計算流體力學講義

計算流體力學,課程大綱,課程名稱：計算流體力學ComputationalFluidDynamics學時：30學分：2主要內容簡介：本課程主要介紹流體力學問題的計算機數(shù)值計算方法，包括有限元法的數(shù)學基礎、有限差分法、有限元方法、單元與插值函數(shù)、流體力學典型問題有限元分析等。使學生掌握計算流體力學的基礎理論、方法和技能，為今后從事本專業(yè)的科學研究工作和工程技術工作打下基礎。預修課程：流體力學,課程大綱,主要參考書目及文獻：1章本照等，流體力學數(shù)值方法，機械工業(yè)出版社，2003年(重點參考書，可到我校圖書館主頁上的“超星數(shù)字圖書館”下載本書?。?傅德薰等，計算流體力學，高等教育出版社，2002年3張滌明等編，計算流體力學，中山大學出版社，1991年4陳材侃編著，計算流體力學，重慶大學出版社，1992年,0.前言,流體運動的規(guī)律由一組控制方程描述。計算機沒有發(fā)明前，流體力學家們在對方程經(jīng)大量簡化后能夠得到一些線性問題的解析解。但實際的流動問題大都是復雜的非線性問題，無法求得精確的解析解。計算機的出現(xiàn)以及計算技術的迅速發(fā)展使人們直接求解控制方程組的夢想逐步得到實現(xiàn)，從而催生了計算流體力學這門交叉學科。,計算流體力學（CFD，ComputationalFluidDynamics）是一門用數(shù)值計算方法直接求解流動主控方程（Euler或Navier-Stokes方程）以發(fā)現(xiàn)各種流動現(xiàn)象規(guī)律的學科。它綜合了計算數(shù)學、計算機科學、流體力學、科學可視化等多種學科。廣義的CFD包括計算水動力學、計算空氣動力學、計算燃燒學、計算傳熱學、計算化學反應流動，甚至數(shù)值天氣預報也可列入其中。,0.前言,自上世紀六十年代以來CFD技術得到飛速發(fā)展，其原動力是不斷增長的工業(yè)需求，而航空航天工業(yè)自始至終是最強大的推動力。傳統(tǒng)飛行器設計方法試驗昂貴、費時，所獲信息有限，迫使人們需要用先進的計算機仿真手段指導設計，大量減少原型機試驗，縮短研發(fā)周期，節(jié)約研究經(jīng)費。四十年來，CFD在湍流模型、網(wǎng)格技術、數(shù)值算法、可視化、并行計算等方面取得飛速發(fā)展，并給工業(yè)界帶來了革命性的變化。如在汽車工業(yè)中，CFD和其它計算機輔助工程（CAE）工具一起，使原來新車研發(fā)需要上百輛樣車減少為目前的十幾輛車；國外飛機廠商用CFD取代大量實物試驗，如美國戰(zhàn)斗機YF-23采用CFD進行氣動設計后比前一代YF-17減少了60的風洞試驗量。,0.前言,當前CFD問題的規(guī)模為：機理研究方面如湍流直接模擬，網(wǎng)格數(shù)達到了109（十億）量級，在工業(yè)應用方面，網(wǎng)格數(shù)最多達到了107（千萬）量級。,目前在航空、航天、汽車等工業(yè)領域，利用CFD進行的反復設計、分析、優(yōu)化已成為標準的必經(jīng)步驟和手段。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,20世紀30年代，由于飛機工業(yè)的需要、要求用流體力學理論來了解和指導飛機設計。,一、計算流體力學的發(fā)展,當時，由于飛行速度很低，可以忽略粘性和旋渦，因此流動的模型為Laplace方程，研究工作的重點是橢圓型方程的數(shù)值解。利用復變函數(shù)理論和解的迭加方法來求解析解。,隨著飛機外形設計越來越復雜，出現(xiàn)了求解奇異邊界積分方程的方法。以后，為了考慮粘性效應，有了邊界層方程的數(shù)值計算方法，并發(fā)展成以位勢方程為外流方程，與內流邊界層方程相結合，通過迭代求解粘性干擾流場的計算方法。,在同一時期，許多數(shù)學家研究了偏微分方程的數(shù)學理論，Hadamard，Courant，F(xiàn)riedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、數(shù)學提法的適定性、物理波的傳播特性等問題，發(fā)展了雙曲型偏微分方程理論。以后，Courant，F(xiàn)riedrichs，Lewy等人發(fā)表了經(jīng)典論文，證明了連續(xù)的橢圓型、拋物型和雙曲型方程組解的存在性和唯一性定理，且針對線性方程的初值問題，首先將偏微分方程離散化，然后證明了離散系統(tǒng)收斂到連續(xù)系統(tǒng)，最后利用代數(shù)方法確定了差分解的存在性；他們還給出了著名的穩(wěn)定性判別條件：CFL條件。這些工作是差分方法的數(shù)學理論基礎。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,20世紀40年代，VonNeumann，Richtmyer，Hopf，Lax和其他一些學者建立了非線性雙曲型方程守恒定律的數(shù)值方法理論，為含有激波的氣體流動數(shù)值模擬打下了理論基礎。,上世紀50年代，僅采用當時流體力學的方法，研究較復雜的非線性流動現(xiàn)象是不夠的，特別是不能滿足高速發(fā)展起來的宇航飛行器繞流流場特性研究的需要。針對這種情況，一些學者開始將基于雙曲型方程數(shù)學理論基礎的時間相關方法用于求解宇航飛行器的氣體定常繞流流場問題，這種方法因數(shù)學提法適定，又有較好的理論基礎，且能模擬流體運動的非定常過程，所以在60年代這是應用范圍較廣的一般方法。以后由Lax、Kreiss等人給出的非定常偏微分方程差分逼近的穩(wěn)定性理論，進一步促進了時間相關方法。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,上世紀50年代我國也開始了計算流體力學方面的研究。我國早期的工作是研究鈍頭體超聲速無粘繞流流場的數(shù)值解方法，研究鈍頭體繞流數(shù)值解的反方法和正方法。以后，隨著我國宇航事業(yè)的發(fā)展，超聲速、高超聲速繞流數(shù)值計算方法的研究工作發(fā)展很快。,20世紀70年代，在計算流體力學中取得較大成功的是飛行器跨音速繞流數(shù)值計算方法的研究。