淺談數(shù)學思維訓練

淺談數(shù)學思維訓練,數(shù)學是思維的體操.利用數(shù)學教學對學生進行思維訓練，這是其它學科無法比擬的。培養(yǎng)抽象思維有利于學生形成數(shù)學概念；培養(yǎng)數(shù)學想象力是形成數(shù)學創(chuàng)造的主力；而培養(yǎng)邏輯思維則有利于數(shù)學證明的形成。因此，進行思維訓練有助于提高學生成績。,數(shù)學思維訓練的意義,利用數(shù)學教學對學生進行思維訓練，能讓學生學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數(shù)學的意識。,數(shù)學思維訓練的意義,數(shù)學思維,數(shù)學思維就是在數(shù)學活動中的思維。,一、數(shù)學思維的基本方式,1、(思維的指向)發(fā)散思維與收斂思維2、(思維的形式)邏輯思維與形象思維3、(智力的品質)再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維,1、發(fā)散思維與收斂思維（指向性）,發(fā)散思維又稱為輻射思維、擴散思維、求異思維，是在思維過程中，以某一問題為中心，沿著不同方向、不同角度，向外擴散的一種思維方法。在思維方向上具有逆向性和多向性的特點，多用于探索新知識或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結果的教學環(huán)節(jié)，在解答問題中常有三種主要的表現(xiàn)形式，“一題多變”、“一題多解”、“一法多用”。實質：從一到多。猶如光源向四面八方輻射光線一樣，灑水壺式的思維方式。,【例】楊瀾當年考正大綜藝主持人的時候考官問她“你敢不敢穿三點式”她的回答是“這不是個敢不敢的問題，而是一個得不得體的問題。如果在美國西海岸的浴場上穿三點式，是很正常的事；如果在一個民風淳樸的山村大街上穿三點式，是對那里人感情的一種褻瀆；如果在浴池里，穿三點式純屬多余。,一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。,后來有一位聰明的人勸她：老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。這么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。,逆向思維-一則小故事:,收斂思維,又稱集中思維，它是指由所提供的條件或事實聚合起來，朝著同一個方向思考，得出確定的答案。,收斂思維實際上是由多到一,發(fā)散思維是一種從點到面的思維形態(tài),而收斂思維是一種從面到點的內聚式思維形態(tài)。收斂思維能力強的人一般具有較強的洞察力,看問題比較深刻,善于推理分析,且嚴謹周密。,收斂思維,【例】高爾基童年在食品店干雜活，曾碰到過一位刁鉆的顧客，“訂九塊蛋糕，但要裝在四個盒子里，而且每個盒子里至少要裝三塊蛋糕”。高爾基的辦法是先將九個蛋糕分裝在三個盒子里，每盒三塊，然后再把這三個盒子一起裝在一個大盒子里，用包裝袋扎好。,在某一山區(qū)，牧羊人發(fā)現(xiàn)一個奇怪的山洞，帶一獵狗走進去，走不多遠狗就癱倒在地，四肢抽搐后死掉，他自己卻安然無恙。人們把這個洞稱之“怪洞”。怪洞之謎引起了科學家的興趣，他們用各種動物做試驗，發(fā)現(xiàn)狗、貓、老鼠等頭部離地面較近的動物在山洞會死，人在山洞不會死，馬、牛等頭部離地面較遠的牲畜不會死?？茖W家得到一條結論：頭部離地面近是動物死亡的原因，進而發(fā)現(xiàn)這個巖洞地下冒出很多二氧化碳氣體，因為二氧化碳比空氣比重，洞內又不通風，二氧化碳沉積在地面，動物因缺氧而死。,追問到底法,豐田公司的管理方法:機器為什么不轉了?因為保險絲斷了.為什么保險絲會斷?因為超負荷而電流太大.,為什么會超負荷?因為軸承枯澀不夠潤滑.為什么不夠潤滑?因為油泵吸不上潤滑油為什么吸不上油?因為抽油泵產(chǎn)生了嚴重磨損為什么會產(chǎn)生磨損?因為油泵未裝過濾器而使鐵屑混入.,2、邏輯思維與形象思維（形式）,邏輯思維是按照邏輯的規(guī)律、方法和形式，有步驟、有根據(jù)的從已知的知識和條件導出新結論的思維。形象思維是未經(jīng)過步步分析、無清晰的步驟，而對問題突然間的領悟、理解或給出答案的思維。,物理學上的“阿基米德定律”是阿基米德在跳入澡缸的一瞬間，發(fā)現(xiàn)澡缸邊緣溢出的水的體積跟他自己身體入水部分的體積一樣大，從而悟出了著名的浮力定律。達爾文在觀察到植物幼苗的頂端向太陽照射的方向彎曲現(xiàn)象時，就想到了它是幼苗的頂端因含有某種物質，在光照下跑向背光一側的緣故。但在他有生之年未能證明這是一種什么物質。后來經(jīng)過許多科學的反復研究，終于在1933年找到了這種物質-植物生長素。,2、邏輯思維與形象思維（形式）,在這個階段學生的抽象思維得到初步的發(fā)展，但是在數(shù)學的學習中形象思維的成分仍然占著很大的比例。從形象思維逐步過渡到抽象思維，是初中生的認知特點。,初中生思維特點,新課改中十分注重數(shù)學教材的結構按照學生思維發(fā)展的年齡來組織。主要體現(xiàn)在教材的內容做到了螺旋式上升的編排結構，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進。教師在進行數(shù)學教學時應當以學生的思維發(fā)展水平為依據(jù)，善于把握學生的最近發(fā)展區(qū)，教學內容符合學生的實際水平。初中數(shù)學教材的編排側重于思維的集中。