五年級奧數(shù)題：因數(shù)與倍數(shù)

因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)習(xí)題（1） 一、填空題 128的所有因數(shù)之和是_. 2. 用105個大小相同的正方形拼成一個長方形,有_種不同的拼法.3. 一個兩位數(shù),十位數(shù)字減個位數(shù)字的差是28的因數(shù),十位數(shù)字與個位數(shù)字的積是24.這個兩位數(shù)是_.4. 李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹,學(xué)生恰好被平均分成四個小組,總共種樹667棵,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多,那么這個班共有學(xué)生_人.5. 兩個自然數(shù)的和是50,它們的最大公因數(shù)是5,則這兩個數(shù)的差是_.6. 現(xiàn)有梨36個,桔108個,分給若干個小朋友,要求每人所得的梨數(shù),桔數(shù)相等,最多可分給_個小朋友,每個小朋友得梨_個,桔_個.7. 一塊長48厘米、寬42厘米的布，不浪費邊角料，能剪出最大的正方形布片_塊.8. 長180厘米,寬45厘米,高18厘米的木料,能鋸成盡可能大的正方體木塊(不余料)_塊.9. 張師傅以1元錢3個蘋果的價格買蘋果若干個,又以2元錢5個蘋果的價格將這些蘋果賣出,如果他要賺得10元錢利潤,那么他必須賣出蘋果_個.10. 含有6個因數(shù)的兩位數(shù)有_個.11寫出小于20的三個自然數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1，但兩兩均不互質(zhì)，請問有多少組這種解？12和為1111的四個自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)最大能夠是多少？13狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每秒鐘都只跳一次.比賽途中,從起點開始每隔米設(shè)有一個陷井,當(dāng)它們之中有一個掉進陷井時,另一個跳了多少米?14. 已知a與b的最大公因數(shù)是12,a與c的最小公倍數(shù)是300,b與c的最小公倍數(shù)也是300,那么滿足上述條件的自然數(shù)a,b,c共有多少組?(例如:a=12、b=300、c=300，與a=300、b=12、c=300是不同的兩個自然數(shù)組)答 案答 案:1 5628的因數(shù)有1,2,4,7,14,28,它們的和為 1+2+4+7+14+28=56.2. 4因為105的因數(shù)有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長方形的長與寬分別是105和1,35和3,21與5,15與7.所以能拼成4種不同的長方形.3. 64因為28=227,所以28的因數(shù)有6個:1,2,4,7,14,28.在數(shù)字0,1,2,，9中，只有6與4之積，或者8與3之積是24，又6-4=2，8-3=5.故符合題目要求的兩位數(shù)僅有64.4. 28因為667=2329,所以這班師生每人種的棵數(shù)只能是667的因數(shù):1,23,29,667.顯然,每人種667棵是不可能的.當(dāng)每人種29棵樹時,全班人數(shù)應(yīng)是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.當(dāng)每人種23棵樹時,全班人數(shù)應(yīng)是29-1=28,且28恰好是4的倍數(shù),符合題目要求.當(dāng)每人種1棵樹時,全班人數(shù)應(yīng)是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名學(xué)生.5. 40或20兩個自然數(shù)的和是50,最大公因數(shù)是5,這兩個自然數(shù)可能是5和45,15和35,它們的差分別為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應(yīng)填40或20.注這里的關(guān)鍵是依最大公因數(shù)是5的條件,將50分拆為兩數(shù)之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36個、桔子108個分給若干個小朋友，要求每人所得的梨數(shù)、桔子相等，小朋友的人數(shù)一定是36的因數(shù)，又要是108的因數(shù)，即一定是36和108的公因數(shù).因為要求最多可分給多少個小朋友,可知小朋友的人數(shù)是36和108的最大公因數(shù).36和108的最大公因數(shù)是36,也就是可分給36個小朋友.每個小朋友可分得梨: 3636=1(只) 每個小朋友可分得桔子: 10836=3(只)所以,最多可分得36個小朋友,每個小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長48厘米及寬42厘米,所以它是48與42的公因數(shù),題目又要求剪出的正方形最大,故正方形的邊長是48與42的最大公因數(shù).因為48=22223,42=237,所以48與42的最大公因數(shù)是6.這樣,最大正方形的邊長是6厘米.由此可按如下方法來剪:長邊每排剪8塊,寬邊可剪7塊,共可剪(486)(426)=87=56(塊)正方形布片. 8. 200根據(jù)沒有余料的條件可知長、寬和高分別能被正方體的棱長整除,即正方體的棱長是180,45和18的公因數(shù).為了使正方體木塊盡可能大,正方體的棱長應(yīng)是180、45和18的最大公因數(shù).180,45和18的最大公因數(shù)是9,所以正方體的棱長是9厘米.