首先是Murman和Cole用松弛方法求解位勢流小擾動方程，數(shù)值模擬帶激波的跨聲速繞流場。解決了跨聲速繞流中的混合問題。在他們的工作中第一次將迎風格式應用于空氣動力學問題的模擬。不久以后Jameson提出了旋轉格式，將穆爾曼-科勒方法推廣于求解三維跨聲速繞流的全位勢流方程，獲得成功。同一時期，我國開展了采用時間相關方法求解非定常歐拉方程、可壓縮N-S方程和簡化N-S方程的計算方法研究。在差分格式的構造方面，提出了求解歐拉方程的特征符號分裂法和三層格式等。在可壓縮N-S方程的求解中，計算方法有了很大進展，先后提出了開關函數(shù)法、調和因子法、緊致迎風格式、推進迭代法、無波動無自由參數(shù)的耗散格式、界值有限格式和耗散比擬方法等。這些研究工作進一步改進了計算方法精度，提高了求解效率，且對流場激波的數(shù)值模擬有較高的分辨能力。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,80年代以后，計算機硬件技術有了突飛猛進的發(fā)展，千萬次機、億次機逐漸進入實際應用。隨著計算方法的不斷改進和數(shù)值分析理論的發(fā)展高精度勢值模擬已不再是天方夜譚。同時隨著人類生產(chǎn)實踐活動的不斷發(fā)展，科學技術的日新月異，一大批高新技術產(chǎn)業(yè)對計算流體力學提出了新的要求，同時也為計算流體力學的發(fā)展提供了新的機遇。實踐與理論的不斷互動，形成計算流體力學的新熱點、新動力，從而推動計算流體力學不斷向前發(fā)展。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,首先，在計算模型方面，又提出了一些新的模型。由最初的Euler和N-S方程，擴展到包括湍流、兩相流、化學非平衡、太陽風等問題研究模型在內的多個模型。其中以考慮更多流動機制，如各向異性的非線性(應力/應變關系)湍流研究為重點。研究結果再次證明，萬能的湍流模型還不存在，重要的是如何在模型精度和計算量上較好地取得折中；也有學者從更高層次研究湍流模型問題，由湍流流動中速度不可微，懷疑N-S方程的有效性，進而提出以積分方程為基礎的數(shù)學模型。,其次，在計算方法方面，又提出了一些新的計算方法，如新的遺傳算法、無網(wǎng)格算法、新型高精度緊致格式、氣動計算的新變分原理、結構/非結構混合網(wǎng)格新技術、新型動網(wǎng)格技術等等。目前計算方法的研究集中在高精度格式方法，即追求三階精度以上，其中又以解決真正實際問題為主。除此之外，計算方法研究還涉及帶限制器的高階插值、譜方法、拉格朗日方法，時-空守恒元方法等等。將其它方法引進傳統(tǒng)的計算流體力學也是現(xiàn)階段的重要成果之一，其中特別值得一提的是將基因算法與傳統(tǒng)計算流體力學結合在一起，在域分裂和最優(yōu)化設計等許多方面顯示出了良好的應用前景。在算法分析上，除傳統(tǒng)的精度、穩(wěn)定性、收斂性等方面的分析，還有更深層次的數(shù)值動力學分析，即將數(shù)值方法看成是動力系統(tǒng)來進行分析，揭示了許多奇異的數(shù)值現(xiàn)象。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,再次，在研究成果方面，英國M.A.Lesdhziaer關于湍流模型、美國H.C.Yee關于計算不確定性、日本學者的玻耳茲曼方程解流動問題、德國的E.vonLavante關于使用并行計算機進行發(fā)動機氣缸流場渦和激波的非定常流動模擬等等，都有較新的學術思想，較高的學術水平。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,研究計算方法，包括并行算法和各種新型算法；,目前，計算流體力學研究的熱點是：,研究渦運動和湍流，包括可壓和不可壓湍流的直接數(shù)值模擬、大渦模擬和湍流機理；,研究網(wǎng)格生成技術及計算機優(yōu)化設計；,研究CFD用于解決實際流動問題，包括計算生物力學、計算聲學、微型機械流動、多相流及渦輪機械流動的數(shù)值模擬等。,二、計算流體力學的應用,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,計算流體力學的應用已經(jīng)從最初的航空航天領域不斷地擴展到船舶、海洋、化工、鑄造、制冷、工業(yè)設計、城市規(guī)劃設計、建筑消防設計、汽車等多個領域。近幾年來計算流體力學在全機流場計算、旋翼計算、航空發(fā)動機內流計算、導彈投放、飛機外掛物、水下流體力學、汽車等方面獲得廣泛應用。這表明計算流體力學在解決工程實際問題方面具有重要的應用價值。,20世紀80年代初期才開始有計算流體力學應用于汽車領域的論文發(fā)表。經(jīng)過短短二十余年，其應用已涉及到汽車車身設計、汽車內部空間的空調與通風、發(fā)動機內部的氣體流動以及冷卻系、汽車液力變矩器、廢氣渦輪增壓器中的壓氣機和渦輪的葉輪與蝸殼等中的流動現(xiàn)象的研究與計算，同時進一步發(fā)展到研究汽車與發(fā)動機中傳熱、燃燒以及預測噪聲強度與模具設計等相關的問題。,隨著計算流體力學在工程技術應用中的迅速推廣，計算流體力學也逐漸軟件化。CFX、FLUENT、PHOENICS、CFD2000、CFD+等一大批計算流體力學軟件已經(jīng)商品化。這些商業(yè)軟件既有通用的也有作為特殊用途的專業(yè)軟件。這些軟件能方便地處理工程技術領域內的各種高難度復雜問題，因而極具吸引力。然而計算流體力學軟件在某些領域的應用還不成熟，有必要在計算精度、功能的強化、計算的效率、收斂性和操作的簡單化等方面作進一步的完善。,1.計算流體力學的發(fā)展及應用,計算流體力學應用研究中的關鍵問題包括：對應用于各種具體情況的數(shù)學模型、對復雜外形的描述以及對計算網(wǎng)格的劃分做進一步研究；探索更有效的算法來提高計算精度，并降低計算費用；進一步開展計算流體力學在各方面的應用等。,任何流體運動的動力學特征都是由質量守恒、動量守恒和能量守恒定律所確定的，這些基本定律可以由流體流動的控制方程組來描述。