剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1 / 19 下載文檔可編輯 第二章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 教學(xué)要求教學(xué)要求： 一、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度的概念，理解角量與線(xiàn) 量的關(guān)系。 二、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，能解簡(jiǎn)單的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。 三、了解力矩的功和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的概念。 四、了解剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律。 五、理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，能用平行軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性計(jì) 算剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角動(dòng)量等物理量的概 念和轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用。 物理學(xué)研究方法、思維方法：理想化模型-剛體、研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 的物理量角量的確定。 類(lèi)比方法是本章學(xué)習(xí)和研究的主要方法。 教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、類(lèi)比、討論 教學(xué)內(nèi)容： 準(zhǔn)備知識(shí)： 一、剛體：假定無(wú)論在多大的外力作用下，物體的形狀和大小都保 持不變，也就是物體內(nèi)任何兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。這樣的理 想物體稱(chēng)為剛體。剛體。 剛體也是常用的力學(xué)理想模型。 二、平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)：當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線(xiàn)， 在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平動(dòng)平動(dòng)； 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線(xiàn)做圓 周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。 如果剛體圍繞的轉(zhuǎn)軸的位置是固定不動(dòng)的，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱(chēng)為剛體剛體 的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 2-1 角速度和角加速度 2 / 19 下載文檔可編輯 一、一、 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 1、角坐標(biāo)：如圖 2-1 所示，O 為轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平 面的交點(diǎn)，A 為剛體上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)， A 在這一 轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞 O 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)， A 與轉(zhuǎn)軸的距 離為 r 。t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn) A 與轉(zhuǎn)軸 O 距離的連線(xiàn)與 基準(zhǔn)方向的夾角為 ，稱(chēng) 為角坐標(biāo)或角位置角坐標(biāo)或角位置。ox 2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 隨時(shí)間變化，它是時(shí) 間 t 的函數(shù)： （2-1）)(t 上式稱(chēng)為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程. 3、角位移：設(shè) t 時(shí)刻剛體上所取質(zhì)點(diǎn)的角坐標(biāo)是 ，經(jīng)過(guò)一段 時(shí)間 ，即 時(shí)刻，該質(zhì)點(diǎn)的角位置為 。我們把 稱(chēng)ttt 為 A 在 時(shí)間內(nèi)的角位移角位移，也是剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角位移。t 在 SI 中, 角位移的單位是弧度，符號(hào)為 rad . 4、角速度：將角坐標(biāo) 對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)，以描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快 慢，稱(chēng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度角速度，用符號(hào) 表示： = （2- dt d 2） 在 SI 中，角速度的單位是弧度每秒,符號(hào)為 . 1 srad 5、角加速度： 將角速度 對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，以描述角速度變化的 快慢程度，稱(chēng)為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度角加速度，用符號(hào)表示： = （2-3） 2 2 dt d dt d 圖 21 角坐標(biāo)和 角速度 3 / 19 下載文檔可編輯 在 SI 中，角加速度的單位是弧度每平方秒,符號(hào)為. 2 srad 除了用角速度 描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的程度外，還可使用另一個(gè) 量-旋轉(zhuǎn)頻率，通常用符號(hào) n 表示旋轉(zhuǎn)頻率，表示單位時(shí)間物體繞 行的轉(zhuǎn)數(shù)。