,初中生思維特點,3、再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維（智力品質）,再現(xiàn)性思維：運用所獲得的知識或經(jīng)驗，按現(xiàn)成的方法或程序去解決問題的思維。創(chuàng)造性思維：在已有的知識和經(jīng)驗的基礎上，對問題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關系或創(chuàng)造新方法的思維。,二、數(shù)學思維的一般方法,觀察與實驗分析與綜合演繹與歸納概括與抽象特殊化與一般化判斷與推理,觀察與實驗,觀察是人們對事物或問題的數(shù)學特征通過視覺獲取信息，運用思維辨認其形式、結構和數(shù)量關系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質的方法。”數(shù)學思維通常都要從觀察數(shù)學對象開始，結合運用其它方法才能獲得關于客觀事物的本質和規(guī)律的認識，因此觀察法是數(shù)學思維過程的必需的和第一位的方法。,“實驗是根據(jù)所研究問題的需要，按照研究對象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，人為地設置條件使所希望的現(xiàn)象產(chǎn)生或對其進行控制的科學方法?！?小明是這樣做的：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.,如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？,剪一剪,邊：,角：,當四邊形ABCD為菱形時,AB=BC=CD=AD,AOB=AOD=DOC=BOC=901=2=3=45=6=7=8,探索發(fā)現(xiàn)：,對角線：,ACBD,推理論證,已知:如圖，四邊形ABCD是菱形，求證：,(1)AB=BC=CD=DA,(2)ACBD,AC平分DAB和DCB,BD平分ADC和ABC,證明(1)四邊形ABCD是菱形,DA=DC(菱形的定義),DA=BC,AB=DC,AB=BC=DC=DA,(2)在等腰DAC中,AO=CODBAC，DB平分ADC（三線合一）,同理：DB平分ABC；AC平分DAB和DCB,分析與綜合,分析：由結果追溯到產(chǎn)生這一結果的原因的一種思維方法。綜合：從條件推到到由條件產(chǎn)生的結果的一種思維方法。證明：先分析后綜合,演繹與歸納,演繹：一般特殊歸納：特殊一般,完全歸納法：數(shù)學證明的方法（第一數(shù)歸法）,不完全歸納法：猜測，驗證,概括與抽象,概括：擺脫具體內容，并且在各種對象、關系運算的結構中，抽取出相似的、一般的和本質的東西的思維過程。抽象：舍棄研究對象的非本質特征，揭示其本質特征的思維過程。,例如蘋果、香蕉、生梨、葡萄、桃子等，它們共同的特性就是水果。得出水果概念的過程，就是一個抽象的過程。所謂的共同特征，是相對的，是指從某一個刻面看是共同的。比如，對于汽車和大米，從買賣的角度看都是商品，都有價格，這是他們的共同的特征，而從其他方面來比較是，他們則是不同的。所以在抽象時，同與不同，決定于從什么角度上來抽象。抽象的角度取決于分析問題的目的。,特殊化與一般化,特殊化：研究數(shù)學問題由原范圍縮小到一個較小范圍或個別情形（特例、反例分析法）一般化：由原范圍到更大范圍進行研究特殊化與一般化相結合,例,證明：具有下列形式的數(shù)是完全平方數(shù)。分析：先從特殊情況出發(fā)，找出某種規(guī)律：,于是猜想,判斷與推理,判斷：反映對象本身及其某些屬性和聯(lián)系存在或不存在的思維形式。數(shù)學中的判斷稱為命題推理：由一個或幾個判斷推出另一個新的判斷的思維過程。,化歸與映射,化歸：將待研究的問題進行轉化映射：關系映射反演原則，一種特殊的化歸,三教學過程與策略,一、問題情境的創(chuàng)設二、學生進行自主探索三、師生合作學習四、學生進行變式練習五、學生進行變式練習。,（一）問題情境的創(chuàng)設,問題情境的創(chuàng)設，其目的在于引起學生的注意，驅動學生的思維，為學生提供學習任務；生活中的現(xiàn)實問題對學生的學習最有意義，面對熟悉的、真實的問題情境，學生會全身心地投入到探索中。,1、問題具有導向性。問題要有明確的目的，要使學生的思維趨向于某一確定的方向，有利于解決當前要研究和解決的問題；2、問題的難易要集中。問題不易太難或者太易，難易之間應有一定的坡度；3、問題要有啟發(fā)性。許多教師嘗嘗把啟發(fā)式教學誤認為提問式，認為問題提得越多越好。實際上，問題不在于多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關鍵性問題，是否能夠觸及問題的本質，并引導學生積極思考，這才是關鍵；4、問題應具有新穎性。問題的設計要新穎、生動，這樣才能引起學生的注意，激起學生探究的興趣。,（二）學生進行自主探索,探索的過程既有假設、類比、化歸和推理，又是失誤、頓悟的過程，是主體的能動性的表現(xiàn)，是思維的實驗。教師應當注重對學生的啟發(fā)誘導。教師及時檢查學生獲取資料的手段、方法是否恰當，詢問學生思維上的問題。教師可以要求學生對問題進行假設、分析和解釋，并質疑學生的思維過程，尋問學生知識、概念的內涵，要求學生對他們的思維和邏輯性進行檢查和反思。,（三）師生合作學習,通過呈現(xiàn)不同的觀點、思路和做法，導致各方面的差異性沖突和不平衡，不僅可以激發(fā)學生探求真理的欲望和動力，充分調動學生的學習的積極性，而且能啟迪學生的思維產(chǎn)生創(chuàng)造性的火花；學生在共享集體思維成果的基礎上，進一步補充、修正、深化自己的理解，形成對新