2016上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略：梯形的存在性問題

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 梯形的存在性問題解題策略 2015 年 9 月 23 日星期三 專題攻略 解梯形的存在性問題一般分三步： 第一步分類，第二步畫圖，第三步計(jì)算 一般是已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在某個(gè)圖象上求第四個(gè)點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)圍成梯形 過三角形的每個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，這條直線與圖象的交點(diǎn)就是要探尋的梯形的頂點(diǎn) 因?yàn)樘菪斡幸唤M對(duì)邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便 例題解析 例 如圖 1邊形 直角梯形， B 90， 248 出發(fā)以 1cm/s 的速度向點(diǎn) 同時(shí)出發(fā)，以 3cm/s 的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形 為等腰梯形？ 圖 1解析】這 道題目中蘊(yùn)含了一個(gè)經(jīng)典的判斷題：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？回答是否定的 可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，區(qū)別在于另一組對(duì)邊是否平行 如圖 1果四邊形 么 所以 24 t 3t解得 t 6 如圖 1果四邊形 足分別為 M、 N，那么 以 t (28 3 t) 4解得 t 8 圖 1 圖 1 如圖 2 ， C 90， 3， 5點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 個(gè)單位長的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 每秒 1 個(gè)單位長的速度向點(diǎn) 點(diǎn) 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 隨著 P、 持垂直平分 設(shè) P、 Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t 0），在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形 能，求出 不能，請(qǐng)說明理由 圖 2解析】在四邊形 ， B 是確定的銳角， 直角如果要成為梯形，存在 Q/ 站在梯形的外部看梯形，問題就迎刃而解 如圖 2當(dāng) 90，此時(shí) 如圖 2 邊形 這樣就 轉(zhuǎn)化為解 知 3t ， t， 3 如圖 2 335AQ t時(shí)，解得 98t如圖 2335AP t時(shí)，解得 158t 解題時(shí)，只需要畫出圖 2圖 2樣的示意圖就好了 圖 2 圖 2 圖 2 圖 2 如圖，已知 A、 的兩個(gè)點(diǎn)， A、 和 1， 足為 C在雙曲線上是否存在點(diǎn) D，使得以 A、 B、 C、 果存在，求出點(diǎn) 果不存在，請(qǐng)說明理由 圖 3解析】 確定的，過 每個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，與雙曲線的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn) D已知 A(2,1)， B( 1, 2)， C( 1,0)設(shè) 2( , ) 如圖 3點(diǎn) 行線，不存在點(diǎn) D 如圖 3 以 F 解方程 2 2131，得 x 1 或 x 6此時(shí) 1(6, )3D 如圖 3 以 M 解方程 2 313，得 x 1 或 x 2此時(shí) D(1,2)或 ( 2, 1) 圖 3 圖 3 圖 3上面的解題過程我們可以感受到：畫圖可以快速找到目標(biāo)，計(jì)算可以準(zhǔn)確定位根據(jù)等角的正切值相等列方程比較簡便在圖 3，解方程還達(dá)到了“一石二鳥”的目的 例 如圖 4知拋物線233384y x x 與 、 D（ 的右側(cè)），與，設(shè)點(diǎn) ，在拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得以 A、 B、 C、 P 為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖 4 解析 】 過 行線，與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn) P 易知 A(4, 0)， D( 2, 0)， C(0, 3)， B(2, 3) 設(shè) , 3)84x x x 如圖 4 ，此時(shí) P( 2, 0) 如圖 4 足分別為 E、 F 根據(jù) F，得 233( 3 ) ( 3 ) 3842 解得 x 6此 時(shí) P(6, 6) 如圖 4設(shè) 么 F所以 233( 3 ) ( 3 ) 38424 解得 x 2此時(shí)點(diǎn) 重合，梯形不存在 圖 4 圖 4 圖 4 如圖 5兩個(gè)全等的 t 直角邊 知點(diǎn) A(1， 2)拋物線 y 、 A、 （ 1）求該拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）點(diǎn) 點(diǎn) P作 ，交 ，問是否存在這樣的點(diǎn) P，使得四邊形 等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn) 不存在，請(qǐng)說明理由 圖 5解析】在等腰梯形中，構(gòu)造輔助線常見的方法，就是把等腰梯形分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形如圖 5 5坐標(biāo)平面內(nèi)，如果梯形的兩底與坐標(biāo)軸平行，一般根據(jù) 圖 5， 圖 5， （ 1）拋物線的解析式為23722y x x （ 2）如圖 5果梯形 么 因此 直線 2設(shè)點(diǎn) ( , )2么237( , )22M x x x 解方程23 7 12 ( )2 2 2x x x ，得1 23x，2 2x x 2 的幾何意義是 重合，此時(shí)梯形不存在所以 21( , )33P 事實(shí)上，我們事先并不知道點(diǎn) M（或點(diǎn) P）的準(zhǔn)確位置在哪里？甚至不知道點(diǎn) M（或點(diǎn)P）在 右側(cè)還是左側(cè)？但這不影響我們解題，先假設(shè)，再列方程，然后根據(jù)方程的解驗(yàn)證位置 圖 5 圖 5 圖 5 如圖 6矩形 3， 4，動(dòng)點(diǎn) 出發(fā)沿 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) 出發(fā)沿對(duì)角線 運(yùn)動(dòng)過點(diǎn) E/ 點(diǎn) P、 Q 的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒 1 個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)