第三章-傳熱學(xué)數(shù)值計算方法.ppt

本章任務(wù)：前兩章已闡述了獲得物理現(xiàn)象的理論預(yù)測有一些明顯的好處，且一些有趣的現(xiàn)象是受一些微分方程支配的，這些方程已用通用方程歸納了，接下來的任務(wù)就是推導(dǎo)求解這個通用方程的方法即所謂的離散化方法。,第三章離散化方法,推導(dǎo)前的假設(shè)：設(shè)通用變量僅僅是一個變量的函數(shù)（一維問題）,3.1數(shù)值方法的本質(zhì),3.1-1任務(wù)1.什么是微分方程的數(shù)值解？它是由一組可以構(gòu)成因變量分布的數(shù)組成的集合，即用一組數(shù)字表示待定變量在定義域內(nèi)的分布。類似于在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，儀器的讀數(shù)構(gòu)成了所研究區(qū)域內(nèi)被測物理量的分布（有限個離散點(diǎn)的值的集合）。2.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理擬合關(guān)系式通常采用的方法是利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果，擬合出遵循的方程，然后利用方程即可計算出任意位置點(diǎn)上因變量的值。,eg.設(shè)隨x的變化遵循高次多項式的形式,利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并采用數(shù)值方法求得有限數(shù)量的多項式中的各項系數(shù)值，進(jìn)而得到相應(yīng)的與x遵循的方程式，由此即可求得任意點(diǎn)處的值了。,若最終的興趣是得到不同位置上的值，則此方法有些不便，因?yàn)楦鱾€系數(shù)a本身沒有什么特別的意義，但要求得還必須進(jìn)行代入過程。,3.數(shù)值方法及任務(wù),建立一個把一系列給定點(diǎn)上的值作為原始未知量的方程，實(shí)際上求解微分方程的多數(shù)方法均屬此類。該方法的任務(wù)是提供一組關(guān)于這些未知量的代數(shù)方程并規(guī)定求解這組方程的算法。,3.1-2離散化的概念,1.離散化方法及基本思想,把注意力集中在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的值，用離散的值取代包含在微分方程精確解中的連續(xù)信息，這樣就離散了的分布，這類數(shù)值方法叫離散化方法。,根據(jù)實(shí)際研究對象，把定義域分為若干個有限的區(qū)域，在定義域內(nèi)連續(xù)變化的待求變量場，由有限區(qū)域上的若干個點(diǎn)的待求變量值來表示，這就是離散化的基本思想。,2.離散化方程：所取網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上未知因變量值的代數(shù)方程，此方程由支配的微分方程推導(dǎo)而得。,在推導(dǎo)過程中，需對網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間如何變化作某種假設(shè)，變量在節(jié)點(diǎn)間的分布形式不同，推導(dǎo)離散化方程的方法也就不同；另外可以選擇在整個計算域內(nèi)滿足一個簡單表達(dá)式的分布；更為實(shí)際的方法還是采用分段分布，即將計算區(qū)域分布一定數(shù)量的子域或單元，每個子域可以有一個獨(dú)立的分布假設(shè)。,3.1-3離散化方程的結(jié)構(gòu),1.離散化方程的結(jié)構(gòu),一個離散化方程是連接一組網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處值的代數(shù)關(guān)系式，由支配的微分方程推導(dǎo)而得，并表示與該微分方程相同的物理信息。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)很多時，離散方程的解接近于相應(yīng)微分方程的精確解，相鄰點(diǎn)之間變化很小，有關(guān)分段分布的細(xì)節(jié)就不那么重要了。相應(yīng)于一個已知的微分方程，離散化方程的形式?jīng)Q不是唯一的，這起因于分布假設(shè)以及推導(dǎo)方法的不同。網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)非常多的極限條件下，所有可能類型的離散化方程將會給出相同的解。,2.離散化方法,常見的方法主要有：有限差分法和有限元法。,兩種方法的區(qū)別來自于選擇分布和推導(dǎo)離散化方程的方法不同。本書主要關(guān)注的方法具有有限差分的外形，但它采用了典型的有限元方法所具有的思想，把此方法叫有限差分法可能在于它堅持遵守習(xí)慣的有限差分法做法。,3.2推導(dǎo)離散化方程的方法,對于一個已知的微分方程，可以用許多方法推導(dǎo)出所要求的離散化方程。,3.2-1泰勒級數(shù)公式,1.定義：在有限差分法中，通過把控制方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達(dá)式來代替而形成離散方程。各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式可由泰勒級數(shù)展開而得，把這種建立離散方程的方法稱為泰勒級數(shù)展開法。