熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的答案解析第二章

第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.1眾所周知，當(dāng)體積保持不變時(shí)，氣體的壓力與其熱力學(xué)溫度成正比。證明了當(dāng)溫度保持不變時(shí)，氣體的熵隨體積增加而增加。解答：根據(jù)題目，氣體的壓力可以表示為(1)體積的函數(shù)在哪里？通過(guò)自由能的全差鄧普西關(guān)系(2)將式(1)代入，有(3)因此，有。這意味著當(dāng)溫度保持不變時(shí)，氣體的熵隨體積增加。2.2將物質(zhì)的狀態(tài)方程設(shè)置為以下形式：試著證明它的內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)。解答：根據(jù)問(wèn)題，物質(zhì)的狀態(tài)方程有以下形式：(1)確實(shí)有(2)然而，根據(jù)公式(2.2.7)，有(3)因此(4)也就是說(shuō)，如果一種物質(zhì)具有形式(1)的狀態(tài)方程，那么該物質(zhì)的內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)，只是溫度t的函數(shù).2.3驗(yàn)證：解答：焓的全差是(1)命令(2)內(nèi)能的全部差別是(3)命令(4)2.4已知，已確認(rèn)解決方案：對(duì)于復(fù)合函數(shù)(1)找到偏導(dǎo)數(shù)，有(2)如果有(3)方程(2)也可以由雅可比行列式證明：(2)2.5試圖證明均勻物體準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中熵隨體積的增減取決于等壓溫度隨體積的增減。解答：熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)描述等壓過(guò)程中熵隨體積的變化率，用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)描述等壓過(guò)程中溫度隨體積的變化率。為了找出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)于復(fù)合函數(shù)(1)找到偏導(dǎo)數(shù)，有(2)因?yàn)椋苑e極和消極取決于積極和消極。方程(2)也可以由雅可比行列式證明：(2)2.6試圖證明在相同的壓降下，準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過(guò)程中氣體的溫降大于節(jié)流過(guò)程中的溫降。解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過(guò)程和節(jié)流過(guò)程中的溫降分別用偏導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)來(lái)描述。熵函數(shù)的全微分是在可逆絕熱過(guò)程中，有(1)最后一步使用麥克斯韋關(guān)系式(2.2.4)和(2.2.8)。焓的全差是在節(jié)流過(guò)程中，有(2)最后一步使用等式(2.2.10)和(1.6.6)。從公式(2)中減去公式(1)得到(3)因此，在相同的壓降下，氣體絕熱膨脹過(guò)程的溫降大于節(jié)流過(guò)程。這兩種工藝都用于冷卻和液化氣體。由于絕熱膨脹過(guò)程中使用的膨脹機(jī)具有運(yùn)動(dòng)部件，運(yùn)動(dòng)部件的低溫潤(rùn)滑技術(shù)是一個(gè)非常困難的問(wèn)題。事實(shí)上，節(jié)流過(guò)程更常用。然而，當(dāng)節(jié)流過(guò)程用于降低溫度時(shí)，氣體的初始溫度必須低于轉(zhuǎn)化溫度。Kapitza (1934)將絕熱膨脹和節(jié)流過(guò)程結(jié)合起來(lái)，首先使用絕熱膨脹過(guò)程將氦氣溫度降低到轉(zhuǎn)化溫度以下，然后使用節(jié)流過(guò)程液化氦氣。2.7實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，氣體的壓力和體積V與內(nèi)能U的乘積只是溫度的函數(shù)，即根據(jù)熱力學(xué)理論，討論了這種氣體狀態(tài)方程的可能形式。解決方案：根據(jù)主題，氣體具有以下特征：(1)(2)根據(jù)公式(2.2.7)和公式(2)，有(3)并且可以通過(guò)式(1)獲得(4)將等式(4)代入等式(3)，有或者(5)積分或者(6)其中c是常數(shù)。