利用數(shù)值方法通過計算機求解描述流體運動的控制方程，揭示流體運動的物理規(guī)律，研究流體運動的時一空物理特征，這樣的學科稱為計算流體力學。,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,計算流體力學是一門多領域交叉的應用基礎學科，涉及流體力學理論、計算機技術、偏微分方程數(shù)學理論、數(shù)值方法等學科。一般認為計算流體力學是從20世紀60年代中后期逐步發(fā)展起來的，大致經(jīng)歷了四個發(fā)展階段：(1)無粘性線性；(2)無粘性非線性；(3)雷諾平均的N-S方程；(4)完全的N-S方程。,隨著計算機技術、網(wǎng)絡技術、計算方法和后處理技術的迅速發(fā)展，利用計算流體力學解決流動問題的能力越來越高，許多復雜的流動問題可以通過數(shù)值計算手段進行分析并給出相應的結果。,經(jīng)過40年來的發(fā)展，CFD己成為一種有力的數(shù)值實驗與設計手段。在許多工業(yè)領域解決了大量的工程設計實際問題?，F(xiàn)在人們已經(jīng)可以利用計算流體力學方法來設計飛機的外形，確定其氣動載荷，從而有效地提高了設計效率，減少了風洞試驗次數(shù)，大大地降低了設計成本。此外，計算流體力學也己經(jīng)大量應用于大氣、生態(tài)環(huán)境、車輛工程、船舶工程、傳熱以及工業(yè)中的化學反應等各個領域，顯示了計算流體力學強大的生命力。,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,隨著計算機技術的發(fā)展和所要解決工程問題復雜性的增加，CFD也己發(fā)展成為以數(shù)值手段求解流體力學物理模型、分析其流動機理為主線，包括計算機技術、計算方法、網(wǎng)格技術和可視化后處理技術等多種技術的綜合體。目前CFD主要向2個方向發(fā)展：一方面是研究流動非定常穩(wěn)定性以及湍流流動機理，開展高精度、高分辯率的計算方法和并行算法等的流動機理與算法研究；另一方面是將計算流體力學直接應用于模擬各種實際流動，解決生產(chǎn)中的各種問題。,流體力學數(shù)值方法有很多種，其數(shù)學原理各不相同，但有二點是所有方法都具備的，即離散化和代數(shù)化。,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,其基本思想是：將原來連續(xù)的求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格或單元子區(qū)域，在其中設置有限個離散點(稱為節(jié)點)，將求解區(qū)域中的連續(xù)函數(shù)離散為這些節(jié)點上的函數(shù)值；通過某種數(shù)學原理，將作為控制方程的偏微分方程轉化為聯(lián)系節(jié)點上待求函數(shù)值之間關系的代數(shù)方程(離散方程)，求解所建立起來的代表方程以獲得求解函數(shù)的節(jié)點值。,不同的數(shù)值方法，其主要區(qū)別在于求解區(qū)域的離散方式和控制方程的離散方式上。在流體力學數(shù)值方法中，應用比較廣泛的是有限差分法、有限元法、邊界元法、有限體積法和有限分析法，現(xiàn)簡述如下。,1、有限差分法,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,有限差分法的優(yōu)點是它建立在經(jīng)典的數(shù)學逼近理論的基礎上，容易為人們理解和接受；有限差分法的主要缺點是對于復雜流體區(qū)域的邊界形狀處理不方便，處理得不好將影響計算精度。,這是最早采用的數(shù)值方法，它是將求解區(qū)域劃分為矩形或正交曲線網(wǎng)格，在網(wǎng)格線交點(即節(jié)點)上，將控制方程中的每一個微商用差商來代替，從而將連續(xù)函數(shù)的微分方程離散為網(wǎng)格節(jié)點上定義的差分方程，每個方程中包含了本節(jié)點及其附近一些節(jié)點上的待求函數(shù)值，通過求解這些代數(shù)方程就可獲得所需的數(shù)值解。,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,2、有限元法,基本原理是把適定的微分問題的解域進行離散化，將其剖分成相連結又互不重疊的具有一定規(guī)則幾何形狀的有限個子區(qū)域，稱為單元，單元之間以節(jié)點相聯(lián)結。函數(shù)值被定義在節(jié)點上，在單元中選擇基函數(shù)(又稱插值函數(shù))，以節(jié)點函數(shù)值與基函數(shù)的乘積的線性組合成單元的近似解來逼近單元中的真解。利用古典變分方法(里茲法或伽遼金法)由單元分析建立單元的有限元方程，然后組合成總體有限元方程，考慮邊界條件后進而求解。,單元幾何形狀是規(guī)則的，因此在單元上構造基函數(shù)可以遵循相同的法則，每個單元的有限元方程都具有相同的形式，可用標準化的格式表示，其求解步驟也就變得很規(guī)范，即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣，其求解步驟也不用改變，為利用計算機編制通用程序進行求解帶來方便。,有限元法的主要優(yōu)點是對于求解區(qū)域的單元剖分沒有特別的限制，因此特別適合處理具有復雜邊界流場的區(qū)域。,3、邊界元法,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,邊界元法是在經(jīng)典積分方程和有限元法基礎上發(fā)展起來的求解微分方程的數(shù)值方法，其基本思想是：將微分方程相應的基本解作為權函數(shù)，應用加權余量法和格林函數(shù)導出聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向導數(shù)值之間關系的積分方程；令積分方程在邊界上成立，獲得邊界積分方程，該方程表述了函數(shù)值和法向導數(shù)值在邊界上的積分關系，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點，求出邊界上的未知量；在所導出的邊界積分方程基礎上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數(shù)方程組，求解后可獲得邊界上全部節(jié)點的函數(shù)值和法向導數(shù)值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內點函數(shù)值的計算表達式，它可以表示成邊界節(jié)點值的線性組合。