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文檔簡介
3.2均值不等式(一)明目標、知重點1.理解均值定理的內容及證明.2.能熟練運用均值不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用均值定理證明簡單的不等式1重要不等式對于任意實數(shù)a,b,a2b22ab,當且僅當 時,等號成立2均值定理如果a,bR,那么 ,當且僅當 時,等號成立3算術平均值與幾何平均值對任意兩個正實數(shù)a,b,數(shù)叫做a,b的算術平均值,數(shù)叫做a,b的幾何平均值故均值定理可以表述為:兩個正數(shù)的算術平均值 它的幾何平均值4均值定理的常用推論(1)ab2(a,bR);(2)2(a,b同號);(3)當ab0時,2;當ab0,b0,用,分別代替a2b22ab中的a,b會得到怎樣的不等式?思考2如何證明不等式(a0,b0)?思考3對任意兩個正實數(shù)a,b,數(shù)叫做a,b的算術平均值,數(shù)叫做a,b的幾何平均值那么均值定理如何用它們表述?思考4如果把看作是正數(shù)a,b的等比中項,看作是正數(shù)a,b的等差中項,該定理如何敘述?思考5不等式a2b22ab與成立的條件相同嗎?如果不同各是什么?例1已知ab0,求證:2,并推導出式中等號成立的條件跟蹤訓練1已知a,b,c為不全相等的正數(shù),求證:abc.探究點三均值不等式的幾何解釋思考如圖,以長為ab的線段為直徑作圓O,在直徑AB上取點C,使ACa,CBb,過點C作垂直于直徑AB的弦DD.能否借助該幾何圖形解釋均值不等式的幾何意義?例2已知a,b,c都是正實數(shù),且abc1,求證:9.跟蹤訓練2已知a、b、c都是正實數(shù),求證:(ab)(bc)(ca)8abc.探究點四利用均值不等式求最值例3已知函數(shù)yx,x(2,),求此函數(shù)的最小值跟蹤訓練3已知函數(shù)yx,x(,0),求函數(shù)的最大值1已知a0,b0,則2的最小值是()A2 B2 C4 D52若0ab BbaCba Dba3設a、b是實數(shù),且ab3,則2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D84設ba0,且ab1,則此四個數(shù),2ab,a2b2,b中最大的是()Ab Ba2b2C2ab D.5設a0,b0,給出下列不等式:a21a;4;(ab)4;a296a.其中恒成立的是_(填序號)3.2均值不等式(一)【強化訓練】一、基礎過關1若a,b,c0且a(abc)bc42,則2abc的最小值是()A.1 B.1C22 D222若a,bR,且ab0,則下列不等式中,恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.23若x0,y0,且xy4,則下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.14設a0,b0,若是3a與3b的等比中項,則的最小值為()A8 B4 C1 D.5若a1,則a有最_(填“大”或“小”)值,為_6若不等式x2ax10對一切x(0,1恒成立,則a的取值范圍是_7設a、b、c都是正數(shù),求證:abc.二、能力提升8已知a,b(0,),則下列不等式中不成立的是()Aab2 B(ab)49設0a1210若對任
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