2020年高考數學（藝術生百日沖刺）專題12 橢圓測試題

專題12橢圓測試題【高頻考點】本知識涉及橢圓的定義，標準方程以及簡單的幾何性質的應用，直線與橢圓的位置關系?！究记榉治觥勘倦A段是高考考查重點內容之一，涉及客觀題和解答題，客觀題主要考查橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質等，難度中等，在解答題中多以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關系 ，定值定點，以及最值問題，常常以探索性問題形式出現(xiàn)，難度較大?！局攸c推薦】基礎卷第11題，數學文化題，第22題考察與不等式的交匯，考察綜合解決問題的能力。一 選擇題1. 方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數m的取值范圍為（）A（1，+）B（，1C（0，1）D（1，0）【答案】C【解析】：方程表示焦點在x軸上的橢圓，可得m（0，1）故選：C2. 設P是橢圓=1上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為（）A2B2C2D4【答案】：C【解析】橢圓=1的焦點坐標在x軸，a=，P是橢圓=1上的動點，由橢圓的定義可知：則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為2a=2 故選：C3. 設F1、F2是橢圓的兩個焦點，點P為橢圓上的點，且|F1F2|=8，|PF1|+|PF2|=10，則橢圓的短軸長為（）A6B8C9D10【答案】：A【解析】設F1、F2是橢圓的兩個焦點，點P為橢圓上的點，且|F1F2|=8，可得c=4，|PF1|+|PF2|=10，可得a=5，則橢圓的短軸長為：2b=2=6故選：A4. （2020大連二模）設橢圓的左焦點為F，直線l：y=kx（k0）與橢圓C交于A，B兩點，則|AF|+|BF|的值是（）A2BC4D【答案】：C【解析】如圖，設F2是橢圓的右焦點，O點為AB的中點，丨OF丨=丨OF2丨，則四邊形AFBF2是平行四邊形，AF=BF2|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故選：C5若點F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，P為橢圓上的點，滿足F1PF2=90，則F1PF2的面積為（）A1B2CD4【答案】：A6. （2020齊齊哈爾二模）已知橢圓+=1（ab0）的離心率為，短軸長大于2，則該橢圓的長軸長的取值范圍是（） A（2，+）B（4，+）C（2，4）D（4，8）【答案】：B【解析】根據題意，橢圓+=1（ab0）的離心率為，即e=，則c=a，又由橢圓短軸長大于2，即2b2，則b1，則有a2c2=b21，即1，解可得a2，則該橢圓的長軸長2a4，即該橢圓的長軸長的范圍為（4，+）；故選：B7. （2020大連二模）設橢圓的左焦點為F，直線l：y=kx（k0）與橢圓C交于A，B兩點，則AFB周長的取值范圍是（）A（2，4）BC（6，8）D（8，12）【答案】：C【解析】橢圓的左焦點為F（，0），右焦點F2（，0），直線l：y=kx（k0）與橢圓C交于A，B兩點，連結BF2，則AF=BF2，AB=2OB，由一的定義可知：BF+BF2=2a=4，OB（1，2），則AFB周長的取值范圍是（6，8）故選：C 15. 設圓（x+1）2+y2=25的圓心為C，A（1，0）是圓內一定點，Q為圓周上任一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為【答案】：【解析】由圓的方程可知，圓心C（1，0），半徑等于5，設點M的坐標為（x，y ），AQ的垂直平分線交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半徑5，|MC|+|MA|=5|AC|依據橢圓的定義可得，點M的軌跡是以 A、C 為焦點的橢圓，且2a=5，c=1，b=，故橢圓方程為 +=1，即 +=1故答案為：16（2020西寧二模）已知橢圓C：=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該橢圓的左右焦點，點A（4，1），P是橢圓上的一個動點，當APF1的周長取最大值時，APF1的面積為【答案】：【解析】：如圖所示，由橢圓C=1可得a=5，右焦點F2（4，0）|F1F2|=8|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|+|PA|=10|PF2|+|PA|10+|AF2|APF1的周長取最大值時，三點P、A、F2共線，且點P在第四象限，此時F1F2AP，|PF2|=，APF1的面積S=|F1F2|PA|=故答案為：三.解答題17. 已知橢圓的離心率為，其中左焦點F(-2,0).（1） 求橢圓C的方程；（2） 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上，求m的值. 【解析】：（1） 由題意，得解得橢圓C的方程為.5分（2） 設點A、B的坐標分別為（x1,y1),(x2,y2)，線段AB的中點為M(x0,y0)，由消y得，3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,-2m2.8分.