這樣,長180厘米可公成20段,寬45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.這根木料共分割成(1809)(459)(189)=200塊棱長是9厘米的正方體.9. 150根據(jù)3與5的最小公倍數(shù)是15,張老師傅以5元錢買進15個蘋果,又以6元錢賣出15個蘋果,這樣,他15個蘋果進與出獲利1元.所以他獲利10元必須賣出150個蘋果.10. 16含有6個因數(shù)的數(shù),它的質(zhì)因數(shù)有以下兩種情況:一是有5個相同的質(zhì)因數(shù)連乘；二是有兩個不同的質(zhì)因數(shù)其中一個需連乘兩次，如果用M表示含有6個因數(shù)的數(shù)，用a和b表示M的質(zhì)因數(shù)，那么 或因為M是兩位數(shù)，所以M= a5只有一種可能M=25，而M= a2b就有以下15種情況：， ， ，.所以,含有6個因數(shù)的兩位數(shù)共有15+1=16(個)11. 三個數(shù)都不是質(zhì)數(shù),至少是兩個質(zhì)數(shù)的乘積,兩兩之間的最大公因數(shù)只能分別是2,3和5,這種自然數(shù)有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組.12. 四個數(shù)的最大公因數(shù)必須能整除這四個數(shù)的和,也就是說它們的最大公因數(shù)應(yīng)該是1111的因數(shù).將1111作質(zhì)因數(shù)分解,得 1111=11101最大公因數(shù)不可能是1111,其次最大可能數(shù)是101.若為101,則將這四個數(shù)分別除以101,所得商的和應(yīng)為11.現(xiàn)有 1+2+3+5=11,即存在著下面四個數(shù) 101,1012,1013,1015,它們的和恰好是 101(1+2+3+5)=10111=1111,它們的最大公因數(shù)為101.所以101為所求.13. 黃鼠狼掉進陷井時已跳的行程應(yīng)該是與的“最小公倍數(shù)”，即跳了=9次掉進陷井，狐貍掉進陷井時已跳的行程應(yīng)該是和的“最小公倍數(shù)”，即跳了=11次掉進陷井.經(jīng)過比較可知,黃鼠狼先掉進陷井,這時狐貍已跳的行程是9=40.5(米).14. 先將12、300分別進行質(zhì)因數(shù)分解： 12=223 300=22352(1)確定a的值.依題意a只能取12或125(=60)或1225(=300).(2)確定b的值.當(dāng)a=12時,b可取12,或125,或1225；當(dāng)a=60,300時，b都只能取12.所以,滿足條件的a、b共有5組：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3)確定a,b,c的組數(shù).對于上面a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，150，300.所以滿足條件的自然數(shù)a、b、c共有56=30（組） 因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)習(xí)題（2） 一、 填空題 1把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友，分完后梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共有_個小朋友. 2. 幼兒園有糖115顆、餅干148塊、桔子74個，平均分給大班小朋友；結(jié)果糖多出7顆，餅干多出4塊，桔子多出2個.這個大班的小朋友最多有_人.3. 用長16厘米、寬14厘米的長方形木板來拼成一個正方形，最少需要用這樣的木板_塊.4. 用長是9厘米、寬是6厘米、高是7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要這種長方體木塊_塊.5. 一個公共汽車站,發(fā)出五路車,這五路車分別為每隔3、5、9、15、10分鐘發(fā)一次，第一次同時發(fā)車以后，_分鐘又同時發(fā)第二次車.6. 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生,如只分給第一群,則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒.那么平均給三群猴子,每只可得_粒.7. 這樣的自然數(shù)是有的:它加1是2的倍數(shù),加2是3的倍數(shù),加3是4的倍數(shù),加4是5的倍數(shù),加5是6的倍數(shù),加6是7的倍數(shù),在這種自然數(shù)中除了1以外最小的是_.8 能被3、7、8、11四個數(shù)同時整除的最大六位數(shù)是_.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組,要求每一組中任意兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1, 那么至少要分成_組.10. 210與330的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的_倍. 二、解答題11公共汽車總站有三條線路，第一條每8分鐘發(fā)一輛車，第二條每10分鐘發(fā)一輛車，第三條每16分鐘發(fā)一輛車，早上6：00三條路線同時發(fā)出第一輛車.該總站發(fā)出最后一輛車是20:00,求該總站最后一次三輛車同時發(fā)出的時刻.12. 甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公因數(shù),商是12.如果甲乙兩數(shù)的差是18,則甲數(shù)是多少?乙數(shù)是多少?13. 