1,a2,b3,a3,b2,b1,Soeverycrystalstructurehastwolatticesassociatedwithit,thedirectlatticeandthereciprocallattice.Thuswhenwerotateacrystalinaholder,werotateboththedirectlatticeandthereciprocallattice.,Adiffractionpatternofacrystalisamapofthereciprocallatticeofacrystal.,Amicroscopeimage,ifitcouldberesolvedonafineenoughscale,isamapofthedirectlatticeofthecrystal,orthecrystalstructureinrealspace.,產(chǎn)生衍射的斑點(diǎn)是產(chǎn)生電子衍射的晶面（在厄瓦爾德球面上）的倒易點(diǎn)。,Vectorsinthedirectlatticehavethedimensionsoflength;vectorsinthereciprocallatticehavethedimensionsof1/length.ThereciprocallatticeisalatticeintheFourierspaceassociatedwiththecrystal.,例題：試確定簡(jiǎn)立方和BCC結(jié)構(gòu)的倒易點(diǎn)陣解：BCC原胞的基矢一般如下選?。篴1=(a/2)(-i+j+k)a2=(a/2)(i-j+k)a3=(a/2)(i+j-k)其中i、j、k為單位矢量,a為晶胞的邊長(zhǎng),原胞體積：倒格矢的基矢為：,倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系1、兩種點(diǎn)陣的基矢之間的關(guān)系,2、兩種點(diǎn)陣位矢之間的關(guān)系設(shè)在正點(diǎn)陣中，位置矢量為：在倒易點(diǎn)陣中，位置矢量為：,則有：,3、兩種點(diǎn)陣的原胞之間的關(guān)系：,上式說明，如果兩個(gè)矢量滿足上式，其中一個(gè)是正格矢，另一個(gè)必為倒格矢。,4、同一物理量在正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣中的表達(dá)式滿足傅立葉變換關(guān)系。,為晶格平移矢量。將周期函數(shù),為相應(yīng)的基矢。作傅里葉變換：,利用晶格的平移周期性有：,展開為傅里葉級(jí)數(shù),Fourierspace：,n為整數(shù).顯然，當(dāng)?shù)垢褡踊竍j和正格子基矢ai之間滿足下列關(guān)系時(shí)上式必然成立。,于是,設(shè)晶格基矢為,相應(yīng)的倒格子基矢定義為：,顯然倒格矢,滿足傅里葉變換。,式中是晶格原胞的體積,用波矢k空間的點(diǎn)來描述電子態(tài)是可取的。波矢空間就是倒格矢空間。（單位）,【討論】固體物理中為什么要引入波矢空間？,（正格矢空間稱為坐標(biāo)空間或位置空間，倒格矢空間為狀態(tài)空間。）,3布里淵區(qū),要知道一個(gè)能帶中有多少個(gè)量子態(tài)，必須求出在一個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)電子狀態(tài)的點(diǎn)數(shù)?？紤]到k的周期性，可以把k的取值范圍限制在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，這個(gè)區(qū)域是一個(gè)最小的周期性重復(fù)單元。這個(gè)最小的單元就是上面簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。布里淵區(qū)在研究晶體內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)特別重要，因?yàn)楫?dāng)晶體中的電子表現(xiàn)出波動(dòng)性時(shí)，它們也會(huì)在這些界面上發(fā)生反射。因此，如何做出布里淵區(qū)有重要意義。,作出布里淵區(qū)的方法？從倒格子點(diǎn)陣的原點(diǎn)出發(fā)，作出它最近鄰點(diǎn)的倒格子點(diǎn)陣矢量，并作出每個(gè)矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS(威格納-塞茲）原胞，稱為第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約）。同樣可以作出第二、第三布里淵區(qū)。,一維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)?,1）.一維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)一維晶格點(diǎn)陣的基矢為a=ai，對(duì)應(yīng)的倒格子基矢，離原點(diǎn)最近的倒格矢為b和-b。這些矢量的垂直平分面構(gòu)成第一布里淵區(qū)，其邊界為，如圖所示。,圖一維晶格的正格子點(diǎn)陣、倒格子點(diǎn)陣和第一布里淵區(qū),二維正方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的基矢為a1=ai、a2=aj。相應(yīng)的倒格子為即倒格子點(diǎn)陣也是正方點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為,2）.二維正方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū),圖二維正方晶格的布里淵區(qū),由圖可知，每個(gè)布里淵區(qū)的體積都與倒格子原胞的體積相等。將任一布里淵區(qū)的各個(gè)部分位移適當(dāng)?shù)牡垢袷妇涂珊喜⒊傻谝徊祭餃Y區(qū)。第n個(gè)布里淵區(qū)必與第n-1個(gè)布里淵區(qū)相鄰。只需關(guān)注第一布里淵區(qū)的情況，便能得知其他布里淵區(qū)得情況。,三維簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的基矢a1=ai、a2=aj、a3=ak，原胞體積為a3，對(duì)應(yīng)的倒格子基矢為：因此，它的倒格子點(diǎn)陣也是簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)常數(shù)為。,（請(qǐng)同學(xué)嘗試）,3）.計(jì)算題：三維簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)的形狀如何？體積是多少？,離原點(diǎn)最近的六個(gè)倒格點(diǎn)的倒格矢為：它們的中點(diǎn)為：過中點(diǎn)作垂直平分面構(gòu)成第一布里淵區(qū)，這六個(gè)面圍成了邊長(zhǎng)為2/a，體積為（2/a）3的立方體。因此，簡(jiǎn)立方點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)仍是一個(gè)簡(jiǎn)立方。,4）.體心立方結(jié)構(gòu)與面心立方晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)按照以上原則，可以得到體心立方與面心立方晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)。,圖（a）體心的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)（b）面心的簡(jiǎn)約布里淵區(qū),體心立方結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)是菱形十二面體，其體積正好是倒格子原胞的大