旋轉(zhuǎn)頻率的單位是轉(zhuǎn)每分，符號(hào)，是國(guó)家 1 min r 1 min r 選用的非 SI 單位之一.它是工程上常用的單位,與弧度每秒之間的換 算關(guān)系為 1=) 1 min r 30 1 srad 二、二、 角量與線(xiàn)量的關(guān)系角量與線(xiàn)量的關(guān)系 設(shè)距轉(zhuǎn)軸為 R 處一質(zhì)點(diǎn)的線(xiàn)速度為 ，切向加速度為，法向加v t a 速度為（以上各量稱(chēng)為“線(xiàn)量” ） 。角速度 ,角加速度為（以上 n a 各量稱(chēng)為“角量” ） 。下面我們來(lái)討論線(xiàn)量與角量大小的關(guān)系。 用 表示與質(zhì)點(diǎn)的角位移 相對(duì)應(yīng)的圓軌道上的弧長(zhǎng)，那么 s Rs 將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，由于線(xiàn)速度 =，角速度 =v dt ds dt d 則可得 ： （2-4）Rv 將式（2-4）兩邊再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，由于上式中 = ， =，則可得 ： t a dt dv dt d = R （2-5） t a 利用= 得法向加速度 ： n a R v2 = R （2-6） n a 2 例例 2-12-1 已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 =A+B，式中 A 為無(wú)量 3 t 綱的常數(shù),B 為有量綱的常數(shù). 求: (1) 角速度；（2）角加速度； 4 / 19 下載文檔可編輯 （3） 剛體上距軸為 r 的一質(zhì)點(diǎn)的加速度. 解: (1) 由角速度的定義式,得: = = 3B dt d 2 t (2) 將 對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù),得角加速度 = = 6Bt dt d (3) 利用式(25)得距軸為 r 的一點(diǎn)的切向加度為: = =6Brt t ar 根據(jù)式(26)得該質(zhì)點(diǎn)的法向加速度為: = r =9r n a 2 2 B 4 t 所以，加速度的大小是：a = = 22 tn aa 2242 )6()9(BrtrtB 設(shè)加速度 a 與速度 v 的夾角為 ，則 滿(mǎn)足下式 tgn = t n a a 3 2 3 Bt 2-22-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 一、力矩一、力矩 1、定義： 位矢位矢 與力與力的矢積為力的矢積為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，用表r F F M 示。 數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （27a）FrM 其大小為 (27b) sinrFM 的方向?yàn)榈姆较?，按照右手螺旋定M Fr 則判斷。 一般是按照力矩的作用來(lái)判斷力矩的正負(fù)： 如力矩的作用是使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則力矩為正；如力矩的作用是 圖 22 力矩 5 / 19 下載文檔可編輯 使剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則力矩為負(fù)。 在 SI 中,力矩的單位是牛頓米,符號(hào)為.mN 2、意義： 力矩是改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因。 二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 （1）推導(dǎo)：如圖所示，為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 一個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)平面，m 為剛體中任意一 i 個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量。 是 m 對(duì)軸的位矢，F(xiàn) 是 i r ii m 受的外力，f 是 m 受的內(nèi)力，將 F 與 f iiii 按切向與法向分解，用牛頓第二定律的分量式 F =m和 F =m， inn a it a 分別得: 在法向： （a） 2 coscos iiniiiiii rmamFf 切向： (b） iitiiiiii rmamFfsinsin 圖 2-3 中法向力對(duì)轉(zhuǎn)軸無(wú)力矩作用，不必考慮，切向力對(duì)轉(zhuǎn)軸有力 矩作用,將(b)式兩邊分別用 相乘得 i r (C) 2 )sinsin( iiiiiii rmFfr 將(C)式對(duì)整個(gè)剛體相加可得： )()sinsin( 2 iiiiiii rmFfr 或 （28a）)( 2 iii rmM 將上式中的定義為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用 I I 表示。即 2 i n in ir m I I = = （29a） 2 i n in ir m 圖 23 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 6 / 19 下載文檔可編輯 則式（28a）可寫(xiě)成： (28b)IM （2）結(jié)論：作用于剛體上的合外力矩作用于剛體上的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I I 與剛與剛M 體的角加速度體的角加速度的乘積。的乘積。這一規(guī)律稱(chēng)為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律. . 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 （1）定義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I I = = 是一個(gè)引入的物理量，它量度 2 i n in ir m 了剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小，在 SI 中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 的單位是千 克米 ，符號(hào)為。 