因此，如果氣體具有方程(1)和(2)中表示的特性，根據(jù)熱力學(xué)理論，其狀態(tài)方程必須具有方程(6)的形式。需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)確定常數(shù)c。2.8證明并由此衍生根據(jù)上述兩個(gè)公式，理想氣體的定容熱容和定壓熱容只是溫度t的函數(shù)。解決方案：給出公式(2.2.5)(1)以t和v為狀態(tài)參數(shù)，上述公式對(duì)v的偏導(dǎo)數(shù)如下(2)第二步，交換偏導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)階，第三步，應(yīng)用麥克斯韋關(guān)系式(2.2.3)眾所周知，當(dāng)v是常數(shù)時(shí)，它是t的線性函數(shù)，即因此這意味著理想氣體的恒定體積熱容量只是溫度t的函數(shù)。在恒定溫度下積分方程(2)得到(3)方程(3)表明，只要測(cè)量系統(tǒng)的定容熱容，任何體積的定容熱容都可以根據(jù)狀態(tài)方程計(jì)算。類似地，給出等式(2.2.8)(4)考慮狀態(tài)參數(shù)，然后找到上面公式的偏導(dǎo)數(shù)。有(5)第二步，改變求偏導(dǎo)數(shù)的順序，第三步，應(yīng)用麥克斯韋關(guān)系式(2.2.4)眾所周知，當(dāng)它是常數(shù)時(shí)，它是一個(gè)線性函數(shù)，即因此這意味著理想氣體的恒壓熱容只是溫度t的函數(shù)。在恒定溫度下積分方程(5)得到方程(6)表明，只要測(cè)量系統(tǒng)在壓力下的恒壓熱容，就可以根據(jù)狀態(tài)方程計(jì)算任何壓力下的恒壓熱容。2.9證明了梵高氣體的定容熱容只是溫度T的函數(shù)，與比容無(wú)關(guān)。解決方案：根據(jù)練習(xí)2.8 (2)(1)范方程(方程(1.3.12)可表示為(2)因?yàn)楫?dāng)v不變時(shí)，范氏方程的p是t的線性函數(shù)，所以范氏氣體的恒定體積熱容量只是t的函數(shù)，與比容無(wú)關(guān)。不僅如此，根據(jù)問(wèn)題2.8 (3)(3)我們知道，范氏氣體往往是一種理想氣體。讓上面的公式，其中是理想氣體的熱容量。因此，fann氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的。順便說(shuō)一下，當(dāng)壓力恒定時(shí)，范德瓦爾斯方程的體積與溫度沒(méi)有線性關(guān)系。根據(jù)2.8的等式(5)(2)這意味著風(fēng)扇氣體的恒壓熱容量是一個(gè)函數(shù)。2.10證明理想氣體的摩爾自由能可以表示如下解答：方程(2.4.13)和(2.4.14)給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數(shù)作為其自然變量的函數(shù)的積分表達(dá)式。本主題要求理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量的函數(shù)的積分表達(dá)式。根據(jù)自由能的定義(方程式(1.18.3)，摩爾自由能為(1)其中總和是摩爾內(nèi)能和摩爾熵。根據(jù)方程(1.7.4)和(1.15.2)，理想氣體的摩爾內(nèi)能和摩爾熵為(2)(3)因此(4)使用部分積分公式制造等式(4)右邊的前兩項(xiàng)可以合并，等式(4)可以重寫(xiě)為(5)2.11找到風(fēng)扇氣體的特征函數(shù)，并導(dǎo)出其他熱力學(xué)函數(shù)。解決方法：考慮1毫升梵高的氣體。根據(jù)自由能全微分表達(dá)式(2.1.3)，摩爾自由能全微分為(1)因此.(2)積分(3)由于方程(2)的左邊是偏導(dǎo)數(shù)，它的積分可以包含溫度的任何函數(shù)。當(dāng)fann氣體趨于理想氣體時(shí)，我們用極限條件來(lái)確定函數(shù)。根據(jù)練習(xí)2.11的等式(4 ),理想氣體的摩爾自由能是(4)通過(guò)比較等式(3)和等式(4)的時(shí)限，我們知道(5)范氏氣體的摩爾自由能是(6)等式(6)是特征函數(shù)范氏氣體的摩爾熵是(7)摩爾內(nèi)能是(8)2.12彈簧在恒定溫度下的回復(fù)力與其伸長(zhǎng)成比例，即比例系數(shù)是溫度的函數(shù)。忽略彈簧的熱膨脹，試圖證明彈簧的自由能、熵和內(nèi)能的表達(dá)式分別為解決方法：在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中，施加在彈簧上的外力等于彈簧的回復(fù)力，方向相反。