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第 1頁(共 15頁) 第 3 章 勾股定理 一、選擇題 1下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是( ) A 6, 12, 13 B 3, 4, 7 C 4, 8, 15, 17 2把直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的 2倍,則斜邊擴(kuò)大到原來的( ) A 2倍 B 4倍 C 3倍 D 5倍 3下列說法中,不正確的是( ) A三個(gè)角的度數(shù)之比為 1: 3: 4的三角形是直角三角形 B三個(gè)角的度數(shù)之比為 3: 4: 5的三角形是直角三角形 C三邊長度之比為 3: 4: 5的三角形是直角三角形 D三邊長度之比為 5: 12: 13的三角形是直角三角 形 4三角形的三邊長為 a, b, c,且滿足( a+b) 2=這個(gè)三角形是( ) A等邊三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D銳角三角形 5如圖在直角 0 , , , 足為 D,交邊 ,連接 周長為( ) A 16 B 15 C 14 D 13 6 連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為( ) A 10 3 4 5、填空題 7若 a2=b2+ 三角形且 =90 8在 知兩邊長為 6和 8,則第三邊長為 9已知 x、 |4|+( 16) 2=0,如果以 x、 么這個(gè)直角三角形的斜邊長為 第 2頁(共 15頁) 10在 三條邊的長度分別為 9, 12、 15,則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是 11如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形, 其中最大的正方形的邊長為7方形 A, B, 1014正方形 12如圖,將一根長 12厘米的筷子置于底面直徑為 6 厘米,高為 8厘米的圓柱形杯子中,則筷子露在杯子外面的長度至少為 厘米 三、解答題 13某直角三角形的周長為 30,且一條直角邊長為 5,求另一條直角邊的長 14如圖 1,是一個(gè)長方體盒子,長 ,寬 , 高 ( 1)一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn) ,求它所行走的最短路線的長 ( 2)這個(gè)長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒長度的為多少? 解:( 1)螞蟻從點(diǎn) 有三種可能,展開成平面圖形如圖 2所示,由勾股定理計(jì)算出 、 、 ,比較后得 即最短路線的長是 ( 2)如圖 3, 2+22+12=21 第 3頁(共 15頁) 15一個(gè)三角形三條邊的比為 5: 12: 13,且周長為 60它的面積 16如圖,直線 a、 b、 c,其中 a、 和 11求正方形 17如圖,在 C=25,點(diǎn) 4, ,試問 分 什么? 18某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造,測得兩直角邊長為 6m、 8m現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以 8擴(kuò)建后的等腰三角形 花圃的周長 第 4頁(共 15頁) 第 3 章 勾股定理 參考答案與試題解析 一、選擇題 1下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是( ) A 6, 12, 13 B 3, 4, 7 C 4, 8, 15, 17 【考點(diǎn)】勾股數(shù) 【分析】三個(gè)正整數(shù),其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方,則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù),據(jù)此判斷即可 【解答】解: A、 62+122 132,故錯(cuò)誤; B、 32+42 72,故錯(cuò)誤; C、 錯(cuò)誤; D、 82+152=172,故正確 故選 D 【點(diǎn)評】本題考查了勾股數(shù)的概念,一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系,從而作出判斷 2把直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的 2倍,則斜邊擴(kuò)大到原來的( ) A 2倍 B 4倍 C 3倍 D 5倍 【考點(diǎn)】勾股定理 【分析】根據(jù)勾股定理,可知:把直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的 2倍,則斜邊擴(kuò)大到原來的 2倍 【解答】解:設(shè)一直角三角形直角邊為 a、 b,斜邊為 c則 a2+b2= 另一直角三角形直角邊為 2a、 2b, 則根據(jù)勾股定理知斜邊為 =2c 即直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的 2倍,則斜邊擴(kuò)大到原來的 2倍 故選 A 【點(diǎn)評】熟練運(yùn)用勾股定理對式子進(jìn)行變形 第 5頁(共 15頁) 3下列說法中,不正確的是( ) A三個(gè)角的度數(shù)之比為 1: 3: 4的三角形是直角三角形 B三個(gè)角的度數(shù)之比為 3: 4: 5的三角形是直角三角形 C三邊長度之比為 3: 4: 5的三角形是直角三角形 D三邊長度之比為 5: 12: 13的三角形是直角三角形 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理;三角形內(nèi)角和定理 【分析 】根據(jù)直角三角形的判定方法,對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析,選擇正確答案 【解答】解: A、根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求得,各角分別為 , , 90 ,所以是直角三角形; B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求得,各角分別為 45 , 60 , 75 ,所以不是直角三角形; C、兩邊的平方和等于第三邊的平方,符合勾股定理的逆定理,所以能構(gòu)成直角三角形; D、兩邊的平方和等于第三邊的平,符合勾股定理的逆定理,所以能構(gòu)成直角三角形 故選 B 【點(diǎn)評】此題考查了利用三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理來判定直角三角形的方法解題的關(guān)鍵是對知識(shí)熟練運(yùn)用 4三角形的三邊長為 a, b, c,且滿足( a+b) 2=這個(gè)三角形是( ) A等邊三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D銳角三角形 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理 【分析】對等式進(jìn)行整理,再判斷其形狀 【解答】解:化簡( a+b) 2=, a2+b2= 故選: C 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的判定:可用勾股定理的逆定理判定 5如圖在直角 0 , , , 垂足為 D,交邊 ,連接 周長為( ) 第 6頁(共 15頁) A 16 B 15 C 14 D 13 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理 【分析】首先連接 在直角 0 , , ,利用勾股定理即可求得 由 B 邊的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),即可得 E,繼而可得 C 【解答】解:連接 在 0 , , , =10, E, C+E+C=C=10+6=16 故選 A 【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,注意垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用 6 連接這兩條直角邊中 點(diǎn)的線段長為( ) A 10 3 4 5考點(diǎn)】勾股定理;三角形中位線定理 【分析】利用勾股定理列式求出斜邊,再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答 【解答】解: 斜邊 = =10 連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為 10=5 故選 D 第 7頁(共 15頁) 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理,三角形的中位線平行于第三 邊并且等于第三邊的一半,熟記定理是解題的關(guān)鍵 二、填空題 7若 a2=b2+ 直角 三角形且 A =90 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理 【分析】直接根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可 【解答】解: a2=b2+ A=90 故答案為:直角, A 【點(diǎn)評】此題考查勾股定理逆定理,熟知如果三角形的三邊長 a, b, a2+b2=么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 8在 知 兩邊長為 6和 8,則第三邊長為 10或 2 【考點(diǎn)】勾股定理 【分析】由于斜邊沒有明確的規(guī)定,所以要分情況求解 【解答】解:當(dāng) 8是斜邊時(shí),第三邊是 = =2 ; 當(dāng) 8是直角邊時(shí),第三邊是 10 【點(diǎn)評】此類題一定要注意兩種情況,熟練運(yùn)用勾股定理 9已知 x、 |4|+( 16) 2=0,如果以 x、 么這個(gè)直角三角形的斜邊長為 2 【考點(diǎn)】勾股定理;非負(fù)數(shù)的性質(zhì):絕對值;非負(fù)數(shù)的性質(zhì):偶次方 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出 利用勾股定理列式計(jì)算即可得解 【解答】解:由題意得, 4=0, 16=0, 所以, , 6, 由勾股定理得,斜邊的平方 =x2+16=20, 所以,斜邊 = =2 故答案為: 2 第 8頁(共 15頁) 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理,非負(fù)數(shù)的性質(zhì),幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0時(shí),這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為 0列出方程是解題的關(guān)鍵 10在 三條邊的長度分別為 9, 12、 15,則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是 108 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理 【分析】首先利用勾股定理的逆定理,判定給三角形的形狀,求拼成的四邊形的面積就是這樣兩個(gè)三角形的面積和,由此列式解答即可 【解答】 解: 92+122=225, 152=225, 92+122=152, 這個(gè)三角形為直角三角形,且 9和 12 是兩條直角邊; 拼成的四邊形的面積 = 9 12 2=108 故答案為: 108 【點(diǎn)評】此題考查勾股定理逆定理,熟知如果三角形的三邊長 a, b, a2+b2=么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 11如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7方形 A, B, 1014正方形 17 【考點(diǎn)】勾股定理 【分析】根據(jù)勾股定理有 S 正方形 1+S 正方形 2=S 大正方形 =49, S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 2, S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 