22 mKg （2）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：由式（29a）可以看出影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 大小的因素不僅僅是剛體的質(zhì)量，還包括各質(zhì)元與轉(zhuǎn)軸的相對(duì)位置， 同樣質(zhì)量的質(zhì)元，離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的貢獻(xiàn)越大。若剛體中 質(zhì)元是連續(xù)分布的，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算由積分完成，即 I=I= = dmr 2 dVr 2 （2-9b） 計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是比較困難的，甚至于無(wú)法計(jì)算，在工程技術(shù) 和科學(xué)研究中，常常用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 （3）關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的兩條規(guī)律： a平行軸定理：平行軸定理：根據(jù)實(shí)際需要，轉(zhuǎn)動(dòng)物體的固定軸可有多種選 擇.設(shè)想有兩個(gè)彼此平行的轉(zhuǎn)軸,一個(gè)通過(guò)剛體的質(zhì)心,另一個(gè)不通過(guò) 質(zhì)心.兩平行軸之間的距離為 d,剛體的質(zhì)量為 m.如果此剛體對(duì)過(guò)質(zhì) 心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ,對(duì)另一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I,那么，可以證 c 明 I 和 I 之間的關(guān)系為 c 7 / 19 下載文檔可編輯 I = I + md c 2 (2-10) 上述關(guān)系式稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理平行軸定理. 由上式可見(jiàn),剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Ic,小于剛體對(duì)任何與該 質(zhì)心轉(zhuǎn)軸相平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I。 b、對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言,物體各部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于整個(gè)物體的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量。把這一規(guī)律稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性。 三三 、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 一個(gè)物體系統(tǒng)中如果有若干個(gè)物體,其中有的物體在平動(dòng),有的 在轉(zhuǎn)動(dòng).這時(shí)可以采用“隔離體法”把它們分別“取”出.平動(dòng)物體 可看作質(zhì)點(diǎn),應(yīng)用牛頓第二定律寫(xiě)出它們的力學(xué)方程.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體, 可以用轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)出它們的轉(zhuǎn)動(dòng)方程,再找出各隔離體的聯(lián)系,寫(xiě)出 必要的關(guān)系式,然后,把所有公式聯(lián)立求解. 此外,還可以用動(dòng)能定理.功能原理和機(jī)械能守恒定律計(jì)算這類(lèi) 問(wèn)題. 例例 2-22-2 如圖(2-4a)所示，一輕繩跨過(guò)一軸承光滑的定滑輪。繩兩 邊分別懸有質(zhì)量為的兩個(gè)物體 A 和 B，已知小于，滑輪 21 mm、 1 m 2 m 可看作質(zhì)量均勻分布的等厚圓盤(pán)，其質(zhì)量為，半徑為 r， （因而滑m 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I =）.設(shè)繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).求物體的加 2 2 1 mr 速度？滑輪的角加速度？及繩的張力？ 解：分別把滑輪，物體 A 和物體 B“隔離”出來(lái),畫(huà)出它們的受力圖,如 圖(2-4b)所示.由于不計(jì)繩的質(zhì)量, 且 、 . 因?yàn)榇?1 / 1 TT 2 / 2 TT 2 m 8 / 19 下載文檔可編輯 于,物體 A 的加速度向上,B 的加速度向下,它們的大小相等, 1 m 1 a 2 a 設(shè)都用 則 aaaa 21 分別寫(xiě)出 A、B 的力學(xué)方程: amTgm amgmT 222 111 再寫(xiě)出滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程: IrTT)( / 1 / 2 由線(xiàn)量與角量的關(guān)系得: ra 有牛頓第三定律的: / 11 TT / 22 TT 聯(lián)立求解得: g mmm mm a )22( )(2 21 12 r g mmm mm )22( )(2 21 12 g mmm mmm TT )22( )4( 21 21/ 11 g mmm mmm TT )22( )4( 21 12/ 11 上述結(jié)果表明，兩側(cè)繩中張力的大小不等。 2-32-3 力矩的功力矩的功 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 一、力矩的功一、力矩的功 如圖 2-5 所示，一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)狀剛體,在圓盤(pán)平O O 面上有外力 F 作用于 A 點(diǎn).把力沿法向和切向分解為法向力和切向 n F 力。圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),法向分力垂直于 A 點(diǎn)的速度,它不做功.因而外 t F n F 力 F 的功等于它的切向分力所做的功,所以: t F 圖 24a 圖 24b 9 / 19 下載文檔可編輯 圖 25 力矩的功 (2-dsFrdFdA t 11) 在上式中,是 A 點(diǎn)在圓周上的位移元,是對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng),rdds 用表示與 對(duì)應(yīng)的角位移,有 ddsrdds 把上式代入式(2-11),得 rdFdA t 上式中的 是外力 F 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩,于是可以用力矩表示元功: rFtM （2MddA 12） 當(dāng)剛體從角坐標(biāo)轉(zhuǎn)到角坐標(biāo)時(shí),外力矩共作功: 1 2 (2-13) 2 1 MdA 如果有若干個(gè)外力作用于剛體上,先分別計(jì)算出每個(gè)外力的力矩,求 這些外力矩的代數(shù)和,得合外力矩.上式中若是合外力矩,則 A 就是M 合外力矩的功合外力矩的功. 若是恒力矩,與同方向,力矩做的功為 MMd MA 例例 2-32-3 如圖 2-6（a）所示，一個(gè)轉(zhuǎn)輪 A 繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I，轉(zhuǎn)動(dòng)的摩擦力矩為,轉(zhuǎn)輪半徑為 R,轉(zhuǎn)輪邊沿繞有輕的細(xì)繩， f M 用恒力 F 拉繩，A 輪被拉動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò) n 圈， （B 輪的質(zhì)量不計(jì)，轉(zhuǎn)軸光滑） 求: 10 / 19 下載文檔可編輯 （1）拉力和摩擦力矩對(duì)輪做的功. （2）若將恒力 F 換成重物 G 來(lái)拉滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖 2-6（b）其他條 件不變，求繩中張力對(duì)輪所做的功.(G=mg) 圖 26 例 23 圖 解:(1)作用在輪上的拉力為恒力 F 時(shí),作用在輪上有兩個(gè)力矩 及，輪轉(zhuǎn)過(guò) n 圈時(shí),角位移 n FRMF f M2 =n= FF MAd2 F MnRF2 =n f A f M2 f M (2)分離轉(zhuǎn)輪與重物,畫(huà)出受力圖,分別用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓第二定 律. 對(duì)輪有 IMTR f 對(duì)重物 G maTG 又因 Ra 聯(lián)立解得 ImR MmgR f 2 ImR RMIg T f 2 所以 =2TRMA T nRT2 ImR RMIg nR f 2 二、 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體可以看作是有許多質(zhì)元所組成的。設(shè)各質(zhì)元的質(zhì)量分別為 11 / 19 下載文檔可編輯 m 、 m .,.各質(zhì)元與轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r 、r、.,當(dāng)剛體繞 1212 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各質(zhì)元的角速度 相等,但線(xiàn)速度各不相同。設(shè)其中第 i 個(gè)質(zhì)元的線(xiàn)速度為，其大小為： i v = r , i v i 則相應(yīng)的動(dòng)能為： = = ik E 2 2 1 iiv m 2 )( 2 1 ii rm 22 2 1 iir m 整個(gè)剛體的動(dòng)能是所有各質(zhì)元的動(dòng)能之和， 即 = （2 k E n n iir m 1 22) ( 2 1 14 a） 將式（29a）代入上式中可得： 所以剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)式為 = (214b) k E 2 2 1 I 三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 力矩對(duì)剛體做功是力矩的空間積累過(guò)程,將轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)角位移 積分得：d 2 1 2 1 dIdM 上式左邊為力矩做的功,右邊為 = dId dt d Id dt d I 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 II 即: (2-15) 12 2 1 kkk EEEMdA 上式表明:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合外力矩對(duì)剛體所做的功時(shí)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合外力矩對(duì)剛體所做的功時(shí), ,等于剛體等于剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.這一規(guī)律稱(chēng)為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。 例例 2 24 4 如圖 2-7 所示,半徑為 R,質(zhì)量為 m 的均勻的薄圓盤(pán),盤(pán) 1 邊繞有足夠長(zhǎng)的輕的細(xì)繩,下端掛著一個(gè)質(zhì)量為 m 的重物.開(kāi)始系統(tǒng) 2 12 / 19 下載文檔可編輯 靜止,釋放后重物向下移動(dòng) h 距離,設(shè)圓盤(pán)軸上摩擦力矩為 M ,求物 f 快下滑到 h 距離時(shí)的速度 .v 解: 合外力矩對(duì) m 做的功為 A , 11 外力對(duì) m 做的功為 A , 22 m 下移 h 時(shí),輪轉(zhuǎn)過(guò)位移為, 2 R h 設(shè)繩中張力為 T,作 m 和 m 的受力圖， 12 運(yùn)動(dòng)方程 (a)IMTR f (b) amTgm 22 又因?yàn)?)