復(fù)變函數(shù)總結(jié)

第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1、 復(fù)數(shù)幾種表示（1） 代數(shù)表示 （2） 幾何表示：用復(fù)平面上點(diǎn)表示 （復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量視為同一概念）（3） 三角式：（4） 指數(shù)式 ： 輻角 2、 乘冪與方根（1）乘冪： ，（2）方根： 第2章 解析函數(shù)1、 連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分概念類似于一元實(shí)變函數(shù) 求導(dǎo)法則與一元實(shí)變函數(shù)類似函數(shù)點(diǎn)解析的定義：函數(shù)在一點(diǎn)及其點(diǎn)的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)注：（1）點(diǎn)解析點(diǎn)可導(dǎo)， 點(diǎn)可導(dǎo)推不出點(diǎn)解析（2）區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價(jià)2、 定理1 在可導(dǎo)在可微，滿足C-R方程定理2 在區(qū)域D內(nèi)解析（可導(dǎo)） 在區(qū)域D內(nèi)可微，滿足C-R方程討論1 在區(qū)域D內(nèi)4個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，滿足C-R方程 在區(qū)域D內(nèi)解析（可導(dǎo)）3、 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1、 定義1 調(diào)和函數(shù)：滿足拉普拉斯方程，且有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。 定義2 設(shè)是區(qū)域D內(nèi)調(diào)和函數(shù)，且滿足C-R方程，則稱是的共軛調(diào)和函數(shù)。2、 定理1 解析函數(shù)的虛部與實(shí)部都是調(diào)和函數(shù)。 定理2 函數(shù)在D內(nèi)解析虛部是實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。3、問題：已知解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部），求虛部（或?qū)嵅浚?理論依據(jù)： （1）虛部、實(shí)部是調(diào)和函數(shù)。 （2）實(shí)部與虛部滿足C-R方程。 求解方法：（例如已知） （1）偏積分法：先求，再求，得出 （2）利用曲線積分：求，再 （3）直接湊全微分：求，再4、 初等函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：（1）是單值函數(shù)， （2）除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外處處有定義 （3） （4）處處解析， （5） （6）是周期函數(shù)，周期是2、 對數(shù)函數(shù) （多值函數(shù)） 主值（枝） （單值函數(shù)）性質(zhì)：（1）定義域是， （2）多值函數(shù) （3）除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù) （4）除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析， （5） 3、冪函數(shù)是復(fù)常數(shù)） （1）為正整數(shù)，函數(shù)單值、處處解析， （2）為負(fù)整數(shù)，函數(shù)單值、除去及其負(fù)實(shí)軸處處解析， 4、三角函數(shù) 歐拉公式 或 定義： 性質(zhì)：周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)、等于實(shí)函數(shù)一樣 各種三角公式、求導(dǎo)公式照搬 注：的有界性 保護(hù)成立。第3章 復(fù)變函數(shù)的積分1、 復(fù)積分 （c的正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向）計(jì)算方法：（1）第二類曲線積分計(jì)算（2）化為普通定積分 重要結(jié)果： （n為任意整數(shù)） 二、柯西積分定理定理1（柯西積分定理） 設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，則 。注：條件變?yōu)樵趩芜B通區(qū)域D內(nèi)解析，在D的邊界C上連續(xù)，結(jié)論成立，即 。定理2 設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則積分與路徑無關(guān)。記積分為 ，或原函數(shù)定義結(jié)論：是的原函數(shù)。 （條件：是解析函數(shù)） 定理3 （閉路變形原理）（柯西積分定理推廣到多連通區(qū)域） 是兩條簡單閉曲線，在內(nèi)部，在所圍區(qū)域D內(nèi)解析，在上連續(xù)，則 注：定理3說明：區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)的連續(xù)變動(dòng)而改變它的值。3、 柯西積分公式定理1 （柯西積分公式）在簡單閉曲線C上連續(xù)，C的內(nèi)部解析（即單連通區(qū)域D內(nèi)解析），是C的內(nèi)部一點(diǎn)，則 注：（1）D為多連通區(qū)域時(shí)，公式仍 成立。 （2）提供了計(jì)算積分的一種方法。推論1 （平均值公式）設(shè)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則 定理2 （最大模原理）設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，又不是常數(shù)，則在D內(nèi)沒有最大值。推論1 區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，若其模在D內(nèi)一點(diǎn)達(dá)到最大值，則此函數(shù)被常數(shù)。（定理2的逆否命題） 4、 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理1 （解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)）設(shè)在簡單閉曲線C所圍的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，在C上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在D內(nèi)解析，且對D內(nèi)有 ，或注：由柯西積分公式求導(dǎo)即得。第4章 解析函數(shù)的級數(shù)表示1、 數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中定理 收斂的必要條件是定理 收斂 與 均收斂定理 收斂 收斂，稱為絕對收斂 發(fā)散，收斂，稱為條件收斂2、 冪級數(shù) 收斂半徑 則收斂圓3、 函數(shù)展開成泰勒級數(shù)（冪級數(shù)）公式：1、， 2、， 3、， ， 4、對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)求導(dǎo)數(shù)4、 洛朗級數(shù) （函數(shù)在環(huán)域內(nèi)展開） 第五章 留數(shù)1、 孤立奇點(diǎn)（函數(shù)在不解析，在的去心鄰域內(nèi)解析）分類：1、可去奇點(diǎn)（洛朗級數(shù)中沒有負(fù)冪項(xiàng)） 判定（1）洛朗級數(shù)，（2）存在2、 極點(diǎn)（洛朗級數(shù)中有有限負(fù)冪項(xiàng)） 判定（1）洛朗級數(shù)， （2）極點(diǎn)階數(shù)判定： （1）洛朗級數(shù) （2），在解析，則是的m階極點(diǎn)。 （3）零點(diǎn)與極點(diǎn)關(guān)系（4） ，是分子的n階零點(diǎn)，是分母的m階零點(diǎn)， mn時(shí)，是函數(shù)的m-n階極點(diǎn)，否則，是可去奇點(diǎn)。3、 本性奇點(diǎn)（洛朗級數(shù)中有無限負(fù)冪項(xiàng)） 判定 （1）洛朗級數(shù)， （2）不存在，也不是無窮。2、 m階零點(diǎn)法1 法2 函數(shù)在展開成冪級數(shù)3、 留數(shù) ，是洛朗級數(shù)中系數(shù)。留數(shù)計(jì)算：可去奇點(diǎn)處留數(shù)為零本性奇點(diǎn)：通過洛朗級數(shù)求解m階極點(diǎn)：一階極點(diǎn) 或 ，是分母1階零點(diǎn)，不是分子零點(diǎn)注