點M(x0,y0)在圓x2+y2=1上，.10分18. （2020廣陵區(qū)校級四模）已知橢圓C：（ab0）的左焦點為F，上頂點為A，直線AF與直線x+y3垂直，垂足為B，且點A是線段BF的中點（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N分別為橢圓C的左，右頂點，P是橢圓C上位于第一象限的一點，直線MP與直線x=4交于點Q，且=9，求點P的坐標【分析】（1）由直線AF與直線x+y3垂直，可得：=1，則直線AF的方程為：y=x+c與橢圓方程聯(lián)立可得B（，），于是c=0，解得c，即可得出橢圓方程（2）設P（x0，y0），則直線MP的方程為y=（x+2），可得Q.9=2（x0+2）+，由點P在橢圓上可得：=2，代入解出即可得出（2）設P（x0，y0），則直線MP的方程為y=（x+2），Q9=2（x0+2）+，7分由點P在橢圓上可得：=2，代入可得：9=2（x0+2）+，化為：+x02=0，解得x0=1或2（舍），P12分19. （2020江蘇一模）已知橢圓C：（ab0）經過點，點A是橢圓的下頂點（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點A且互相垂直的兩直線l1，l2與直線y=x分別相交于E，F(xiàn)兩點，已知OE=OF，求直線l1的斜率【分析】（1）根據題意，將兩點的坐標代入橢圓的方程有，解可得、的值，即可得橢圓的方程；（2）設直線l1：y=k1x1，與直線y=x聯(lián)立方程有，可得E的坐標，設直線l2：，同理可得F的坐標，又由OE=OF，所以，解可得k的值，即可得答案【解析】：（1）根據題意，橢圓C：（ab0）經過點，則有，解得，3分 所以橢圓C的標準方程為；5分（2）由題意知A（0，1），直線l1，l2的斜率存在且不為零，設直線l1：y=k1x1，與直線y=x聯(lián)立方程有，得，設直線l2：，同理，7分 因為OE=OF，所以，無實數解；，解得，綜上可得，直線l1的斜率為12分20 （2020遼寧模擬）已知M（）是橢圓C：（ab0）上的一點，F(xiàn)1F2是該橢圓的左右焦點，且|F1F2|=2（1）求橢圓C的方程；（2）設點A，B是橢圓C上與坐標原點O不共線的兩點，直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k3，且k1k2=k2試探究|OA|2+|OB|2是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由【分析】（1）根據橢圓的定義及橢圓的性質，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，求得k2=，即可求得|OA|2+|OB|2=5為定值【解析】：（1）由題意，F(xiàn)1（，0），F(xiàn)2（，0），根據橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，所以2a=+=4，所以a2=4，b2=a2c2=1橢圓C的方程；5分（2）設直線AB：y=kx+m，（km0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（1+4k2）（4m24）0，x1+x2=，x1x2=，因為k1k2=k2，所以=k2，即km（x1+x2）+m2=0（m0），解得k2=，8分|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=（x1+x2）22x1x2+2=5， 所以|OA|2+|OB|2=5為定值12分21. （2020南充模擬）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，點M（2，1）在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）直線l平行于OM，且與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍【分析】（1）由橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，點M（2，1）在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程（2）設l的方程為y=x+m，再與橢圓方程聯(lián)立，將AOB為鈍角，轉化為0，且m0，利用韋達定理，即可求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍【解析】：（1）橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，點M（2，1）在橢圓C上，解得a=2，b=，c=，3分橢圓C的方程為=15分 （2）由直線l平行于OM，得直線l的斜率k=kOM=，又l在y軸上的截距為m，l的方程為y=由，得x2+2mx+2m24=08分又直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，=（2m）24（2m24）0，于是2m2AOB為鈍角等價于0，且m0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則=x1x2+y1y2=，由韋達定理x1+x2=2m，x1x2=2m24，代入上式，化簡整理得m22，即，故所求范圍是（）（0，）12分22. （2020聊城一模）已知圓x2+y2=4經過橢圓C：的兩個焦點和兩個頂點，點A（0，4），M，N是橢圓C上的兩點，它們在y軸兩側，且MAN的平分線在y軸上，|AM|AN|（）求橢圓C的方程；（）證明：直線MN過定點【分析】（）根據題意，由圓的方程分析可得橢圓的焦點和頂點坐標，即可得c、b的值，由橢圓的幾何性質計算可得a的值，即可得橢圓的標準方程；（）設直線MN的方程為y=kx+m，與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m28=0設M（x1，y1），N（x2，y2），由根與系