當(dāng)彈簧長(zhǎng)度改變時(shí)，外力做功為(1)根據(jù)方程(1.14.7)，彈簧的基本熱力學(xué)方程為(2)彈簧的自由能定義為它的全差分是當(dāng)胡克定律被取代時(shí)，有(3)因此在固定溫度下，對(duì)上述公式進(jìn)行積分，得到(4)當(dāng)溫度為，伸長(zhǎng)為零時(shí)，彈簧的自由能是多少？彈簧的熵是(5)彈簧的內(nèi)能是(6)在力學(xué)中，彈簧的勢(shì)能通常記錄為它不被認(rèn)為是溫度的函數(shù)。根據(jù)熱力學(xué)，它是外界在等溫過(guò)程中所做的功，是自由能。2.13 X射線衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，橡膠帶在未張緊時(shí)具有無(wú)定形結(jié)構(gòu)。當(dāng)在張力下拉伸時(shí)，它具有晶體結(jié)構(gòu)。這一事實(shí)表明橡皮筋有大分子鏈。(1)嘗試討論橡膠帶在等溫拉伸過(guò)程中，其熵是增加還是減少；(b)試圖證明其膨脹系數(shù)是負(fù)的。解決方案：(a)熵是系統(tǒng)無(wú)序程度的量度。橡膠帶在等溫拉伸過(guò)程后由非晶態(tài)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫B(tài)結(jié)構(gòu)，這表明該過(guò)程后無(wú)序度降低，即熵降低，因此存在(1)橡膠帶自由能的總差可以得到麥的關(guān)系(2)通過(guò)組合公式(1)和(2)，我們知道(3)從橡皮筋的狀態(tài)方程，我們知道偏導(dǎo)數(shù)之間有一種鏈?zhǔn)疥P(guān)系。也就是說(shuō)，(4)膠帶恒溫拉伸的解釋(5)綜合公式(3)-(5)因此，橡膠帶的膨脹系數(shù)是負(fù)的，即(6)2.14假設(shè)太陽(yáng)是黑色的，根據(jù)以下數(shù)據(jù)計(jì)算太陽(yáng)表面的溫度：每單位時(shí)間投射到地球大氣層外單位面積上的太陽(yáng)輻射能量是(這個(gè)值稱為太陽(yáng)常數(shù))，太陽(yáng)的半徑是，太陽(yáng)和地球之間的平均距離是。解答：代表太陽(yáng)的半徑。太陽(yáng)表面球體中心頂點(diǎn)的立體角所拉伸的面積是。假設(shè)太陽(yáng)是一個(gè)黑體，根據(jù)斯特凡-玻爾茲曼定律(公式(2.6.8)，單位時(shí)間內(nèi)以立體角輻射的太陽(yáng)輻射能量為(1)在單位時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)輻射能量在以太陽(yáng)為中心、太陽(yáng)與地球之間的平均距離為半徑的球面上以立體角輻射使兩個(gè)公式相等，得到(3)替換和的值以獲取2.15當(dāng)熱輻射的體積從等溫變?yōu)榈葴貢r(shí)，計(jì)算熱輻射吸收的熱量。解決方案：根據(jù)等式(1.14.3)，系統(tǒng)在可逆等溫過(guò)程中吸收的熱量為(1)等式(2.6.4)給出了熱輻射的熵函數(shù)表達(dá)式(2)因此，在可逆等溫過(guò)程中，當(dāng)它隨時(shí)間變化時(shí)，熱輻射量所吸收的熱量是(3)2.16嘗試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)，并計(jì)算其效率。解決方案：根據(jù)等式(2.6.1)和(2.6.3)，平衡輻射壓力可表示為(1)因此，平衡輻射的等溫過(guò)程也是一個(gè)等壓過(guò)程。方程(2.6.5)給出了可逆絕熱過(guò)程(等熵過(guò)程)中溫度T和平衡輻射體積V之間的關(guān)系(2)將方程(1)與方程(2)相結(jié)合，去掉溫度t，可以得到可逆絕熱過(guò)程中壓力與平衡輻射體積之間的關(guān)系(常數(shù))。(3)下圖是平衡輻射可逆卡諾循環(huán)的曲線圖，其中等溫線方程和絕熱線方程分別是方程(1)和方程(3)。下圖是相應(yīng)的圖表。在計(jì)算效率時(shí)應(yīng)用圖表更方便。在從等溫狀態(tài)(溫度為)膨脹到穩(wěn)態(tài)的過(guò)程中，平衡輻射吸收的熱量為(4)在從等溫狀態(tài)(溫度為)到壓縮狀態(tài)的壓縮過(guò)程中，平衡輻射釋放的熱量為(5)循環(huán)過(guò)程的效率是(6)2.17如圖所示，電介質(zhì)的介電常數(shù)與溫度有關(guān)。試著找出電路閉合時(shí)電介質(zhì)的熱容量和充電后電路斷開(kāi)時(shí)的熱容量之間的差異。解答：根據(jù)方程(1.4.5)，當(dāng)介質(zhì)的電位移發(fā)生變化時(shí)，外界所做的功為(1)其中e是電場(chǎng)強(qiáng)度和介質(zhì)體積。這個(gè)題目不考