,2.差分方程式的建立：,節(jié)點(diǎn)i兩側(cè)分別有i-2,i-1,i+1,i+2，各節(jié)點(diǎn)間距都為h,用泰勒級數(shù)展開有：,取左端及右端的前三項，并進(jìn)行相加或相減，便可得中心差分的近似式：,剩余項的最低階導(dǎo)數(shù)前系數(shù)的次數(shù),用同樣的方法可以得到略去截斷誤差O(h)的差分計算式：,為了提高精度，可以得到截斷誤差更高階的差分表達(dá)式。,3.幾點(diǎn)說明,.差分表達(dá)式分子項系數(shù)的代數(shù)和為零；.各階導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式的量綱必須與導(dǎo)數(shù)的量綱一致，因而，一階導(dǎo)數(shù)各個差分表達(dá)式的分母為x，二階為(x)2;.給出一個差分表達(dá)式時，必須指明是對哪個點(diǎn)建立的，同樣的節(jié)點(diǎn)數(shù)，不同的建格式的點(diǎn)，導(dǎo)致不同的截斷誤差，如,對i點(diǎn)只有一階截差，但對i+1點(diǎn)則是二階導(dǎo)數(shù)具有二階截差的表達(dá)式。,4.優(yōu)缺點(diǎn)：推導(dǎo)比較直截了當(dāng)，但其中各項的物理意義難以理解。,3.2-2用多項式擬合法建立導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式,導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式也可以通過多項式的擬合來獲得，相當(dāng)于對未知函數(shù)的局部變化型線采用多項式來逼近。,1.線性擬合：假設(shè)函數(shù)(x,)在節(jié)點(diǎn)(i,n)附近對x的變化關(guān)系近似為線性，則有：,于是有：,2.采用二次曲線擬合，可得到具有二階精度的空間導(dǎo)數(shù),于是有：,主要用來處理對流項的高階格式及邊界條件。,eg:如圖所示，已知區(qū)域內(nèi)部與邊界節(jié)點(diǎn)的溫度，物體的導(dǎo)熱系數(shù)=const。試用多項式擬合法確定穿過壁面的熱流密度。,解：設(shè)壁面附近溫度T按線性關(guān)系變化，則,如果取溫度分布為二次曲線,則有：,由上面三式可解得：,3.2-3控制容積公式,1.控制容積法的基本思想,把計算區(qū)域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)都由一個控制容積所包圍，對每一個控制容積積分微分方程，應(yīng)用表示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間變化的分段分布關(guān)系來計算所要求的積分，這樣就得到了包含一組網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處值的離散方程,2.控制容積法誘人的特征,所得結(jié)果將意味著任何一組的控制容積內(nèi)（也是整個容積）,諸如質(zhì)量、動量以及能量的積分守恒都可以精確地得到滿足。也就是說，不論網(wǎng)格劃分的疏密情況如何，它的解都能滿足控制容積的積分平衡。這個特點(diǎn)提供了在不失去物理上真實(shí)性的條件下，選擇控制容積尺寸有更大的自由度。,有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法,即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。有限差分法,只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；上述觀點(diǎn)，可使得對微分方程中不同的項采取不同的插值函數(shù)有完全的自由。,3.積分法實(shí)施的步驟,將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔內(nèi)對空間及時間積分；需要積分，須先設(shè)定待求變量在區(qū)域內(nèi)的變化規(guī)律，即假定變量的分布函數(shù)；將其分布代入控制方程，在控制容積上積分，并整理成關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知值的代數(shù)方程。,在控制容積積分前，須設(shè)定變量的分布規(guī)律，但得到離散方程后，節(jié)點(diǎn)間變量的分布規(guī)律就不再有什么意義了。因此對于不同變量可以采用不同的分布，對微分方程中的不同項可以采用不同的分布假設(shè)進(jìn)行積分。,3.3一個說明性的例子,一、方程的離散化（以一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例）:,一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的控制方程：,一維問題的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)群,給出網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)群，劃定控制容積,y、z方向?yàn)閱挝婚L度，控制容積體積為x。