1,等量代換即可求正方形 【解答】解:根據(jù)勾股定理可知, S 正方形 1+S 正方形 2=S 大正方形 =49, S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 2, S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 1, 第 9頁(共 15頁) S 大正方形 =S 正方形 C+S 正方形 D+S 正方形 A+S 正方形 B=49 正方形 49 8 10 14=17( 故答案為: 17 【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理,注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系:以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個(gè)正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積 12如圖,將一根長 12厘米的筷子置于底面直徑為 6 厘米,高為 8厘米的圓柱形杯子中,則筷子露在杯子外面的長度至少為 2 厘米 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用 【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度,即 =10,故筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出 【解答】解:如圖所示,筷子,圓柱的高,圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形, 勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度,即 =10 筷子露在杯子外面的長度至少為 12 10=2 故答案為 2 【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵 第 10頁(共 15頁) 三、解答題 13某直角三角形的周長為 30,且一條直角邊長為 5,求另一條直角邊的長 【考點(diǎn)】勾股定理 【分析】設(shè)另一條直角邊的長為 x,根據(jù)三角形的周長的定義表示出斜邊,再利用勾股定理列出方程求解即可 【解答】解:設(shè)另一條直角邊的長為 x, 則斜邊為: 30 5 x=25 x, 由勾股定理得, 2=( 25 x) 2, 解得 x=12 答:另一條直角邊的長 12 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理,讀懂題目信息,利用勾股定理 列出方程是解題的關(guān)鍵 14如圖 1,是一個(gè)長方體盒子,長 ,寬 ,高 ( 1)一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn) ,求它所行走的最短路線的長 ( 2)這個(gè)長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒長度的為多少? 解:( 1)螞蟻從點(diǎn) 有三種可能,展開成平面圖形如圖 2所示,由勾股定理計(jì)算出 37 、 25 、 29 ,比較后得 25 即最短路線的長是 5 ( 2)如圖 3, 2+22+12=21 【考點(diǎn)】平面展開 【分析】( 1)螞蟻有三種爬法,就是把正視和俯視(或正視和側(cè)視,或俯視和側(cè)視)二個(gè)面展平成一個(gè)長方形,然后利用勾股定理求其對角線,比較大小即可求得最短的途徑; ( 2)根據(jù)勾股定理,知長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的平方等于長方體的長、寬、高的平方和 第 11頁(共 15頁) 【解答】解:( 1)螞蟻從點(diǎn) 有三種可能,展開成平面圖形如圖 2所示,由勾股定理計(jì)算出 4+2) 2+12=37、 42+( 1+2) 2=25、 22+( 4+1) 2=29,比較后得 5即最短路線的長是 5 ( 2)如圖 3, 2+22+12=21 故答案為 37, 25, 29, 5 【點(diǎn)評】本題考查了平面展開最短路徑問題及勾股定理的應(yīng)用 “ 化曲面為平面 ” 是解決 “ 怎樣爬行最近 ” 這類問題的關(guān)鍵注意:長方體中最長的對角線的平方等于長方體的長、寬、高的平方和 15( 2009秋 福鼎市校級月考)一個(gè)三角形三條邊的比為 5: 12: 13,且周長為 60它的 面積 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理;勾股定理 【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形,再根據(jù)周長求得直角三角形的兩條直角邊,從而求得其面積 【解答】解:設(shè)該三角形的三邊是 5k, 12k, 13k 因?yàn)椋?5k) 2+( 12k) 2=( 13k) 2, 所以根據(jù)勾股定理的逆定理,得該三角形是直角三角形 根據(jù)題意,得 5k+12k+13k=60, 解得 k=2, 則 5k=10, 12k=24, 則該直角三角形的面積是 120 故答案為: 120 第 12頁(共 15頁) 【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用,同時(shí)熟悉直角三 角形的面積公式 16如圖,直線 a、 b、 c,其中 a、 和 11求正方形 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;正方形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 0 , B, 0 ,求出 據(jù) 據(jù)全等得出 E, C,根據(jù)勾股定理得出即可 【解答】解: 根據(jù)正方形的性質(zhì)得: 0 , B, 0 , 0 , 0 , 在 E, C, 在 勾股定理得: +11=16, 即正方形 6 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出 目比較好 17如圖,在 C=25,點(diǎn)
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