熱力統(tǒng)計學第一章答案

第一章熱力學的基本規(guī)律1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 證明任何一種具有兩個獨立參量的物質，其物態(tài)方程可由實驗測得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：如果，試求物態(tài)方程。解：以為自變量，物質的物態(tài)方程為其全微分為 （1）全式除以，有根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫為 （2）上式是以為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有 （3）若，式（3）可表為 （4）選擇圖示的積分路線，從積分到，再積分到（），相應地體積由最終變到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所給求得的物態(tài)方程。 確定常量C需要進一步的實驗數(shù)據(jù)。1.3 在和1下，測得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為可近似看作常量，今使銅塊加熱至。問：（a）壓強要增加多少才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強增加100，銅塊的體積改變多少？解：（a）根據(jù)1.2題式（2），有 （1）上式給出，在鄰近的兩個平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差，溫度差和壓強差之間的關系。如果系統(tǒng)的體積不變，與的關系為 （2）在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得 （3）將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經準靜態(tài)等容過程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強差和溫度差滿足式（3）。 但是應當強調，只要初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強差和溫度差就滿足式（3）。 這是因為，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達該狀態(tài)的歷史無關。 本題討論的銅塊加熱的實際過程一般不會是準靜態(tài)過程。 在加熱過程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強要增強（b）1.2題式（4）可改寫為 （4）將所給數(shù)據(jù)代入，有因此，將銅塊由加熱至，壓強由增加，銅塊體積將增加原體積的倍。 1.4 簡單固體和液體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)數(shù)值都很小，在一定溫度范圍內可以把和看作常量. 試證明簡單固體和液體的物態(tài)方程可近似為 解: 以為狀態(tài)參量，物質的物態(tài)方程為根據(jù)習題1.2式（2），有 （1）將上式沿習題1.2圖所示的路線求線積分，在和可以看作常量的情形下，有 （2）或 （3）考慮到和的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準確到和的線性項，有 （4）如果取，即有 （5）1.5 描述金屬絲的幾何參量是長度，力學參量是張力J，物態(tài)方程是實驗通常在1下進行，其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為等溫楊氏模量定義為其中是金屬絲的截面積，一般來說，和是T的函數(shù)，對J僅有微弱的依賴關系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設金屬絲兩端固定。試證明，當溫度由降至時，其張力的增加為解：由物態(tài)方程 （1）知偏導數(shù)間存在以下關系： （2）所以，有（3） 積分得 （4）與1.3題類似，上述結果不限于保持金屬絲長度不變的準靜態(tài)冷卻過程，只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差就滿足式（4），與經歷的過程無關。1.6一理想彈性線的物態(tài)方程為其中是長度，是張力J為零時的L值，它只是溫度T的函數(shù)，b是常量. 試證明：（a）等溫揚氏模量為在張力為零時，其中A是彈性線的截面面積。（b）線脹系數(shù)為其中（c）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設，試計算當分別為和時的值，并畫出對的曲線.解:（a）根據(jù)題設，理想彈性物質的物態(tài)方程為 （1）由此可得等溫楊氏模量為（2） 張力為零時，（b）線脹系數(shù)的定義為由鏈式關系知 （3）而所以（4） （c）根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，對的曲線分別如圖1-2（a），（b），（c）所示。1.7 抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當壓強達到外界壓強時將活門關上，試證明：小匣內的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的內能與原來在大氣中的內能之差為，其中是它原來在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內能與其原來在大氣中的內能由式（1.5.3） （1）確定。由于過程進行得很迅速，過程中系統(tǒng)與外界沒有熱量交換， 過程中外界對系統(tǒng)所做的功可以分為和兩部分來考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由變?yōu)榱恪Ｓ捎谛∠缓苄?，在將氣體壓入小匣的過程中大氣壓強可以認為沒有變化，即過程是等壓的（但不是準靜態(tài)的）。