,邊界元法的優(yōu)點是：,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,(1)將全解域的計算化為解域邊界上的計算，使求解問題的維數(shù)降低了一維，減少了計算工作量；,(3)邊界元法的精度一般高于有限元法。邊界元法的主要缺點是邊界元方程組的系數(shù)矩陣是不對稱的滿陣，該方法目前只適用于線性問題。,(2)能夠方便地處理無界區(qū)域問題。例如對于勢流等的無限區(qū)域問題，使用邊界元法求解時由于基本解滿足無窮遠處邊界條件，在無窮遠處邊界上的積分恒等于零。因此對于無限區(qū)域問題，例如具有無窮遠邊界的勢流問題，無需確定外邊界，只需在內邊界上進行離散即可；,4、有限體積法,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,(2)對待求函數(shù)及其導數(shù)的變化型線或插值方式作出假設；,有限體積法又稱為控制體積法，其導出離散方程的基本思路是：,(1)將計算區(qū)域劃分為一系列不重復的控制體積，每一個控制體積都有一個節(jié)點作代表，將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時間間隔內對空間與時間作積分；,就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物，該方法的主要缺點是不便對離散方程進行數(shù)學特性分析。,(3)對步驟1中各項按選定的型線作出積分并整理成一組關于節(jié)點上未知量的離散方程。有限體積法著重從物理觀點來構造離散方程，每一個離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式，推導過程物理概念清晰，離散方程系數(shù)具有一定的物理意義，并可保證離散方程具有守恒特性，這是有限體積法的主要優(yōu)點。,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,5、有限分析法,有限分析法是在有限元法基礎上發(fā)展起來的一種數(shù)值方法，其基本思想是：,（1）將求解區(qū)域劃分成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點為計算節(jié)點，每個節(jié)點與相鄰的四個網(wǎng)格組成一個計算單元，即一個計算單元由一個中心節(jié)點與8個相鄰節(jié)點組成；,（2）在每個單元中函數(shù)的近似解不是象有限元方法那樣采用單元基函數(shù)的線性組合來表達，而是以單元中未知函數(shù)的分析解來表達；,（3）為獲得單元中的分析解，單元邊界條件采用插值函數(shù)來逼近，在單元中把控制方程中非線性項局部線性化，并對單元中待求函數(shù)的組合形式作出假設，找出其系數(shù)用單元邊界節(jié)點上待求函數(shù)值表達的分析解；,雖然有限分析解獲得的是求解區(qū)域中離散點的函數(shù)值，但由于每個單元內部都有與其中心節(jié)點對應的分析解表達式，因此有限分析解在每一個節(jié)點的局部區(qū)域內都是連續(xù)可微的，這對于需要計算求解函數(shù)導數(shù)的計算流體力學問題具有明顯的優(yōu)勢。該計算方法與有限元法、有限差分法比較具有較高的精度。此外，有限分析法不存在數(shù)值振蕩失真問題。有限分析法的缺點是對復雜形狀的求解區(qū)域適應性較差。,2.計算流體力學常用數(shù)值方法簡介,（4）利用單元分析解確定單元中心節(jié)點與8個相鄰節(jié)點間待求函數(shù)值之間關系的一個代數(shù)方程，稱為單元有限分析方程；將所有內點上的單元有限分析方程聯(lián)立，就構成總體有限分析方程，通過代數(shù)方程組求解，即可獲得求解區(qū)域中全部離散點的函數(shù)值。,CFD軟件是用來進行流場的分析、計算、預測的專用工具。通過CFD模擬，可以分析并且顯示流體流動過程中發(fā)生的現(xiàn)象，及時預測流體在模擬區(qū)域的流動性能，并通過各種參數(shù)改變，得到相應過程的最佳設計參數(shù)。,3.計算流體力學的通用軟件,CFD的數(shù)值模擬，能使我們更加深刻地理解問題產(chǎn)生的機理，為實驗提供指導，節(jié)省以往實驗所需的人力、物力和時間，并對實驗結果整理和規(guī)律發(fā)現(xiàn)起到指導作用。,隨著計算機軟硬件技術的發(fā)展和數(shù)值計算方法的日趨成熟，出現(xiàn)了基于現(xiàn)有流動理論的商用CFD軟件。使研究人員能夠輕松地進行流體數(shù)值計算，充分發(fā)揮商用CFD軟件開發(fā)人員和其他專業(yè)研究人員各自的智力優(yōu)勢，為解決實際工程問題開辟了道路。,CFD研究走過了相當漫長的過程。早期數(shù)值模擬階段，由于缺乏模擬工具，研究者一般根據(jù)自身工作性質和研究過程，自行編制模擬程序，其優(yōu)點是針對性強，對具體問題的解決有一定精度。,3.計算流體力學的通用軟件,自行編制模擬程序存在的問題：(1)使用的程序語言不同，使程序運行環(huán)境不兼容；(2)模擬介質和目的不同，造成交流上和成果實際推廣應用困難；(3)由于方程求解和離散方法不同，程序運行速度相差很大；對方程簡化處理方法不同，造成同一問題和條件下得到不同計算答案，使人們對CFD的實用性產(chǎn)生誤解和懷疑；(4)由于研究者計算機背景知識差異，造成相同參數(shù)的后處理方式不統(tǒng)一，研究結果缺乏可比性，從而失去可靠性；(5)重復研究造成大量時間和財產(chǎn)浪費。,以相對完善的商業(yè)模擬平臺為基礎，經(jīng)二次開發(fā)使之適合一個過程的工作應該是CFD的發(fā)展方向。