用、分別去除某一個分數(shù)，所得的商都是整數(shù).這個分數(shù)最小是幾?14. 有15位同學(xué),每位同學(xué)都有編號,他們是1號到15號,1號同學(xué)寫了一個自然數(shù),2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除.1號作了檢驗:只有編號連續(xù)的二位同學(xué)說得不對,其余同學(xué)都對,問:(1)說的不對的兩位同學(xué),他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)?(2)如果告訴你,1號寫的數(shù)是五位數(shù),請找出這個數(shù).答 案 答 案:1. 9若梨減少2個,則有20-2=18(個);若將蘋果增加2個,則有25+2=27(個),這樣都被小朋友剛巧分完.由此可知小朋友人數(shù)是18與27的最大公因數(shù).所以最多有9個小朋友.2. 36根據(jù)題意不難看出,這個大班小朋友的人數(shù)是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因數(shù).所以,這個大班的小朋友最多有36人.3. 56所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數(shù),也就是長方形木板的長和寬的公倍數(shù),又要求最少需要多少塊,所以正方形木板的邊長應(yīng)是14與16的最小公倍數(shù).先求14與16的最小公倍數(shù). 2 16 148 7故14與16的最小公倍數(shù)是287=112.因為正方形的邊長最小為112厘米,所以最少需要用這樣的木板 =78=56(塊)4 5292與上題類似，依題意，正方體的棱長應(yīng)是9，6，7的最小公倍數(shù)，9，6，7的最小公倍數(shù)是126.所以,至少需要這種長方體木塊 =142118=5292(塊)注上述兩題都是利用最小公倍數(shù)的概念進行“拼圖”的問題，前一題是平面圖形，后一題是立體圖形，思考方式相同，后者可看作是前者的推廣.將平面問題推廣為空間問題是數(shù)學(xué)家喜歡的研究問題的方式之一.希望引起小朋友們注意.5. 90依題意知,從第一次同時發(fā)車到第二次同時發(fā)車的時間是3,5,9,15和10的最小公倍數(shù).因為3,5,9,15和10的最小公倍數(shù)是90,所以從第一次同時發(fā)車后90分鐘又同時發(fā)第二次車.6. 5依題意得花生總粒數(shù)=12第一群猴子只數(shù) =15第二群猴子只數(shù) =20第三群猴子只數(shù)由此可知,花生總粒數(shù)是12,15,20的公倍數(shù),其最小公倍數(shù)是60.花生總粒數(shù)是60,120,180,，那么第一群猴子只數(shù)是5，10，15，第二群猴子只數(shù)是4，8，12，第三群猴子只數(shù)是3，6，9，所以，三群猴子的總只數(shù)是12，24，36，.因此,平均分給三群猴子,每只猴子所得花生粒數(shù)總是5粒.7. 421依題意知,這個數(shù)比2、3、4、5、6、7的最小公倍數(shù)大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍數(shù)是420，所以這個數(shù)是421.8. 999768由題意知,最大的六位數(shù)是3,7,8,11的公倍數(shù),而3,7,8,11的最小公倍數(shù)是1848.因為9999991848=541231，由商數(shù)和余數(shù)可知符合條件的最大六位數(shù)是1848的541倍，或者是999999與231的差.所以,符合條件的六位數(shù)是999999-231=999768.9. 3根據(jù)題目要求,有相同質(zhì)因數(shù)的數(shù)不能分在一組,26=213,91=713,143=1113,所以,所分組數(shù)不會小于3.下面給出一種分組方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成3組.注所求組數(shù)不一定等于出現(xiàn)次數(shù)最多的質(zhì)因數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)，如15=35，21=37，35=57，3，5，7各出現(xiàn)兩次，而這三個數(shù)必須分成三組，而不是兩組.除了上述分法之外,還有多種分組法,下面再給出三種:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根據(jù)“甲乙的最小公倍數(shù)甲乙的最大公因數(shù)=甲數(shù)乙數(shù)”，將210330分解質(zhì)因數(shù)，再進行組合有210330=235723511 =223252711 =（235）（235711）因此，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的711=77（倍）.11. 根據(jù)題意,先求出8,10,16的最小公倍數(shù)是80,即從第一次三車同時發(fā)出后,每隔80分鐘又同時發(fā)車.從早上6:00至20:00共14小時,求出其中包含多少個80分鐘. 601480=1040分鐘由此可知,20:00前40分鐘,即19:20為最后一次三車同時發(fā)車的時刻.12. 甲乙兩數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù),所得的兩個商是互質(zhì)數(shù).而這兩個互質(zhì)數(shù)的乘積,恰好是甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公因數(shù)所得的商12.這一結(jié)論的根據(jù)是:(我們以“約”代表兩