過程中大氣對系統(tǒng)所做的功為另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻力，與外界也就沒有功交換，則因此式（1）可表為 （2）如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11）和（1.7.10），有 （3） （4）式中是系統(tǒng)所含物質的量。代入式（2）即有 （5）活門是在系統(tǒng)的壓強達到時關上的，所以氣體在小匣內的壓強也可看作，其物態(tài)方程為 （6）與式（3）比較，知 （7）1.8 滿足的過程稱為多方過程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量為解：根據(jù)式（1.6.1），多方過程中的熱容量 （1）對于理想氣體，內能U只是溫度T的函數(shù)，所以 （2）將多方過程的過程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9 試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量如果是常數(shù)，該過程一定是多方過程，多方指數(shù)。假設氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學第一定律，有 （1）對于準靜態(tài)過程有對理想氣體有氣體在過程中吸收的熱量為因此式（1）可表為 （2）用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意可得 （3）將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有 （4）式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有 （5）令，可將式（5）表為 （6）如果和都是常量，將上式積分即得（常量）。 （7）式（7）表明，過程是多方過程。1.10 聲波在氣體中的傳播速度為假設氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質量的內能和焓可由聲速及給出：其中為常量。解：根據(jù)式（1.8.9），聲速的平方為 （1）其中v是單位質量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為式中是氣體的質量，是氣體的摩爾質量。 對于單位質量的氣體，有 （2）代入式（1）得 （3）以表示理想氣體的比內能和比焓（單位質量的內能和焓）。 由式（1.7.10）（1.7.12）知 （4）將式（3）代入，即有 （5）式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測定氣體中的聲速和即可確定氣體的比內能和比焓。1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時膨脹，下降時收縮，空氣的導熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認為是絕熱過程，試計算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數(shù)值結果。解：取軸沿豎直方向（向上）。以和分別表示在豎直高度為和處的大氣壓強。 二者之關等于兩個高度之間由大氣重量產生的壓強，即 （1）式中是高度為處的大氣密度，是重力加速度。 將展開，有代入式（1），得 （2）式（2）給出由于重力的存在導致的大氣壓強隨高度的變化率。以表大氣的平均摩爾質量。 在高度為處，大氣的摩爾體積為，則物態(tài)方程為 （3）是豎直高度為處的溫度。 代入式（2），消去得 （4）由式（1.8.6）易得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強的變化率為 （5）綜合式（4）和式（5），有（6）大氣的（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質量為，代入式（6）得 （7）式（7）表明，每升高1km，溫度降低10K。 這結果是粗略的。由于各種沒有考慮的因素，實際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。1.12 假設理想氣體的是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中的關系，該關系式中要用到一個函數(shù)，其表達式為解：根據(jù)式（1.8.1），理想氣體在準靜態(tài)絕熱過程中滿足 （1）用物態(tài)方程除上式，第一項用除，第二項用除，可得 （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可將式（2）改定為 （3）將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式（6）給出當是溫度的函數(shù)時，理想氣體在準靜態(tài)絕熱過程中T和V的關系。1.13 利用上題的結果證明：當為溫度的函數(shù)時，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為解：在是溫度的函數(shù)的情形下，1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有 （1） （2） （3）根據(jù)1.13題式（6），對于1.9中的準靜態(tài)絕熱過程（二）和（四），有 （4） （5）從這兩個方程消去和，得 （6）故 （7）所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為 （8）1.14試根據(jù)熱力學第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設在圖中兩條絕熱線交于點，如圖所示。