,1、常用CFD通用軟件結構,3.計算流體力學的通用軟件,計算流體力學商業(yè)軟件包括以下幾個模塊：幾何模型建立與網(wǎng)格生成模塊；前處理模塊(Pre-processor)；核心處理模塊(CFD-solver)；后處理模塊(Post-processor)；軟件使用教程及軟件說明(TutorialandMenu)。,幾何模型建立及網(wǎng)格生成是由使用者本人根據(jù)研究的具體問題建立的相應二維或三維模擬模型，然后再按其外形結構和具體過程特點進行數(shù)學網(wǎng)格化處理并生成CFD計算網(wǎng)格文件(幾何文件)的過程，它是CFD模擬計算的工作基礎。一般CFD軟件都可與CAD對接，以增強其處理復雜幾何形狀問題的能力。,前處理模塊主要是提供模擬過程基礎平臺及計算環(huán)境，與幾何文件(mashingfile)連接，建立具體問題的流體進出口邊界及其邊界條件，提供模擬介質的特性參數(shù)及數(shù)據(jù)庫等。,3.計算流體力學的通用軟件,CFD的核心部分包括整個“軟件包”功能下的所有可能的數(shù)學模型，向使用者提供由所研究問題性質決定的相應數(shù)學模型，同時提供使用者自編程接口程序和接口命令；該模塊的另一功能是向使用者提供模擬過程數(shù)學方程的計算方法、數(shù)學離散方法、收斂方法和準則，進而形成模擬命令程序(CommandFile)。,后處理模塊向使用者提供模擬運算數(shù)據(jù)的存儲、交換導出和各種參數(shù)圖，并與基本圖形處理工具(GraphicalViewandPlotting)實行連接，是模擬計算結果處理好壞的重要環(huán)節(jié)，可以為使用者提供模擬幾何模型上不同位置的參數(shù)分布圖，并可以打印輸出。,使用教程及說明(TutorialandMenu)主要是向初學者提供具體的計算范例和使用說明、技巧以及使用時的適時幫助?？偟膩碚f，CFD模擬軟件使用方便與否，主要取決于軟件人機交互使用的方便程度和上述幾個模塊過程的完善性，重要環(huán)節(jié)就是數(shù)學模型及模型參數(shù)的實用性。,3.計算流體力學的通用軟件,就CFD本質來講，流體動力學是建立能夠準確描述具體流動過程的數(shù)學微分方程組，依據(jù)模擬幾何模型和流動過程特點給予相應的邊界條件。最后，將上述方程組聯(lián)立求解得出一定精度模擬結果。,計算機的應用僅是快速準確實現(xiàn)上述目的的手段，真正技術核心是如何將高階偏微分方程科學離散化，如何確定離散單元，如何使計算過程快速收斂。在不穩(wěn)定流體流動和湍流規(guī)律研究成果基礎上，利用有限體積的理念，解決了無數(shù)流動分子與流體整體特征之間的聯(lián)系關系，使上述過程成為現(xiàn)實。,2、CFD商業(yè)軟件的基本選用原則,3.計算流體力學的通用軟件,常用CFD軟件平臺各有其特點和相應的最佳應用領域，使用者要依據(jù)研究問題的具體情況選擇模擬平臺。合理選用CFD軟件是模擬成功的前提，CFD通用商業(yè)軟件的選用原則應有以下七方面：,(1)條件原則：充分考慮自身現(xiàn)有的軟件工作環(huán)境，在合理物理模型前提下，首選現(xiàn)有軟件，做到不盲目、講實效。,(2)實用原則：從具體問題出發(fā)，選擇的模擬軟件要包括相應的數(shù)學模型，依據(jù)問題的復雜程度，不盲目追求模型的復雜程度和精確度，以實用為模型選用準則。,(3)計算機原則：充分利用現(xiàn)有計算機條件，內存夠用為限。計算流體力學對計算機的基本要求：一是計算速度(CPU)；二是隨機內存空間(RAM)。,(4)行業(yè)原則：充分借鑒前人研究成果，盡可能與前人研究具有可比性，相似性。同時，選擇適當?shù)臄?shù)據(jù)處理與導出方式，以形成相似或類似的圖表格式，便于比較對照。,3.計算流體力學的通用軟件,(5)匹配原則：建立幾何模型要考慮模型的復雜程度，盡可能與實際物體一致，做到模擬計算與幾何模型生成方法合理匹配；幾何模型網(wǎng)格劃分疏密程度與計算機內存合理匹配；幾何模型與邊界條件合理匹配；物理模型與模擬軟件合理匹配。合理建立幾何模型對達到模擬精度要求起決定作用。,(6)計算精度原則：一般以滿足工程實際要求為宜，不過分追求高精度，收斂準則要適當。否則，計算很難收斂，時間和費用花費將很高。,(7)階段原則：模擬計算不是萬能的，不可能解決所有問題，要分階段工作。比如，以簡單平臺和模型取得計算初值，然后，進行精確模擬，從而節(jié)約時間，保證計算穩(wěn)定性和收斂性。,計算流體力學商業(yè)軟件最早出現(xiàn)于上世紀八十年代初，目前已經(jīng)在工業(yè)和研究領域發(fā)揮積極的作用。,4.計算流體力學常用軟件簡介,這些軟件的使用減少了計算流體力學研究和開發(fā)人員的工作量，降低了其對計算機知識的要求，從而使研究者可以把精力集中在對計算流體力學本質問題的研究和技術開發(fā)上。,自1981年英國的CHAM公司推出求解流動與傳熱問題的商業(yè)軟件PHOENICS以后，迅速在國際軟件產(chǎn)業(yè)中形成通稱為CFD的軟件產(chǎn)業(yè)市場，其它的求解流動與傳熱問題的商業(yè)軟件，如：FLUENT、STAR-CD、FLOW3D、CFX等先后問世，目前全世界已有大約幾十種求解流動和傳熱問題的商業(yè)軟件。,PHOENICS是世界上第一個投放市場的CFD商用軟件(1981)，可以算是CFD商用軟件的鼻祖。這一軟件中所采用的一些基本算法，如SIMPLE方法、混合格式等，正是由該軟件的創(chuàng)始人Spalding及其合作者所提出的，對以后開發(fā)的商用軟件有較大的影響。這一軟件采用有限容積法，可選擇一階迎風、混合格式及QUICK等，壓力及速度耦合采用SIMPLEST算法，對兩相流納入了IPSA算法(適用于兩種介質互相穿透時)及PSI-Cell算法(離子跟蹤法)，代數(shù)方程組可以采用整場求解或點跌代、快跌代方法，同時納入了塊修正以加速收斂。該軟件投放市場較早，因而曾經(jīng)在工業(yè)界得到較廣泛的應用。,4.