球的主要性質(zhì).doc

精品文檔球的主要性質(zhì)性質(zhì)1. 球的任意一個截面都是圓.其中過球心的截面叫做球的大圓，其余的截面都叫做球的小圓.已知球的半徑為.(1)若截面經(jīng)過球心.如圖1，設是截面與球面的任意一個交點，連接.由球的定義可知，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即該截面是圓.(2)若截面不經(jīng)過球心.如圖1，設球心在截面上的射影為，是截面與球面的任意一個交點，連接，和，則為定值，且也為定值，所以為定值，因此，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即該截面也是圓.性質(zhì)2. 球的小圓的圓心和球心的連線垂直于小圓所在的平面. 反之，球心在球的小圓所在平面上的射影是小圓的圓心.如圖2所示，若圓是球的小圓，則.證明：如圖，設，分別是圓的兩條直徑，連接，.依題意可得，所以.同理可得，又因為，所以.性質(zhì)3. 如圖2，設球的半徑為，球的小圓的圓心為，半徑為，球心到小圓的距離，則由性質(zhì)2得，或.性質(zhì)4. 球的兩個平行截面的圓心的連線垂直于這兩個截面，且經(jīng)過球心.如圖3，設球的兩個平行截面的圓心分別為，連接，由性質(zhì)3可知，又因為，所以.同理可得，且，所以，三點共線，因此，垂直于和，且.性質(zhì)5. 球的直徑等于球的內(nèi)接長方體的對角線長.性質(zhì)6. 若直棱柱的所有頂點都在同一個球面上，則該球的球心是直棱柱的兩個底面的外接圓的圓心的連線的中點.例1.(10年第10題)設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( )(A) (B)(C) (D)解：如圖，設球心為，半徑為，底面的中心為，連接，和.依題意得，故選(B).例2.直三棱柱的各頂點都在同一球面上. 若，則此球的表面積等于 . 解：如圖，設球心為，底面的外接圓的圓心為，半徑為，連接，和.由余弦定理得，再由正弦定理得，即.又由性質(zhì)6得，此球的表面積.性質(zhì)7. 設底面邊長為，側(cè)棱長為的正四棱錐的頂點都在一個球面上，則該球的半徑.證明：如圖4，設正方形的中心為，球心為，連接，則點在上，且.依題意得，即，.例3.(11年第15題)已知矩形的頂點都在半徑為的球的球面上，且，則棱錐的體積為_解：如圖，設點是點在底面上的射影，連接，.依題意得，棱錐的體積為.性質(zhì)8. 設正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為的所有頂點都在一個球面上，則該球的半徑.證明：如圖5，設點在底面上的射影為，球心為，半徑為，則點在上，且.依題意得，即，即，.例4.(15年第9題)已知，是球的球面上兩點，為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為( )(A)(B) (C) (D)解：如圖，設球的半徑為，依題意可知，當，即時，三棱錐體積取得最大值，這時有，球的表面積為，故選(C).例5.(12 年第11題)已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為( )(A) (B) (C) (D)解：如圖，連接，. 為球的直徑，是的中點，點到底面的距離等于點到底面的距離的，三棱錐是正三棱錐，在底面 的射影等于，三棱錐的高，故選(A).例6.(08年第14題)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 . 解：如圖，在六棱柱中，連接， ，和. 由平面幾何知識可知， 是矩形，又由已知得，.六棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是長方體.設，則六棱柱的體積為，該球的半徑為，該球的體積為.例7.已知球的直徑，、是該球球面上的兩點，則棱錐的體積為( )(A) (B) (C) (D)解：如圖，是球的直徑，又，.過，連接，由平面幾何的知識可知，且，棱錐的體積，又，.例8.高為的四棱錐的底面是邊長為的正方形，點、均在半徑為的同一個球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為( )(A) (B) (C) (D)解：如圖，設四棱錐的外接球的球心為，頂點在底面的射影為，底面的中心為，連接，則依題意得.在中，過作，垂足為.，是矩形，.例9.已知在半徑為的球面上有、四點，若，則四面體的體積的最大值為( )(A) (B) (C) (D)解：如圖，設球心為