福建永泰第一中學高二數(shù)學期中

福建省永泰縣第一中學2019-2020學年高二數(shù)學上學期期中試題 完卷時間：120 分鐘 滿分：150 分第卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1. 已知命題，使得，則為（ ） A. ，總有 B. ，總有C. ,使得 D.，使得 2.已知中心在原點的等軸雙曲線，右頂點為，則雙曲線的焦距等于（ ）A B C D3不等式的一個必要不充分條件是（ ）A B C D4下列命題中正確的是()A.命題“若，則”的否命題為“若，則”； B.命題“若平面向量共線，則方向相同”的逆否命題為假命題；C.命題“若或，則”是真命題；D.命題“若，則中至少有一個大等于”的逆命題是真命題.5已知橢圓的中心在原點，長軸長為，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程是()A B或C D或6.如圖所示，在平行六面體中， ，是的中點，點是上的點， 且 .用表示向量的結果是（ ）第6題圖A B. C. D. 高二數(shù)學試卷 第 1 頁 共4頁 高二數(shù)學試卷 第 2 頁 共4頁7空間四邊形中若則（ ）A B C D8已知點為拋物線上的動點，點在軸上的射影為點，點的坐標為， 則的最小值是( ) A B C D 9. 如圖所示,在正方體中, 分別側棱的中點,為線段上一動點,記為異面直線與所成的角,則的集合是（ ）A B第9題圖C D10. 已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點相同，點 是兩曲線的一個交點，且垂直軸，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D11已知橢圓與雙曲線有公共焦點且兩條曲線在第一象限的交點為點，則的面積為（ ）A B C D12已知橢圓的內接的頂點為短軸的一個端點，右焦點，線段中點為，且,則橢圓離心率的取值范圍為（ ）A B C D第卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡相應位置）13命題“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為_. 14雙曲線的一條弦恰被點平分，則這條弦所在的直線方程是_. 15. 已知是過拋物線的焦點的直線與拋物線的交點，是坐標原點，且滿足，則的值為_. 16. 如圖所示，在直四棱柱中，底面為 菱形，且，為側棱的中點， 分別是線段和線段上的動點(含端點)，且滿足， 當運動時，下列結論中正確的序號是_.在內總存在與平面平行的線段；第16題圖平面平面；三棱錐的體積為定值；可能為直角三角形.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（本小題滿分10分）若命題實數(shù)滿足，命題實數(shù)滿足.（）當且為真命題時，求實數(shù)的取值范圍；（）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.18（本小題滿分12分）（）已知中心在原點的雙曲線的焦點坐標為，且漸近線方程為，求雙曲線的標準方程；（）在圓上任取一點,過點作軸的垂線段，為垂足，當點 在該圓上運動時，求線段的中點的軌跡方程.高二數(shù)學試卷 第 3 頁 共4頁 高二數(shù)學試卷 第 4 頁 共4頁19.（本小題滿分12分）如圖所示,已知正方形和矩形所在的平面互相 垂直，,，是線段的中點（）求證：平面；（）求二面角的大小.第19題圖20.（本小題滿分12分）已知拋物線的方程為，上一點到焦點的距離為.（）求拋物線的方程及點的坐標；（）過點的直線與拋物線交于點，與軸交于點，設 , ,求證: 是定值.21（本小題滿分12分）如圖所示，等腰梯形中, ， 為中點， 與交于點，將沿折起，使點到達點的位置（平面）（）證明：平面平面；（）若，試判斷線段上是否存在一點 (不含端點),使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值;若不存在，說明理由第21題圖22.（本小題滿分12分）已知橢圓 的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為.過橢圓上的動點作圓的兩條切線分別交軸于兩點（）求橢圓的方程；（）求線段長度的最大值，并求此時點的坐標參考答案一、選擇題（每小題5分，共60分）題號123456789101112答案BCABDDBBACCA二、填空題（每小題5分，共20分）13、 14、 15、 16、三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17. （本題滿分10分=5分+5分）解：（）由，得 1分當時，由 ， 得 2分為真命題，真且真 4分實數(shù)的取值范圍為 5分（）因為，由 得7分設是的必要不充分條件， 8分 9分又 10分實數(shù)的取值范圍為 .18. （本小題滿分12分=6分+6分）解：（）依題可知雙曲線的焦點在軸上，則設其方程為：，且 2分雙曲線的漸近線方程為即3分又，由5分得雙曲線方程為：6分（）設軌跡上任一點的坐標為，點的坐標為，則依題意可知點坐標為8分的中點為， 10分點 在圓上運動，11分經(jīng)檢驗所求方程符合題意,點的軌跡方程為（軌跡方程是不扣分）12分19(本小題滿分12分=4分+8分)（）證法一：設，連接，分別是的中點， 是矩形四邊形是平行四邊形.2分, 又, ,.4分證法二：正方形和矩形所在的平面互相垂直，且,，兩兩垂直建立如圖所示的空間直角坐標系1分設，連接，依題意得, , , , , ,點分別是線段的中點， 2分 .，且直線與不共線3分,又，,.4分（）解：正方形和矩形所在的平面互相垂直, 且 ,，兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系6分設，連接，依題意得, , , , , 7分設為平面的一個法向量 ,則,得令得 即 8分另,又且,是平面的一個法向量（求出平面的法向量亦可）9分= 11分設二面角的大小為(由圖可知為銳角)，故所求二面角的大小為 12分20（本小題滿分12分=5分+7分）解：（）依題意得拋物線的準線為，1分拋物線上一點到焦點的距離為，由拋物線的定義可得， ，2分拋物線的方程為，3分拋物線的方程，5分（只有一個扣1分）（）當直線的斜率不存在時不符合題意，故直線的斜率必存在且不為.6分直線過點,設直線的方程為，當時，點坐標為，7分設由得，整理得，9分，,，即同理可得11分即是定值. 12分21（本小題滿分12分=5分+7分）解：（）證明：連接,在等腰梯形ABCD中， 為中點，四邊形為菱形，AE，2分，即,且平面 平面，AE平面POB4分又AE平面ABCE， 平面POB平面ABCE5分（）由（）可知四邊形為菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理,OPOB，6分由（）可知，以O為原點，分別為x軸， y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，7分由題意得，各點坐標為，設 8分設平面的一個法向量為(x，y，z)則，即 取x0，y1，得，所以(0，1，) 9分設直線與平面所成角為，則，即化簡得：，解得 11分存在點為的中點時，使直線與平面所成角的正弦值為12分22.（本小題滿分12分）解：（I）橢圓的離心率為，1分當時，3分橢圓的方程是4分（II）解法一：設，由得，5分直線的方程:，化簡得 又圓心到直線的距離為1， ，6分，化簡得，同理有 7分 ，8分9分是橢圓上的點， ，10分 在上單調遞減，在內也是