計算流體力學常用軟件簡介,1、PHOENICS軟件,Phoenics自1997年在中國推廣使用以來，以低廉價格和代理商成功的商業(yè)運做模式，在中國高校和研究單位得到很好推廣。其特點是計算能力強、模型簡單、速度快，便于模擬前期的參數(shù)初值估算，以低速熱流輸運現(xiàn)象為主要模擬對象，尤其適用于單相模擬和管道流動計算。,4.計算流體力學常用軟件簡介,不足之處在于：計算模型較少，尤其是兩相流模型，不適用于兩相錯流流動計算；所形成的模型網(wǎng)格要求正交貼體；以壓力矯正法為基本解法，因而不適合高速可壓縮流體的流動模擬；此外，它的后處理設計尚不完善，軟件的功能總量少于其他軟件。,其最大優(yōu)點是對計算機內存、運算速度等指標要求相對較低。其邊界條件以源項形式表現(xiàn)于方程組中是它的一大特點。由于缺乏使用群體和版本更新速度慢，以及其他新興軟件的不斷涌現(xiàn)，使得其實際應用受到很大限制，目前，應用較少。,2、FLUENT軟件,4.計算流體力學常用軟件簡介,該軟件由美國FLUENT公司于1983年推出，采用的數(shù)值方法是有限體積法。FLUENT于1998年進人中國市場，據(jù)報道，它的世界市場占有率為40%，是應用較廣的軟件之一。,其前處理軟件GAMBBIT可以生成多種網(wǎng)格形狀，對于二維流動可以生成三角形和矩形網(wǎng)格，對于三維流動則可生成四面體、六面體、三角柱和金字塔網(wǎng)格，結合具體計算要求還可以生成混合網(wǎng)格，其自適應功能可以對網(wǎng)格進行細分和粗化。,FLENT通過COKTEX圖形后處理軟件，可以得到二維和三維圖像，如速度矢量圖、等值線圖(流線圖、等壓線圖)、等值面圖等。它還可以通過其積分功能求得力和流量等數(shù)值。,Fluent軟件能推出多種優(yōu)化的物理模型，如定常和非定常流動：層流(包括各種非牛頓流模型)；紊流(包括先進的紊流模型)；不可壓縮和可壓縮流動；傳熱；化學反應等等。對每一種物理問題的流動特點，有適合它的數(shù)值解法，用戶可對顯式或隱式差分格式進行選擇，以期在計算速度、穩(wěn)定性和精度等方面達到最佳。,4.計算流體力學常用軟件簡介,Fluent將不同領域的計算軟件組合起來，成為CFD計算軟件群，軟件之間可以方便地進行數(shù)值交換，并采用統(tǒng)一的前、后處理工具，這就省卻了科研工作者在計算方法、編程、前后處理等方面投入重復、低效的勞動，而可以將主要精力和智慧用于物理問題本身的探索上。,3、STAR-CD軟件,4.計算流體力學常用軟件簡介,STAR-CD是全球第一個采用完全非結構化網(wǎng)格技術和有限體積方法來研究上業(yè)領域中復雜流動的流體分析商用軟件包，是由英ComputationalDynamicsLtd公司推出，軟件名稱是由SimulationofTurbulentFlowinArbitraryRegions，再加上公司名稱ComputationalDynamics的縮寫組合而成。,STAR-CD最初是由流體力學鼻祖-英國帝國理工大學計算流體力學領域的專家教授開發(fā)的，他們根據(jù)傳統(tǒng)傳熱基礎理論，合作開發(fā)了基于有限體積算法的非結構化網(wǎng)格計算程序。在完全不連續(xù)網(wǎng)格、滑移網(wǎng)格和網(wǎng)格修復等關鍵技術上，STAR-CD又經(jīng)過來自全球10多個國家，超過200名知名學者的不斷補充與完善，成為同類軟件中網(wǎng)格適應性、計算穩(wěn)定性和收斂性最好的佼佼者。最新湍流模型的推出使得其在計算的穩(wěn)定性、收斂性和結果的可靠性等方面在又得到了顯著提高。,CFX軟件是CFD領域的重要軟件平臺之一，在歐洲應用廣泛。1995年進人中國市場。主要由：Build，Solver和Analyse組成。,4.計算流體力學常用軟件簡介,4、CFX軟件,Build主要是建立問題的集合模型，與FLUENT不同的是，CFX軟件的前期處理模塊與主體軟件合二為一，并可以實現(xiàn)與CAD建立接口，功能非常強；網(wǎng)格生成器適用于復雜外形的模擬計算。,Solver主要是建立模擬程序，在給定邊界條件下，求解方程；,Analyse是后處理分析，對計算結果進行圖形、表格和色彩圖形處理。使用CFX可以進行包括流體流動、傳熱、輻射、多相流、化學反應、燃燒等許多工程實際問題的模擬。2003年CFX加入ANSYS軟件包，成為其中專門進行流體力學數(shù)值計算的一個模塊。,5.計算流體力學的可視化,1、前言,1987年，美國國家科學基金委召開的“科學計算可視化研討會”的一份報告中，正式提出了科學計算可視化（VisualizationinScientificComputing?；蚍Q科學可視化，ScientificVisualization）這一概念。目前，科學計算可視化已被成功的應用到流體力學、氣象、航空等眾多領域?？茖W計算可視化對計算流體力學的研究和發(fā)展帶來了巨大的推動作用。,計算流體力學通過求解流場中的基本方程，來了解流場的運動規(guī)律。由于近年計算機技術的空前進步，流體力學數(shù)值解法的改進和網(wǎng)格劃分技術的提高，為計算復雜流場提供了可能，從而CFD產(chǎn)生的解也越來越龐大，計算結果的不斷增加，使得整理、分析、加工計算數(shù)據(jù)越來越繁瑣；而另一方面，由于物理問題及幾何邊界的復雜性，以及計算流體力學發(fā)展水平的限制，使得復雜流場的計算不可能一次完成，而需要大量的調試和試算過程?？梢暬夹g可對數(shù)據(jù)進行與計算過程同步或事后的快速分析。,5.計算流體力學的可視化,2、CFD可視化的主要研究內容,計算流體力學的可視化總體上要完成兩方面的工作：建立流場場景和提供交互工具。建立流場場景指繪制流場中各物理量的分布情況，交互工具則是指提供與場景的交互手段，如交互視點變換、局部放大移動等。,計算流體力學可視化的主要內容有以下幾點：(1)計算區(qū)域與計算網(wǎng)格的顯示；(2)計算過程及流體結構的顯示；(3)計算結果的顯示與分析，包括速度、壓力、水位、溫度等；(4)數(shù)據(jù)比較，可進行不同CFD模擬結果之間或CFD模擬結果與實測結果之間的快速比較。,5.