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3.2均值不等式(一)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解均值定理的內(nèi)容及證明.2.能熟練運(yùn)用均值不等式來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.能初步運(yùn)用均值定理證明簡(jiǎn)單的不等式1重要不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立2均值定理如果a,bR,那么 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立3算術(shù)平均值與幾何平均值對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,數(shù)叫做a,b的算術(shù)平均值,數(shù)叫做a,b的幾何平均值故均值定理可以表述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值 它的幾何平均值4均值定理的常用推論(1)ab2(a,bR);(2)2(a,b同號(hào));(3)當(dāng)ab0時(shí),2;當(dāng)ab0,b0,用,分別代替a2b22ab中的a,b會(huì)得到怎樣的不等式?思考2如何證明不等式(a0,b0)?思考3對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,數(shù)叫做a,b的算術(shù)平均值,數(shù)叫做a,b的幾何平均值那么均值定理如何用它們表述?思考4如果把看作是正數(shù)a,b的等比中項(xiàng),看作是正數(shù)a,b的等差中項(xiàng),該定理如何敘述?思考5不等式a2b22ab與成立的條件相同嗎?如果不同各是什么?例1已知ab0,求證:2,并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件跟蹤訓(xùn)練1已知a,b,c為不全相等的正數(shù),求證:abc.探究點(diǎn)三均值不等式的幾何解釋思考如圖,以長(zhǎng)為ab的線段為直徑作圓O,在直徑AB上取點(diǎn)C,使ACa,CBb,過(guò)點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD.能否借助該幾何圖形解釋均值不等式的幾何意義?例2已知a,b,c都是正實(shí)數(shù),且abc1,求證:9.跟蹤訓(xùn)練2已知a、b、c都是正實(shí)數(shù),求證:(ab)(bc)(ca)8abc.探究點(diǎn)四利用均值不等式求最值例3已知函數(shù)yx,x(2,),求此函數(shù)的最小值跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)yx,x(,0),求函數(shù)的最大值1已知a0,b0,則2的最小值是()A2 B2 C4 D52若0ab BbaCba Dba3設(shè)a、b是實(shí)數(shù),且ab3,則2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D84設(shè)ba0,且ab1,則此四個(gè)數(shù),2ab,a2b2,b中最大的是()Ab Ba2b2C2ab D.5設(shè)a0,b0,給出下列不等式:a21a;4;(ab)4;a296a.其中恒成立的是_(填序號(hào))3.2均值不等式(一)【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1若a,b,c0且a(abc)bc42,則2abc的最小值是()A.1 B.1C22 D222若a,bR,且ab0,則下列不等式中,恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.23若x0,y0,且xy4,則下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.14設(shè)a0,b0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為()A8 B4 C1 D.5若a1,則a有最_(填“大”或“小”)值,為_6若不等式x2ax10對(duì)一切x(0,1恒成立,則a的取值范圍是_7設(shè)a、b、c都是正數(shù),求證:abc.二、能力提升8已知a,b(0,),則下列不等式中不成立的是()Aab2 B(ab)49設(shè)0a1210若對(duì)任
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