數(shù)學(xué)物理方程 第一章典型方程和定解條件

.,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù),數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系,數(shù)理不分家,數(shù)學(xué)物理方程：,數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門分支學(xué)科中出現(xiàn)的一些偏微分方程(有時(shí)也包括積分方程、微分方程等)，它們反映了物理量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。例如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的研究對(duì)象。,用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象,特殊函數(shù),在求解某些類型的數(shù)理方程時(shí)，采用分離變量法所得到的方程的解是某種特殊函數(shù)，例如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德(Legendre)函數(shù)等。其中有些特殊函數(shù)我們?cè)凇拔⒎e分”課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)并且研究過其性質(zhì)。在本課程中，我們只討論它們?cè)跀?shù)理方程中的應(yīng)用問題。,.,課程的內(nèi)容：,三類方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù),分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法,波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)傳導(dǎo)、拉普拉斯方程,貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù),參考書目：,*數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼著，人民教育出版社*數(shù)學(xué)物理方法，邵惠民著，科學(xué)出版社*數(shù)學(xué)物理方程,戴嘉尊著，東南大學(xué)出版社,.,數(shù)學(xué)物理方程發(fā)展歷史簡介,偏微分方程誕生于18世紀(jì)，19、20世紀(jì)是其迅速發(fā)展時(shí)期：,17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后，人們開始把力學(xué)中的一些問題和規(guī)律歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。1747年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)朗貝爾將弦振動(dòng)問題歸結(jié)為如下形式的偏微分方程并探討了它的解法：,(弦振動(dòng)方程),(波動(dòng)方程),1752年歐拉在論文中首先出現(xiàn)位勢(shì)方程，后來因?yàn)槔绽?Laplace)的出色工作，稱為Laplace方程：,(Laplace方程),(位勢(shì)（Possion）方程),.,19世紀(jì)打開偏微分方程研究熱烈局面的第一人是傅立葉(Fourier)，當(dāng)時(shí)工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時(shí)間變化。Fourier對(duì)這種熱流動(dòng)問題頗感興趣，1807年向巴黎科學(xué)院提交用數(shù)學(xué)研究熱傳導(dǎo)的論文并創(chuàng)立了分離變量法：,(熱傳導(dǎo)方程),.,一、基本方程的建立,第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo),二、定解條件的推導(dǎo),三、定解問題的概念,.,一、基本方程的建立,例1、均勻弦的微小橫振動(dòng),假設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線方向拉緊，只受弦本身的張力和重力影響。如下圖所示，我們研究弦作微小橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,.,簡化假設(shè)：,(1)柔軟：弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向；細(xì)：與張力相比可略去重力,弦的截面直徑與長度相比可忽略，弦視為曲線均勻：質(zhì)量是均勻的，線密度為常數(shù)。,(2)橫振動(dòng)：振動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)。若弦的平衡位置為x軸，橫向是指弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)；微小：振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。,.,牛頓運(yùn)動(dòng)定律：,橫向：,縱向：,其中：,則,.,其中：,其中：,.,一維波動(dòng)方程,令：,-非齊次方程,自由項(xiàng),-齊次方程,忽略重力作用：,（弦振動(dòng)方程）,.,一維非齊次波動(dòng)方程弦的受迫振動(dòng),.,(1)首先確定所要研究的物理量,(2)根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用(抓住主要影響，忽略次要影響)，這種相互作用在一個(gè)短時(shí)間段里如何影響物理量,數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：,(3)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡化整理就得到數(shù)學(xué)物理方程。,.,例2、桿的縱振動(dòng),考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振動(dòng)，假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況（位移）完全相同。,牛頓運(yùn)動(dòng)定律：,.,.,例3、熱傳導(dǎo)方程,熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。,問題：在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體，研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。,簡化假設(shè)：,所要研究的物理量：,溫度,.,傅里葉實(shí)驗(yàn)定律：,在dt時(shí)間內(nèi)沿法線方向通過dS流入V的熱量為：,k0為熱傳導(dǎo)系數(shù)，與介質(zhì)材料有關(guān)。,從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為,高斯公式,.,流入的熱量：,流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化,溫度發(fā)生變化需要的熱量為,能量守恒定律,（齊次）熱傳導(dǎo)方程,.,非齊次熱傳導(dǎo)方程,.,.,三種典型的數(shù)學(xué)物理方程,.,同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。,初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。,邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。,二、定解條件的推導(dǎo),.,初始時(shí)刻的溫度分布：,B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時(shí)間變量無關(guān)，不提初始條件,A、弦振動(dòng)方程的初始條件,1、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài),初位移初速度,.,2、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,A、弦振動(dòng)方程的邊界條件,(1)固定端：振動(dòng)過程中端點(diǎn)(x=a)保持不動(dòng)，其邊界條件為：,或：,(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。,(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧支承,或,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,.,B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(以S表示某物體V的邊界),(1)邊界S上的溫度為已知函數(shù)f(x,y,z,t),(f是定義在邊界S上的函數(shù)),(2)絕熱狀態(tài)(即在S上的熱量流速為零)或流速已知,(3)熱交換狀態(tài),牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)物體單位表面積與周圍介質(zhì)交換的熱量，同物體表面溫度與周圍介質(zhì)溫度差成正比。,熱交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,.,邊界條件,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,.,三、定解問題的概念,1、定解問題,把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。,(1)初值問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。,.,.,.,2、定解問題的檢驗(yàn),解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：定解問題的解是否只有一個(gè)；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng)。,如果定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則稱問題是適定的。,3、偏微分方程的解,古典解：如果將某個(gè)函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)就是該偏微分方程的解。,形式解：未經(jīng)過驗(yàn)證的解為形式解。,.,4、偏微分方程一般分類,(1)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否線性，分為線性微分方程和非線性微分方程；,(2)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。,(3)線性微分方程按自由項(xiàng)是否為零，分為齊次方程和非齊次方程,思考,判斷下列方程的類型