偏導數(shù)與高階導數(shù).ppt

Chapter2(2),偏導數(shù)與高階偏導數(shù),目的要求:,一.理解多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念,二.熟練掌握求一階和二階偏導數(shù)的方法,重點：,一.一階、二階偏導數(shù)計算,三.熟練掌握偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用,二.偏導數(shù)的經(jīng)濟應用,與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)關于自變量的變,數(shù)學上，人們將這種變化率稱之為偏導數(shù)。,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),而對另一個自變量求變化率。,我們可按實際需要，把其中的一個自變量視為常數(shù),情況下，二元函數(shù)的自變量都是彼此無關的，,化率仍然是一個十分重要的概念。由于在通常的,所以，,繁,啦,！,煩,多元函數(shù)的偏導數(shù)是一元函數(shù)導數(shù)的推廣,其計算往往是借用一元函數(shù)的導數(shù)計算公式和方法,但實際計算往往較繁.在推廣中有一些東西將起質(zhì)的變化.我們通常介紹二元函數(shù)的情形,所得結果可以推廣到更高元的函數(shù)中,一般不會遇到原則性問題.,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),一、偏導數(shù)的定義及其計算,在西方經(jīng)濟學中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函,這里為常數(shù)，,當勞動力投入不變時,產(chǎn)量對資本投入的變化率為,當資本投入不變時，產(chǎn)量對勞動力投入的變化率,該問題說明有時需要求二元函數(shù)在某個變量不變的條件下，,Q表示產(chǎn)量.,別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，,分,數(shù)為,引例,對另一個變量的變化率.,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),（1）函數(shù)的偏改變量（偏增量）,及,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),（2）函數(shù)的全改變量（全增量）,或,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),2.偏導數(shù)概念,設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,則稱此極限值為z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的,記為,一元函數(shù)導數(shù),如果極限存在,函數(shù)有增量,相應,(1)定義,當y固定在y0,而x在x0處有增量x時,偏導數(shù).,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),即,類似地,函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數(shù)為,也可記為,變量x和y的偏導數(shù)均存在,則稱函數(shù),在點,可偏導.,2.偏導數(shù)概念,內(nèi)可偏導.,處均可偏導,與一元函數(shù)的情況類似,函數(shù)在區(qū)域上的偏導數(shù)構成一個偏導函數(shù),（2）二元函數(shù)的偏導函數(shù)（偏導數(shù)）,分別記作,函數(shù)在區(qū)域上的偏導數(shù).,一般仍稱為,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的多元函數(shù).,如函數(shù)在處,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),注意！,全導數(shù),第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),函數(shù)導數(shù)的定義進行的：,實質(zhì)上是,2.偏導數(shù)的計算,忘記了,請趕快復習一下.,如果一元函數(shù)的求導方法和公式,2.偏導數(shù)的計算,多元函數(shù)的偏導數(shù)的計算方法,沒有任何技術性的新東西.,求偏導數(shù)時,只要將n個自變量,中的某一個看成變量,自變量均視為常數(shù),的求導方法進行計算即可.,方法:,其余的n1個,然后按一元函數(shù),2.偏導數(shù)的計算,將y看成常數(shù)時,將x看成常數(shù)時,解,是對冪函數(shù)求導.,是對指數(shù)函數(shù)求導.,例1求函數(shù)的偏導數(shù).,2.偏導數(shù)的計算,例2求函數(shù)的偏導數(shù).,例2求函數(shù)的偏導數(shù).,解,2.偏導數(shù)的計算,例3求函數(shù)在點(1,3)處對x和y的偏導數(shù).,例3求函數(shù)在點(1,3)處對x和y的偏導數(shù).,解,將點(1,3)代入上式，得,可得,所以,在求定點處的導數(shù)時，,先代入固定變量取值，,然后再求導，可簡化求導計算。,2.偏導數(shù)的計算,或,例4設,求,解,所以,二元以上多元函數(shù)的偏導數(shù)可類似地定義和計算,例求函數(shù)的偏導數(shù).,對x求偏導數(shù)就是視y,z為常數(shù)，對x求導數(shù),同理,因為,解,2.