計算流體力學的可視化,3、CFD可視化的主要類型,(1)事后處理(PostProcessing)：事后處理是把計算與計算結果的分析分成兩個階段進行，兩者之間不能進行交互處理；,(2)跟蹤處理(Tracking)：跟蹤處理是針對實時顯示的計算結果，判斷計算過程的正確與否以確定是否繼續(xù)進行計算；,(3)駕馭處理(Steering)：駕馭處理則可以對計算過程加以實時監(jiān)控，修改或增減某些變量和參數(shù)，如在計算過程中增加或組合網(wǎng)格等，以保證計算過程的正確進行。,目前CFD的可視化多為事后處理。國外在90年代初已經(jīng)推出一些較為成功的可視化軟件系統(tǒng)：事后處理型的如美國NASA宇航研究中心的PLOT3D，GAS和RIP；跟蹤型的如美國Stardant計算機公司研制的AVS；駕馭型的如JZ等。而FLUENT、PHOENICS、CFX和STAR-CD等著名的CFD軟件中也集成了功能強大的可視化后處理軟件。,5.計算流體力學的可視化,4、CFD可視化技術分類,(1)標量場(ScalarField)可視化技術對于流場計算產(chǎn)生的壓力、溫度、水位等標量，典型的可視化方法有等值線、等值面方法和標量場的體繪制方法。,(a)等值線(Contour)等值線多用于二維標量場的表示，其研究已相當成熟。而對于CFD的計算結果，數(shù)據(jù)一般都定義在網(wǎng)格面上，根據(jù)網(wǎng)格類型的不同及等值線抽取時的網(wǎng)格單元處理次序，等值線抽取方法具體可分為網(wǎng)格序列法和網(wǎng)格無關法。將等值線抽取出后可以用分段三次樣條、雙三次Hermite插值、分段B樣條或雙三次Bezier插值等方法對其進行光滑處理。,計算流體力學所產(chǎn)生的結果可分為標量、矢量和張量三大類。,5.計算流體力學的可視化,等值線的表示除采用曲線直接表示外，還可采用區(qū)域填充的表示方法。也就是在計算網(wǎng)格單元中尋找不同等值線之間的封閉多邊形，對不同的封閉多邊形填以不同的等值層顏色。而對CFD計算結果，亦有采取連續(xù)變化的色調圖像形式對其進行流場數(shù)據(jù)可視化顯示，這種方法能夠給計算工作者帶來最佳的計算結果分析效果。,(b)等值面(Isosurfaces)在三維情況下，常采用等值面對標量可視化。等值面圖是在三維空間中，把一種空間分布的物理量中具有相同量值和相同單位的點用曲面擬合成一組曲面圖形，以描述那些具有連續(xù)分布特征物理量的分布規(guī)律。,5.計算流體力學的可視化,(c)體繪制(VolumeRendering)計算流體力學解三維問題時所生成的數(shù)據(jù)一般屬于不規(guī)則數(shù)據(jù)場，傳統(tǒng)圖形學的可視化技術對其數(shù)據(jù)場建模形成三維形體后，將三維形體投影到二維平面上，通過形體的深度信息，產(chǎn)生立體感。但這種圖形只表示了三維形體空間表面的效果，沒有揭示三維數(shù)據(jù)場內部的變化規(guī)律。體繪制技術恰恰克服了這種局限性，該法不必生成中介幾何圖元，而直接對數(shù)據(jù)場進行成像，以反映數(shù)據(jù)場中各種信息的綜合分布情況。其特點就是對三維數(shù)據(jù)的總體顯示，對它的不同層次、材料、特性的各個組成部分在一幅圖像中整體表現(xiàn)出來，得到三維體數(shù)據(jù)的全局圖像。體繪制算法多見的有：光線追蹤法(Ray-Tracking)和體元投射法?；蚩蓪⒍呓Y合使用。,5.計算流體力學的可視化,(2)矢量場(VectorField)可視化技術與標量場相比，矢量場的最大不同點在于每一物理量不僅具有大小，而且具有方向，這種方向性的可視化要求決定了它與標量場完全不同的可視化映射方法。矢量場可視化現(xiàn)有的各種表示方法，大致可以分為點、線、面、粒子及粒子動畫，矢量場拓撲、矢量體繪制和基于紋理的方法等幾大類。,(3)張量場(TensorField)可視化張量場能準確清晰的表示流體力學現(xiàn)象，張量的分量刻畫了流體微團的微觀變化。目前，張量可視化的工作主要是對二階實對稱張量進行的，張量場的顯示技術分兩類：一類為針對某具體位置的圖符顯示，即點圖標。另一類是沿特征線顯示張量數(shù)據(jù)，即線圖標方法，沿著軌跡表示出經(jīng)過點的張量信息，可揭示張量場的整體結構。,6.流體力學基本方程,流體力學控制方程一般是含有空間坐標的一階、二階導數(shù)和時間的一階導數(shù)的偏微分方程。其中，時間導數(shù)是線性的，而空間導數(shù)往往是非線性的。除勢流以外，流動問題都由聯(lián)立的控制方程組描述，而非單一方程。,一、偏微分方程的分類,式中的系數(shù)都是實函數(shù)，并假定它們?yōu)檫B續(xù)可微的。此類偏微分方程可以劃分成三類：,二個獨立自變量的二階線性偏微分方程的一般形式為,（3）雙曲型：,（1）橢圓型：,（2）拋物型：,6.流體力學基本方程,例如，對于可壓縮理想流體定常無旋流動的速度勢方程可寫成如下形式,式中，是速度勢；a是當?shù)匾羲?。這是一個非線性偏微分方程，仍然可按上述方法分類。其判別式為,由此可見，對于亞音速流動M1，方程屬于橢圓型；對于音速流動M0，方程為拋物型；對于超音速流動M1，方程為雙曲型。在流場的不同計算域中，控制方程的類型可能發(fā)生變化。方程類型的不同是與相應流場物理性質的不同相聯(lián)系的。,6.流體力學基本方程,實際上，只有在一定的意義下偏微分方程初值問題或邊值問題才是適定的。這就是解必須存在、唯一、并且連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)（連續(xù)性）。如果發(fā)現(xiàn)一個具有物理來源的數(shù)學問題是不適定的，那么，這往往表明它的表述是不正確的。,二、模型方程的適定性問題,在解決實際流動問題中，通常需要求一個解，它不僅要滿足微分方程，而且還要滿足某些附加條件，例如初始條件或邊值條件。因此，對與偏微分方程有關的物理問題，我們必須考察給出方程的合理性，同時要考慮對附加條件提法的要求。這樣，就需要研究偏微分方程定解問題在數(shù)學上的適定性。,6.流體力學基本方程,第一，解的存在性問題是研究在一定的定解條件下，方程的解是否存在。,解的存在性的證明是一件極為困難的事，往往由純粹數(shù)學家在代表性的情況下去完成。