設想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點和點（因為等溫線的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過程中，系統(tǒng)在等溫過程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過程中對外做功，其數(shù)值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據(jù)熱力學第一定律，有。這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉變?yōu)楣α?，這違背了熱力學第二定律的開爾文說法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。1.15 熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量，在熱機從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機的效率不超過解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（1.13.4），有 （1）式中是熱機從溫度為的熱源吸取的熱量（吸熱為正，放熱為負）。 將熱量重新定義，可將式（1）改寫為 （2）式中是熱機從熱源吸取的熱量，是熱機在熱源放出的熱量，恒正。 將式（2）改寫為 （3）假設熱機從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有故由式（3）得 （4）定義為熱機在過程中吸取的總熱量，為熱機放出的總熱量，則式（4）可表為 （5）或 （6）根據(jù)熱力學第一定律，熱機在循環(huán)過程中所做的功為熱機的效率為 （7）1.16 理想氣體分別經等壓過程和等容過程，溫度由升至。 假設是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解：根據(jù)式（1.15.8），理想氣體的熵函數(shù)可表達為 （1）在等壓過程中溫度由升到時，熵增加值為 （2）根據(jù)式（1.15.8），理想氣體的熵函數(shù)也可表達為 （3）在等容過程中溫度由升到時，熵增加值為 （4）所以 （5）1.17 溫度為的1kg水與溫度為的恒溫熱源接觸后，水溫達到。試分別求水和熱源的熵變以及整個系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應如何使水溫從升至？已知水的比熱容為解：的水與溫度為的恒溫熱源接觸后水溫升為，這一過程是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統(tǒng)的熵變，可以設想一個可逆過程，它使水和熱源分別產生原來不可逆過程中的同樣變化，通過設想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為求水的熵變，設想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可逆過程中,水的熵變?yōu)?（1）水從升溫至所吸收的總熱量為為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)?（2）由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來的不可逆過程中熱源的熵變。則整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?） 為使水溫從升至而參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變仍由式（1）給出。這一系列熱源的熵變之和為 （4）參與過程的整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)?（5）1.18 10A的電流通過一個的電阻器，歷時1s。（a）若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。（b）若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為，電阻器的質量為10g，比熱容為 問電阻器的熵增加值為多少？解：（a）以為電阻器的狀態(tài)參量。設想過程是在大氣壓下進行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。（b）如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產生的焦耳熱將全部被電阻器吸收而使其溫度由升為，所以有故電阻器的熵變可參照1.17例二的方法求出，為1.19 均勻桿的溫度一端為，另一端為，試計算達到均勻溫度后的熵增。解：以L表示桿的長度。桿的初始狀態(tài)是端溫度為，端溫度為，溫度梯度為（設）。 這是一個非平衡狀態(tài)。通過均勻桿中的熱傳導過程，最終達到具有均勻溫度的平衡狀態(tài)。為求這一過程的熵變，我們將桿分為長度為的許多小段，如圖所示。位于到的小段，初溫為 （1）這小段由初溫T變到終溫后的熵增加值為（2）其中是均勻桿單位長度的定壓熱容量。根據(jù)熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為 （3）式中是桿的定壓熱容量。1.20 一物質固態(tài)的摩爾熱量為，液態(tài)的摩爾熱容量為. 假設和都可看作常量. 在某一壓強下，該物質的熔點為，相變潛熱為. 求在溫度為時，過冷液體與同溫度下固體的摩爾熵差. 假設過冷液體的摩爾熱容量亦為. 解: 我們用熵函數(shù)的表達式進行計算.以為狀態(tài)參量. 在討論固定壓強下過冷液體與固體的熵差時不必考慮壓強參量的變化.以a態(tài)表示溫度為的固態(tài)，b態(tài)表示在熔點的固態(tài). b, a兩態(tài)的摩爾熵差為（略去摩爾熵的下標不寫） （1）以c態(tài)表示在熔點的液相，c，b兩態(tài)的摩爾熵差為 （2）以d態(tài)表示溫度為的過冷液態(tài)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為 （3）熵是態(tài)函數(shù)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為 （4）1.21 物體的初溫，高于熱源的溫度，有一熱機在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解：以和分別表示物體、熱機和熱源在過程前后的熵變。