應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系

7-7應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系,一、單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變成正比，比值為泊松比，而符號(hào)相反。,E為材料的彈性模量，單位為N/m2.,二、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,或,G為剪切彈性模量，單位為N/m2.,（1）符號(hào)規(guī)定,1、各向同性材料的廣義胡克定律,(a)三個(gè)正應(yīng)力分量：拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)。,三、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,(b)三個(gè)剪應(yīng)力分量:若正面(外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面)上剪應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致,或負(fù)面(外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面)上剪應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致，則該剪應(yīng)力為正,反之為負(fù)。,圖中表示的均為正方向,線應(yīng)變:以伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù)。剪應(yīng)變:使直角減小者為正,增大者為負(fù)。,xOyyOzzox。,在xyz分別單獨(dú)存在時(shí),x方向的線應(yīng)變x依次為:,2、各向同性材料的廣義胡克定律,(1)線應(yīng)變的推導(dǎo),在xyz同時(shí)存在時(shí),x方向的線應(yīng)變x為,在xyz同時(shí)存在時(shí),y,z方向的線應(yīng)變?yōu)?剪應(yīng)變xy,yz,zx與剪應(yīng)力xy,yz,zx之間的關(guān)系為,(2)剪應(yīng)變的推導(dǎo),3、特例（1）平面應(yīng)力狀態(tài)下(假設(shè)Z=0),（2）廣義胡克定律用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示時(shí)三向應(yīng)力狀態(tài)下：,(7-7-6),平面應(yīng)力狀態(tài)下設(shè)3=0,則,材料的三個(gè)彈性常數(shù)E,G,間存在如下關(guān)系:,解：,一，一對(duì)應(yīng)。,由于構(gòu)件自由表面，所以主應(yīng)力2=0。所以該點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)。,由,解得,該點(diǎn)處另一主應(yīng)變2的數(shù)值為,2是縮短的主應(yīng)變，其方向必與1和3垂直，即沿構(gòu)件的外法線方向。,四、各向同性材料的體積應(yīng)變,（2）各向同性材料在空間應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變,（1）概念:構(gòu)件每單位體積的體積變化,稱為體積應(yīng)變用表示。,設(shè)單元體的三對(duì)平面為主平面,其三個(gè)邊長(zhǎng)為dx,dy,dz變形后的邊長(zhǎng)分別為dx(1+,dy(1+2,dz(1+3,因此變形后單元體的體積為:,2,dz,體積應(yīng)變?yōu)?將廣義胡克定律,代入得,在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變x，y，z有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有,在平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：,代入得,可見，材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，剪應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。,例題7-7邊長(zhǎng)a=0.1m的銅立方塊,無(wú)間隙地放入體積較大,變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中,如圖所示。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比=0.34,當(dāng)受到P=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí),求該銅塊的主應(yīng)力.體積應(yīng)變以及最大剪應(yīng)力。,a,a,a,P,y,x,z,解：銅塊上截面上的壓應(yīng)力為,y,y,由,解得,銅塊的主應(yīng)力為,體積應(yīng)變和最大剪應(yīng)力分別為,例題9-8壁厚t=10mm,外徑D=60mm的薄壁圓筒,在表面上k點(diǎn)處與其軸線成45和135角即x,y兩方向分別貼上應(yīng)變片,然后在圓筒兩端作用矩為m的扭轉(zhuǎn)力偶,如圖所示已知圓筒材料的彈性模量為E=200GPa和=0.3,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi),且max=80MPa,試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變x,y以及變形后的筒壁厚度。,D,t,x,y,m,k,可求得:,解:從圓筒表面k點(diǎn)處取出單元體,其各面上的應(yīng)力分量如圖所示