,但是，由于對實際流動問題建立數(shù)學模型時，總要經(jīng)過一些近似或提出一些附加要求。我們只能說定解問題反映了流動問題，而不能說兩者完全等同，因此完全有必要從量的角度來研究解的存在性，以確定歸結出的定解問題的合理性。,如果從物理意義上來看，對于合理地提出的問題，解的存在性似乎是不成問題的，因為自然現(xiàn)象本身就給出了這問題的解答（例如速度場、溫度場等）。,6.流體力學基本方程,通常，邊界條件過多在物理上不合理，因而得不到解；邊界條件不足將會出現(xiàn)多解。有些流動問題在物理域中可能存在多解，例如從層流到湍流的過渡區(qū)的流動常常會產(chǎn)生這種情況，這樣的問題難于從數(shù)學上判斷其適定性，只能在充分理解流動的物理機理的基礎上來進行鑒別。,第三，解的連續(xù)性問題是指當定解條件如果稍有變化(擾動)，解仍應存在且仍為唯一，這個擾動后的唯一解與擾動前的解應相差無幾，當擾動趨于零時，解的改變量也應趨于零，這就是微分問題的連續(xù)性。,第二，解的唯一性問題是研究在已給的定解條件下，問題的解是否只有一個，這表示附加條件與偏微分方程的匹配是否完備。,7.流體有限差分近似,由于應變量在節(jié)點之間的分布假設及推導離散化方程的方法不同，就形成了有限差分法、有限元法或譜方法等等不同類型的離散化方法。直到今日，數(shù)值方法中占主導地位的還是有限差分法。,偏微分方程定解問題的數(shù)值解法可以分為兩個階段：,首先，用網(wǎng)格線將連續(xù)的定解域劃分為有限離散點（節(jié)點）集，選取適當?shù)耐緩綄⑽⒎址匠碳捌涠ń鈼l件轉化為網(wǎng)格節(jié)點上相應的代數(shù)方程組，即建立離散方程組。,其次，求解離散化方程組，得到節(jié)點上的離散近似解。節(jié)點之間的近似解，一般認為光滑變化，原則上可以應用插值方法確定，從而得到定解問題在整個定解區(qū)域上的近似解。這樣，用離散分布近似解代替定解問題準確解的連續(xù)數(shù)據(jù)，這種方法稱為離散近似。,7.流體有限差分近似,一、模型方程的差分近似,7.流體有限差分近似,7.流體有限差分近似,7.流體有限差分近似,7.流體有限差分近似,相對離散誤差更能說明問題。,三、差分格式的離散誤差,離散過程一般總會引入誤差。離散誤差是離散格式的精確解與偏微分方程的精確解之差。,如果離散網(wǎng)格尺寸足夠小，那么截斷誤差首項的數(shù)值給出離散誤差很好的估計。,比較導數(shù)不同差分公式的離散誤差時，一種直接的方法是考慮一個簡單的解析函數(shù)。,定義相對離散誤差為：,7.流體有限差分近似,7.流體有限差分近似,7.流體有限差分近似,在計算時，誤差的傳播和積累必然會影響以后計算步的解的精度，為此就要分析這種誤差傳播的衰減趨勢。如果誤差積累在各步計算中被逐漸放大，以至物理問題的解被完全破壞，那么這種離散格式是不穩(wěn)定的。相反，如果誤差的影響逐步消失或保持有界，則認為離散格式是穩(wěn)定的。這便是所謂的穩(wěn)定性問題。,六、差分格式的穩(wěn)定性,在離散方程的實際求解過程中，不可避免地會引入舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的不精確）。對于給定的物理問題，其數(shù)值解的舍入誤差取決于所用計算方法及所用計算機的字長。,分析穩(wěn)定性的方法很多，常見的有：矩陣方法、傅立葉級數(shù)法、直觀法、Hirt方法和能量法。,7.流體有限差分近似,傅立葉級數(shù)法的基本思想可以從小擾動法的角度來理解。假定所計算的初邊值問題的邊界是準確無誤的，而在某時層（例如初始時刻）的計算中引入了一個誤差矢量，誤差就是小擾動。如果這一擾動的強度（或振幅）是隨時間的推移而增大的，則這一格式是不穩(wěn)定的；反之，若擾動的振幅隨時間而衰減或保持不變，則格式是穩(wěn)定的。,我們以常系數(shù)擴散方程為例，說明傅立葉穩(wěn)定性分析方法。,為進行這種分析，可以把誤差矢量的一個分量的表達式代入到離散代數(shù)方程中，以得出相鄰兩層間該分量振幅比，通常稱為放大因子。穩(wěn)定性的條件要求放大因子的絕對值小于或等于1。當放大因子等于1時，稱為中性穩(wěn)定，那么任何時刻引進的誤差都不會衰減或增大。,7.流體有限差分近似,7.流體有限差分近似,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,8.幾種模型方程的常用差分格式,9.有限元法,伽遼金法或里茲法在求解域的整體上選取整體基函數(shù)，組合整體近似解。導出代數(shù)方程組，可以說是一種整體代數(shù)化的方法。,有限元法以加權剩余法或變分法為基礎結合分塊逼近技術，形成系統(tǒng)化的數(shù)值計算方法。,有限元法將求解區(qū)域離散化，把求解域剖分成互相連結又互不重疊問一定形狀的有限個子區(qū)域，稱之為單元。在單元中選擇基函數(shù)，組合單元近似解。由單元分析建立單元有限元方程，然后組合成總體有限元方程，進而求解。所以說是一種離散代數(shù)化的方法。,9.有限元法,有限元法的解題步驟是：,(7)解有限元方程，計算有關物理置。,(6)邊界條件的處理；,(5)總體合成；,(4)元素分析；,(3)寫出伽遼金積分表達式；,(2)選取單元插值函數(shù)；,(1)區(qū)域剖分；,有限單元法的單元剖分就是用某一形式的網(wǎng)格，將求解區(qū)域分割成有限個單元。剖分具有一定的隨意性，常用的是三角形單元。,9.有限元法,1.區(qū)域剖分,(1)對于同一求解區(qū)域，單元的大小可以不同，但是形狀必須統(tǒng)一。,將求解的區(qū)域分成若干個子區(qū)域，然后布置節(jié)點，進行統(tǒng)一編號。包括單元號（全區(qū)域統(tǒng)一進行編號），總體節(jié)點號（全區(qū)域的節(jié)點統(tǒng)一進行編號），單元節(jié)點號（按統(tǒng)一順序編號）。這樣，區(qū)域中任一節(jié)點有兩個序號，在元素分析時用單元節(jié)點號，在總體合成時用總體節(jié)點號；兩套節(jié)點編號之間的對應關系用一張表來表示。,(5)所有單