偏導數(shù)的計算,例5,解,求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求,由偏導數(shù)定義可知：,故,2.偏導數(shù)的計算,小結,二、多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念與計算,一、多元函數(shù)的連續(xù)性,Chapter2(3)、2（4）,一、偏導數(shù)與高階偏導數(shù)二、全微分,P523.確定并畫出下列函數(shù)的定義域:,解,函數(shù)的定義域為,要使函數(shù)有意義須滿足,作業(yè)講評:,Solution.,所求定義域為,作業(yè)講評:,Solution.,P581.求下列極限,由夾逼準則,即,P59.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性,解,Chapter2(3)、2（4）,一、偏導數(shù)與高階偏導數(shù)二、全微分,復習,二、多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念與計算,一、多元函數(shù)的連續(xù)性,二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)處處連續(xù).,3.二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義,當y=y0時,曲面z=f(x,y)與平面y=y0的交線方程為,在點M0(x0,y0,z0)處,由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義知：,fx(x0,y0)幾何意義是,對x軸的切線斜率.,同理,二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形表示空間一張曲面.,曲線,即,fx(x0,y0),第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),4.偏導數(shù)與連續(xù)的關系,對于二元函數(shù)偏導數(shù)與連續(xù)的關系如何？,連續(xù),解,一元函數(shù)可導與連續(xù)的關系：,可導,由偏導數(shù)定義,例,第二節(jié)偏導數(shù)與高階偏導數(shù),所以，函數(shù)在(0,0)處對變量x，y的偏導數(shù)存在.,讓沿直線而趨于（0,0），,它將隨k的不同而具有不同的值，,結論：二元函數(shù)偏導數(shù)存在,但未必連續(xù).,則有,所以函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).,不存在.,因此極限,求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求,4.偏導數(shù)與連續(xù)的關系,例說明二元函數(shù)，在點(0,0)處是連續(xù)的,但在(0,0)點偏導數(shù)不存在.,解,所以，函數(shù)在點處(0,0)連續(xù).,又因為,極限不存在，,因為,所以偏導數(shù)不存在.,結論：二元函數(shù)連續(xù),但偏導數(shù)未必存在.,4.偏導數(shù)與連續(xù)的關系,偏導數(shù)存在連續(xù).,一元函數(shù)中在某點可導連續(xù)，,可見，多元函數(shù)的理論除了與一元函數(shù)的理論有許多類似之處，也是還有一些本質(zhì)的差別。,二、高階偏導數(shù),設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有偏導函數(shù)與,有下列四個二階偏導數(shù),按求導順序不同,偏導數(shù).,則稱其偏導數(shù)為二階,且其偏導數(shù)仍存在,一個多元函數(shù)的n1階偏導數(shù)的偏導數(shù),例1求的二階偏導數(shù).,解,高階偏導數(shù)的求導原則是逐階求導.,二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù).,同樣可定義三階、四階以至n階偏導數(shù).,n階偏導數(shù).,稱為原來函數(shù)的,1、先求一階偏導數(shù),2、再求二階偏導數(shù),稱為一階偏導數(shù),（低階偏導數(shù)）.,二、高階偏導數(shù),解,二、高階偏導數(shù),原函數(shù)圖形,偏導函數(shù)圖形,偏導函數(shù)圖形,二階混合偏導函數(shù)圖形,觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導函數(shù)圖象間的關系：,二、高階偏導數(shù),解,例3求的二階混合偏導數(shù).,此例中兩個二階混合偏導數(shù)相等.,如果函數(shù)z=f(x,y)在開區(qū)域D上二階混合偏導數(shù)連續(xù),在什么條件下兩個混合偏導數(shù)相等？,兩個混合偏導數(shù)也未必一定相等,數(shù)運算的次序不同，,但是由于求偏導,定理,則在該區(qū)域上任一點處必有,即：二階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導的次序無關,這給混合偏導數(shù)的計算帶來了方便.,二、高階偏導數(shù),問題：,混合偏導數(shù)都相等嗎？,解,問題：,混合偏導數(shù)都相等嗎？,顯然,Solution.,例5,二、高階偏導數(shù),Proof.,例6,二、高階偏導數(shù),證明,這是因為連續(xù)只保證當點(x,y)以任意方式趨于點(x0,y0)時,二元函數(shù)連續(xù)與偏導數(shù)之間關系：,(x0,y0)點時,變化率存在.,但不能保證點(x,y),函數(shù)f(x,y)趨于f(x0,y0).,