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思想方法選講之二分類討論與含參數(shù)的一元二次不等式基礎(chǔ)知識(shí)預(yù)備:解下列一元二次不等式(1)x26x+80,即時(shí),若即,則此時(shí)不等式的解集為。若即,則此時(shí)不等式的解集為。注:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)且有可能為零時(shí),首先需要對(duì)二次項(xiàng)是否為零進(jìn)行討論。本題中,由于含參數(shù)的一元二次不等式的根的情況不確定,因此需要對(duì)其判別式進(jìn)行討論。二、對(duì)根的大小情況分類討論例3 解關(guān)于的不等式。解:將二次項(xiàng)系數(shù)化正可得,即方程的根為:。下面對(duì)方程根的大小進(jìn)行討論 當(dāng),即時(shí),各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時(shí),不等式的解集為 當(dāng),即時(shí),各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時(shí),不等式的解集為 當(dāng),即時(shí),各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時(shí),不等式的解集為 當(dāng),即時(shí),各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時(shí),不等式的解集為 當(dāng),即時(shí),各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時(shí),不等式的解集為注:本題雖然是一元三次不等式求解問(wèn)題,但是該一元三次不等式通過(guò)因式分解可以轉(zhuǎn)化成形如的形式,利用數(shù)軸,通過(guò)對(duì)三個(gè)根大小的分類討論,來(lái)進(jìn)行不等式求解。例4 解的不等式。解: 當(dāng)時(shí),原不等式可化簡(jiǎn)為,此時(shí)不等式的解集為 當(dāng)時(shí),原不等式可轉(zhuǎn)化為(1)當(dāng)時(shí),有若即,此時(shí)不等式的解集為。若即,此時(shí)不等式的解集為.若即,此時(shí)不等式的解集為。(2)當(dāng)時(shí),有,且,此時(shí)不等式的解集為。注:本題在對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上,由于本題的一元二次不等式可以進(jìn)行因式分解,因此需要對(duì)其根的大小進(jìn)行討論。特別注意在從化簡(jiǎn)到的過(guò)程中,由于不等式兩邊同時(shí)除了,因此需要對(duì)是否非零以及正負(fù)情況加以分類分析。例5解關(guān)于的不等式 分析:原不等式可化為,因?yàn)椴荒芤蚴椒纸猓砸簿筒恢篮瘮?shù)與軸是否有交點(diǎn),則需要對(duì)判別式進(jìn)行分類討論,又因?yàn)榈拈_口方向不定,還需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論,積于這兩個(gè)原因,參數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)有三個(gè)敏感點(diǎn),一是由得到兩個(gè)點(diǎn),另一個(gè)為,這樣參數(shù)在數(shù)軸上將被分成以下幾個(gè)區(qū)間:(-,-1)(-1,0)(0,1)(1,+),具體解法如下解:當(dāng)時(shí) ,函數(shù)開口向下且與軸沒(méi)有交點(diǎn)原不等式的解集為當(dāng)時(shí) ,函數(shù)開口向下且與軸有一個(gè)交點(diǎn)原不等式的解集為當(dāng)時(shí) ,函數(shù)開口向下且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)原不等式的解為當(dāng)時(shí) 原不等式化為 當(dāng)時(shí) ,函數(shù)開口向上且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)原不等式的解為。當(dāng)時(shí) ,函數(shù)開口向上,且與軸只有一個(gè)交點(diǎn)原不等式的解集為當(dāng)時(shí) ,函數(shù)開口向上且與軸沒(méi)有交點(diǎn)原不等式的解集為R綜上所述:當(dāng)時(shí) 原不等式的解集為當(dāng)時(shí) 原不等式的解集為當(dāng)時(shí) 原不等式的解集為當(dāng)時(shí) 原不等式化為 原不等式的解集為當(dāng)時(shí) 原不等式的解集為。當(dāng)時(shí) 原不等式的解集為當(dāng)時(shí) 原不等式的解集為R結(jié)論:由以上例子可以看出,對(duì)于參數(shù)沒(méi)有限定范圍的含參一元二次不等式其解法主要分兩種情況。一種是能夠進(jìn)行因式分解的,此類無(wú)需對(duì)進(jìn)行討論,只需依據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)及根的大小找出參數(shù)的敏感點(diǎn),依據(jù)其敏感點(diǎn)將參數(shù)在數(shù)軸上劃開,而后從左至右逐項(xiàng)討論。另一種情況是不能因式分解的不等式則需依據(jù)及二次項(xiàng)的系數(shù)找出參數(shù)的敏感點(diǎn),之后依據(jù)其敏感點(diǎn)從左至右逐項(xiàng)討論??偨Y(jié):利用分類討論的方法求解含參數(shù)一元二次不等式問(wèn)題時(shí),往往需要進(jìn)行一次以上的分類討論。一般情況下,若二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)的,先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論;然后看該一元二次不等式能否因式分解,如果不能的話,則根據(jù)
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