1984年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷(理科)及其參考答案

1984年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（理科）及其參考答案（這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分10分，不計(jì)入總分）一（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得3分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得負(fù)1分1數(shù)集X=（2n+1），n是整數(shù)與數(shù)集Y=（4k1），k是整數(shù)之間的關(guān)系是 （ C ）（A）XY （B）XY （C）X=Y （D）XY2如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn)，那么（ C ）（A）F=0，G0，E0. （B）E=0，F(xiàn)=0，G0.（C）G=0，F(xiàn)=0，E0. （D）G=0，E=0，F(xiàn)0.3.如果n是正整數(shù)，那么的值 （ B ）（A）一定是零 （B）一定是偶數(shù)（C）是整數(shù)但不一定是偶數(shù) （D）不一定是整數(shù)4.大于的充分條件是 （ A ）（A） （B）（C） （D）5如果是第二象限角，且滿足那么（A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （ B ）（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角二（本題滿分24分）本題共6小題，每一個(gè)小題滿分4分只要求直接寫出結(jié)果）1已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形，求圓柱的體積答：2.函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？答：x-2.3求方程的解集答：4求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)答：-205求的值答：06要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問(wèn)有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計(jì)算）答：三（本題滿分12分）本題只要求畫(huà)出圖形1設(shè)畫(huà)出函數(shù)y=H(x-1)的圖象2畫(huà)出極坐標(biāo)方程的曲線2 O 1 2 X 解： 1 Y 1 0 O 1 X 四（本題滿分12分）已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行證：設(shè)三個(gè)平面為，且從而c與b或交于一點(diǎn)或互相平行1若c與b交于一點(diǎn)，設(shè)所以,b,c交于一點(diǎn)（即P點(diǎn)） P b c b c 2.若cb,則由所以,b,c互相平行五（本題滿分14分）設(shè)c,d,x為實(shí)數(shù)，c0，x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時(shí)求出它的解解：原方程有解的充要條件是：由條件（4）知，所以再由c0，可得又由及x0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中再由條件（3）及，知因此，原條件可簡(jiǎn)化為以下的等價(jià)條件組：由條件（1）（6）知這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：c0,1-d0,即c0,d1;c0,1-d0,即c0,d1.再由條件（1）（5）及（6）可知從而，當(dāng)c0,d1且時(shí)，或者當(dāng)c0,d1且時(shí)，原方程有解，它的解是六（本題滿分16分）1設(shè)，實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛數(shù)根z1,z2.再設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2求以Z1，Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)（7分）2求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程（9分）解：1.因?yàn)閜,q為實(shí)數(shù)，z1,z2為虛數(shù)，所以由z1,z2為共軛復(fù)數(shù)，知Z1，Z2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長(zhǎng)=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距離=2c=|z1-z2|=,長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a=2.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），且以y軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長(zhǎng)軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A（x,y），因?yàn)闄E圓的離心率為，所以左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的，從而左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，則d=1根據(jù)及兩點(diǎn)間距離公式，可得這就是所求的軌跡方程七（本題滿分15分）在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為,b,c，且c=10，P為ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值解：由，運(yùn)用正弦定理，有因?yàn)锳B，所以2A=-2B，即A+B=由此可知ABC是直角三角形由c=10，如圖，設(shè)ABC的內(nèi)切圓圓心為O，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則 Y B（0，6） D E O P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為:(x-2)2+(y-2)2=4設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為從而因?yàn)?，所以S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72八（本題滿分12分）設(shè)2，給定數(shù)列xn,其中x1=,求證：1231證：先證明xn2(n=1,2,）用數(shù)學(xué)歸納法由條件2及x1=知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k1)時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)橛蓷l件及歸納假設(shè)知再由歸納假設(shè)知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式xn2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立(歸納法的第二步也可這樣證：所以不等式xn2(n=1,2,）成立）再證明由條件及xn2(n=1,2,）知因此不等式也成立（也可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有還可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有所以）2證一：用數(shù)學(xué)歸納法由條件x1=3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k1)時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及知再由及歸納假設(shè)知，上面最后一個(gè)不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對(duì)所有的正整數(shù)n成立證二：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式當(dāng)n=k+1時(shí)成立用以下證法：由條件知再由及歸納假設(shè)可得3證：先證明若這是因?yàn)槿缓笥梅醋C法若當(dāng)時(shí)，有則由第1小題知因此，由上面證明的結(jié)論及x1=可得即，這與假設(shè)矛盾所以本小題的結(jié)論成立九（附加題，本題滿分10分，不計(jì)入總分）如圖，已知圓心為O、半徑為1的圓與直線L相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線L向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為，直