福建高考數(shù)學(xué)秘籍18法 分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用 新課標(biāo) 人教

福建省高考數(shù)學(xué)秘籍18法 分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合 1.分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。 2.所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。 3.分類(lèi)原則：分類(lèi)對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論。 4.分類(lèi)方法：明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類(lèi)；逐類(lèi)進(jìn)行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。 5.含參數(shù)問(wèn)題的分類(lèi)討論是常見(jiàn)題型。 6.注意簡(jiǎn)化或避免分類(lèi)討論。二、例題分析例1.一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線(xiàn)方程為（ ） A. B. C. D. 分析：設(shè)該直線(xiàn)在x軸，y軸上的截距均為a, 當(dāng)a=0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)方程為； 當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，方程為。例2 分析： 因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時(shí)，是一解還是兩解？這一點(diǎn)需經(jīng)過(guò)討論才能確定，故解本題時(shí)要分類(lèi)討論。對(duì)角A進(jìn)行分類(lèi)。解： 這與三角形的內(nèi)角和為180相矛盾。 例3.已知圓x2+y2=4，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，4），且與圓相切的直線(xiàn)方程。 分析：容易想到設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線(xiàn)與圓相切的充要條件：“圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線(xiàn)方程，但要注意到：過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線(xiàn)是否也滿(mǎn)足題意呢？因此本題對(duì)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)分兩種情形：（1）斜率存在時(shí)，（2）斜率不存在 解（略）：所求直線(xiàn)方程為3x-4y+10=0或x=2例4. 分析：解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，需要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)符號(hào)的不等式。而對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論。 解： 例5. 分析：解無(wú)理不等式，需要將兩邊平方后去根號(hào)，以化為有理不等式，而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時(shí)為正時(shí)，才不改變不等號(hào)方向，因此應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需求分類(lèi)討論，對(duì)x分類(lèi)。 解： 例6. 分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類(lèi)：（1）a0（2）a=0，對(duì)于（2），不等式易解；對(duì)于（1），又需再次分類(lèi)：a0或a0，令。 分析：對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算，需根據(jù)q是否為1分為兩種情形： 故還需對(duì)q再次分類(lèi)討論。 解： 例8. 分析： 解：（1）當(dāng)k=4時(shí)，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示直線(xiàn)； （2）當(dāng)k=8時(shí)，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線(xiàn)； （i）當(dāng)k4時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)；（ii）當(dāng)4k6時(shí)，方程表示橢圓； （iii）當(dāng)k=6時(shí)，方程表示圓；（iv）當(dāng)6k8時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)。例9. 某車(chē)間有10名工人，其中4人僅會(huì)車(chē)工，3人僅會(huì)鉗工，另外三人車(chē)工鉗工都會(huì)，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車(chē)工，鉗工各3人，問(wèn)有多少種選派方案？ 分析：如果先考慮鉗工，因有6人會(huì)鉗工，故有C63種選法，但此時(shí)不清楚選出的鉗工中有幾個(gè)是車(chē)鉗工都會(huì)的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會(huì)車(chē)工，因此在選車(chē)工時(shí)，就無(wú)法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車(chē)工也會(huì)遇到同樣的問(wèn)題。因此需對(duì)全能工人進(jìn)行分類(lèi)：（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。 解： 三、總結(jié)提煉分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對(duì)于何時(shí)需要分類(lèi)討論，則要視具體問(wèn)題而定，并無(wú)死的規(guī)定。但可以在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如果對(duì)于某個(gè)研究對(duì)象，若不對(duì)其分類(lèi)就不能說(shuō)清楚，則應(yīng)分類(lèi)討論，另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對(duì)于一般情形是正確的，但對(duì)某些特殊情形或說(shuō)較為隱蔽的“個(gè)別”情況未必成立。這也是造成分類(lèi)討論的原因，因此在解題時(shí)，應(yīng)注意挖掘這些個(gè)別情形進(jìn)行分類(lèi)討論。常見(jiàn)的“個(gè)別”情形略舉以下幾例：（1）“方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時(shí)忽略了了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程有解不能轉(zhuǎn)化為0；（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式中有個(gè)別情形：時(shí)，公式不再成立，而是Sn=na1。 設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，一般可設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，但有個(gè)別情形：當(dāng)直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)無(wú)斜率，應(yīng)另行考慮。(4)若直線(xiàn)在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線(xiàn)方程為，但有個(gè)別情形：a=0時(shí)，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。四、強(qiáng)化練習(xí)：見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。一. 選擇題： 1. 若的大小關(guān)系為（ ） A. B. C. D. ； 2. 若，且，則實(shí)數(shù)中的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)A=（ ） A. 1B. C. D. 4. 設(shè)的值為（ ） A. 1B. 0C. 7D. 0或7 5. 一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線(xiàn)方程為（ ） A. B. C. D. 6. 若（ ） A. 1B. C. D. 不能確定 7. 已知圓錐的母線(xiàn)為l，軸截面頂角為，則過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（ ） A. B. C. D. 以上均不對(duì) 8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 9. 若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為4和2的矩形，則圓柱的體積是_。 10. 若，則a的取值范圍為_(kāi)。 11. 與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程為_(kāi)。 12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有_種（用數(shù)字作答） 13. 不等式的解集為_(kāi)。三. 解答題： 14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為，另一雙曲線(xiàn)與此橢圓有公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)軸小8，兩曲線(xiàn)的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線(xiàn)的方程。 15. 設(shè)a0且，試求使方程有解的k的取值范圍。參考答案一. 選擇題 1. C2. D3. D4. D5. C6. A7. D8. B 提示：1. 欲比較p、q的大小，只需先比較的大小，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定的大小的a值的分界點(diǎn)為使的a值：a=1， 當(dāng)a1時(shí)，此時(shí) 當(dāng)即。 可見(jiàn)，不論a1還是0aq。 2. 若，即 若 可見(jiàn)當(dāng)都有，故選（D） 3. 若 若，則， 4. 由是1的7次方根，可得顯然，1是1的7次方根，故可能；若，則 故選（D） 5. 設(shè)該直線(xiàn)在x軸，y軸上的截距均為a, 當(dāng)a=0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)方程為； 當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，方程為 6. 由 于是總有，故選（A） 7. 當(dāng)時(shí)，最大截面就是軸截面，其面積為； 當(dāng)時(shí)，最大截面是兩母線(xiàn)夾角為的截面，其面積為 可見(jiàn)，最大截面積為，故選（D） 8. 當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意 綜上可知， 故選（B）二. 填空題 9. （提示：若長(zhǎng)為4的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，則；若長(zhǎng)為2的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，則） 10. （提示：對(duì)a分：兩種情況討論） 11. （提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形） 12. 4186種 （提示：對(duì)抽取5件產(chǎn)品中的次品分類(lèi)討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46=4186） 13. 若，則解集為 若，則解集為 （提示：設(shè) 解之得 對(duì)a分類(lèi)：時(shí)， ）三. 解答題 14. 解：（1）若橢圓與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為 ，依題意 （2）若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為 雙曲線(xiàn)方程為，依題意有 15.