由熵的相加性知，整個系統(tǒng)的熵變?yōu)橛捎谡麄€系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加原理要求 （1）以分別表示物體在開始和終結狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?（2）熱機經歷的是循環(huán)過程，經循環(huán)過程后熱機回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱?，?（3）以表示熱機從物體吸取的熱量，表示熱機在熱源放出的熱量，表示熱機對外所做的功。 根據(jù)熱力學第一定律，有所以熱源的熵變?yōu)?（4）將式（2）（4）代入式（1），即有 （5）上式取等號時，熱機輸出的功最大，故 （6）式（6）相應于所經歷的過程是可逆過程。1.22 有兩個相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為。今令一制冷機在這兩個物體間工作，使其中一個物體的溫度降低到為止。假設物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過程所需的最小功為解： 制冷機在具有相同的初始溫度的兩個物體之間工作，將熱量從物體2送到物體1,使物體2的溫度降至為止。以表示物體1的終態(tài)溫度，表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為 （1）物體2放出的熱量為 （2）經多次循環(huán)后，制冷機接受外界的功為 （3）由此可知，對于給定的和，愈低所需外界的功愈小。 用和分別表示過程終了后物體1，物體2和制冷機的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個系統(tǒng)的熵變?yōu)?（4）顯然因此熵增加原理要求 （5）或 （6）對于給定的和，最低的為代入（3）式即有 （7）式（7）相應于所經歷的整個過程是可逆過程。1.23 簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量。 如果以為獨立參量，可以以縱坐標表示溫度，橫坐標表示熵，構成圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)相對應，一條曲線與一個可逆過程相對應。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解： 可逆卡諾循環(huán)包含兩個可逆等溫過程和兩個可逆絕熱過程。 在圖上，等溫線是平行于T軸的直線。 可逆絕熱過程是等熵過程，因此在圖上絕熱線是平行于S軸的直線。 圖1-5在圖上畫出了可逆卡諾循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過程工作物質經等溫膨脹過程（溫度為）由狀態(tài)到達狀態(tài)。 由于工作物質在過程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為 （1）等于直線下方的面積。（二）絕熱膨脹過程工作物質由狀態(tài)經絕熱膨脹過程到達狀態(tài)。過程中工作物質內能減少并對外做功，其溫度由下降為，熵保持為不變。（三）等溫壓縮過程工作物質由狀態(tài)經等溫壓縮過程（溫度為）到達狀態(tài)。工作物質在過程中放出熱量，熵由變?yōu)椋懦龅臒崃繛?（2）等于直線下方的面積。（四）絕熱壓縮過程工作物質由狀態(tài)經絕熱壓縮過程回到狀態(tài)。溫度由升為，熵保持為不變。在循環(huán)過程中工作物質所做的功為 （3）等于矩形所包圍的面積?？赡婵ㄖZ熱機的效率為（4） 上面的討論顯示，應用圖計算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。實際上圖的應用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1.14.4） （5）系統(tǒng)在可逆過程中吸收的熱量由積分 （6）給出。如果工作物質經歷了如圖中的（可逆）循環(huán)過程，則在過程中工作物質吸收的熱量等于面積，在過程中工作物質放出的熱量等于面積，工作物質所做的功等于閉合曲線所包的面積。 由此可見（可逆）循環(huán)過程的熱功轉換效率可以直接從圖中的面積讀出。 在熱工計算中圖被廣泛使用。 補充題1 1mol理想氣體，在的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強由20準靜態(tài)地降到1，求氣體所作的功和所吸取的熱量。解：將氣體的膨脹過程近似看作準靜態(tài)過程。根據(jù)式（1.4.2），在準靜態(tài)等溫過程中氣體體積由膨脹到，外界對氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負值，將題給數(shù)據(jù)代入，得在等溫過程中理想氣體的內能不變，即根據(jù)熱力學第一定律（式（1.5.3），氣體在過程中吸收的熱量為補充題2 在下，壓強在0至1000之間，測得水的體積為如果保持溫度不變，將1mol的水從1加壓至1000，求外界所作的功。解：將題中給出的體積與壓強關系記為 （1）由此易得 （2）保持溫度不變，將1mol的水由1加壓至1000，外界所做的功為在上述計算中我們已將過程近擬看作準靜態(tài)過程。補充題3 承前1.6題，使彈性體在準靜態(tài)等溫過程中長度由壓縮為，試計算外界所作的功。解：在準靜態(tài)過程中彈性體長度有dL的改變時，外界所做的功是 （1）將物態(tài)方程代入上式，有 （2）在等溫過程中是常量，所以在準靜態(tài)等溫過程中將彈性體長度由壓縮為時，外界所做的功為（3）值得注意，不論將彈性體拉長還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補充題4 在和1下，空氣的密度為,