( 1f MTRAhTgmA)( 22 用動(dòng)能定理 hTgm R h MTRAAA f )()( 221 22 2 2 1 2 1 IvmEk （c） 22 22 2 1 2 1 )()(IvmhTgm R h MTR f (其中 ) (d)、 2 1 2 1 RmI R v2 解(a)(b)得 2 21 2 ) 2 1 (Rmm MgRm f (e) Rmm MgRmm T f )2( )2( 21 12 將(d)(e)代入(c)得 21 2 2 2 1 )(2 mm R h Mghm v f 圖 27 例 24 圖 13 / 19 下載文檔可編輯 21 2 2 1 )(2 mm R h Mghm v f 若,則 0 1 m0 f Mghv2 2-42-4 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 一一 、角動(dòng)量、角動(dòng)量 定義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I I 和角速度和角速度 的乘積稱(chēng)為剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量的乘積稱(chēng)為剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量, 又稱(chēng)動(dòng)量矩動(dòng)量矩。用符號(hào) L L 表示: ( 2-16 )IL 角動(dòng)量是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量. 在 SI 中,角動(dòng)量的單位是千克平方米每秒,符號(hào)為 . 12 smkg 二、二、 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 把轉(zhuǎn)動(dòng)定律改寫(xiě)為 : IM dt d IM 剛體對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 是常量,則上式又可以寫(xiě)成: ( dt dL M 2-17 ) 上式表明,剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), ,作用于剛體上的合外力矩等于剛作用于剛體上的合外力矩等于剛 體對(duì)該定軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率體對(duì)該定軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率. .這是轉(zhuǎn)動(dòng)定律的角動(dòng)量表示式. 將式(2-17)變換成 dLMdt 如果在 t 到 t 時(shí)間內(nèi),力矩持續(xù)的作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上,使剛體的角 12 M 動(dòng)量從 L 變?yōu)?L ,則得 : 12 14 / 19 下載文檔可編輯 ( 2-18a) 2 1 12 t t LLMdt 或: ( 2-18b ) 12 2 1 IIMdt t t 在上式中, 稱(chēng)為力矩 在 t 到 t 內(nèi)的沖量矩沖量矩。式(2-18)表 2 1 t t MdtM 12 明,剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), ,在給定的時(shí)間內(nèi)在給定的時(shí)間內(nèi), ,作用于剛體的合外力矩的沖作用于剛體的合外力矩的沖 量矩量矩, ,等于剛體對(duì)該定軸的角動(dòng)量的增量等于剛體對(duì)該定軸的角動(dòng)量的增量. .這一規(guī)律稱(chēng)為剛體定軸轉(zhuǎn)剛體定軸轉(zhuǎn) 動(dòng)的角動(dòng)量定理動(dòng)的角動(dòng)量定理. 三、三、 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 公式(2-18)中,如果物體所受合外力矩，則0M L = L (2-19a) 12 即： （2-19b） 2211 II 上式表明,當(dāng)作用于物體的合外力矩等于零時(shí)當(dāng)作用于物體的合外力矩等于零時(shí), ,物體的角動(dòng)量保持不物體的角動(dòng)量保持不 變變.這一規(guī)律稱(chēng)為角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律. 由 2-19 式表明:當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是常數(shù)，即 I 不變時(shí)， 若=0，則 保持不變 = ；當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不M 12 是常數(shù)，即 I 變化時(shí), 若=O，則 發(fā)生變化 。因此可M 12 以用減小(或增加)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的手段來(lái)加快(或減慢)物體的轉(zhuǎn)動(dòng) 速度.此類(lèi)方法廣泛應(yīng)用于各種跳、翻、轉(zhuǎn)的體育動(dòng)作和舞蹈表演中.例 如跳水運(yùn)動(dòng)員在空中翻筋斗時(shí),跳水員先將兩臂伸直,并一某一角速 度離開(kāi)跳板,跳在空中時(shí),將臂和腿盡量卷縮起來(lái),以減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因 而角速度增大,在空中快速翻轉(zhuǎn),當(dāng)快接近水面時(shí),再伸直臂和腿以增 大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,減小角速度以便豎站的進(jìn)入水中,減少激起的水花. 15 / 19 下載文檔可編輯 角動(dòng)量守恒定律是自然界的基本定律之一. 例例 2-52-5 質(zhì)量為,半徑為的均勻?qū)嵭膱A柱體，以角速度 繞其MR 0 幾何軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為，初速度為的小質(zhì)點(diǎn)與該圓柱體相碰并m 0 v 粘在圓柱體的邊緣上，如圖 28 所示，求碰撞后該系統(tǒng)的角速度。 解：將圓柱體與小質(zhì)點(diǎn)去做研究系統(tǒng)，外力 只有重力及支持力，但重力及支持力對(duì)轉(zhuǎn)軸 均無(wú)力矩，所以該系統(tǒng)的合外力矩等于零， 因此，角動(dòng)量守恒。設(shè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向， 則碰撞前該系統(tǒng)繞 O 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為 RmvMRL