,在整個控制容積內(nèi)積分方程,選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的局部分布函數(shù),分布函數(shù)：通常有階梯式分布和分段線性分布兩種,階梯式分布,階梯式分布:一個節(jié)點(diǎn)處的值代表它周圍整個控制容積的值。它雖然簡單，但不能用來計算變量在控制容積界面處的梯度值。故一般只用于源項、物性參數(shù)和變量在時域上的分布。,P,E,W,x,分段線性分布,分段線性分布:變量在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)間呈線性分布，可以用來計算變量的梯度，有時也用于計算變量在時域上的分布。,離散化方程采用分段線性分布來計算積分,在整個控制容積內(nèi)的積分平均值。,上式可整理成如下形式,式中：,說明：,.方程的推廣：二維、三維的情況均適用；,.在推導(dǎo)公式時，采用了能夠估算導(dǎo)數(shù)的最簡單的分布假設(shè)，當(dāng)然選用其它形式的內(nèi)插函數(shù)也可以；.沒有必要對所有的量都采用同樣的分布函數(shù)；即沒有必要用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間線性變化的S來計算,也沒有必要由kP和kE之間線性變化的k計算ke；.對于一個確定的變量，沒有必要對方程中所有各項都采用同樣的分布函數(shù)假設(shè)。,二、指導(dǎo)原則,分布函數(shù)的自由性將會導(dǎo)致不同變型的離散方程的形式。事實(shí)上，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，所有這些不同形式的方程都會給出相同的解。附加要求：即使是采用很粗的網(wǎng)格，解也應(yīng)該滿足物理上真實(shí)的性狀和總的平衡。,.物理上的真實(shí)性：一個真實(shí)的變化應(yīng)當(dāng)具有與準(zhǔn)確變化相同的定向性傾向。如：無內(nèi)熱源的熱傳導(dǎo)問題，熱固體被繞流流體冷卻，可以用此真實(shí)性來檢驗(yàn)離散化方程的準(zhǔn)確性。,物理上真實(shí)與不真實(shí)的性狀,.總平衡的要求,對整個計算域應(yīng)該滿足積分守恒，要求q、qm及動量通量必須準(zhǔn)確地同相應(yīng)的源和匯建立平衡，這種平衡對任何數(shù)目的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)?shù)玫綕M足。,三、源項的處理,通常來講，源項是因變量本身的函數(shù)，構(gòu)成離散方程的過程中，需要知道這種函數(shù)關(guān)系。由于離散化方程需要用線性代數(shù)的技術(shù)來求解，所以，形式上只能考慮一種線性的函數(shù)關(guān)系，即,SP為TP的系數(shù)，不代表在節(jié)點(diǎn)P計算式的結(jié)果。TP代表整個控制容積的值，采用了階梯式分布。,應(yīng)用線性化的源項表達(dá)式，離散化方程的形式一樣，但系數(shù)有所改變。,四、不同離散方法的比較,.Taylor展開法與多項式擬合法偏重于從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)，把方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分式來表示；而控制容積法和平衡法則側(cè)重于從物理觀點(diǎn)來分析，每個離散方程都是有限大小容積上某種物理量守恒的表示式。.Taylor展開法與多項式擬合法優(yōu)點(diǎn)：易于對離散方程進(jìn)行其數(shù)學(xué)特性的分析；缺點(diǎn)：變步長網(wǎng)格的離散方程形式比較復(fù)雜，導(dǎo)出過程的物理概念也不清晰，且不能保證所得方程具有守恒特性。,.控制容積法(平衡法)優(yōu)點(diǎn)：導(dǎo)出過程物理概念清晰，離散系數(shù)具有一定的物理意義，并可以保證所得方程具有守恒特性。缺點(diǎn)：不便于對方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性的分析。.這兩種方法分別展示了有限差分法與有限元法這兩種數(shù)值解法的基本特點(diǎn)，有限容積法更具有吸引力。,Taylor展開法,控制容積法,3.4四項基本法則,離散化方程應(yīng)當(dāng)服從的這些法則，可以確保所得的解滿足物理上的真實(shí)性以及總的平衡這兩個要求。,法則1：在控制容積面上的連續(xù)性,在同一個界面上各物理量（及有關(guān)物性）及其一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。所謂連續(xù)是指從界面兩側(cè)的兩個控制容積寫出的該界面上的值是相等的，即：,e,如圖所示，在P、E兩個控制容積的公共界面e上，離開P控制容積穿過e界面的q、qm及動量通量應(yīng)各自等于穿過e界面進(jìn)入E控制容積的相應(yīng)的量。若公共界面e上的型線選擇不妥，可能導(dǎo)致界面上連續(xù)性受到破壞如上圖所示，界面上采用了二次曲線，由于從P控制容積及E控制容積來確定的二次曲線擬合點(diǎn)不完全相同，在e界面上，無論是值還是其導(dǎo)數(shù)從P、E兩側(cè)控制容積確定的值均不相等，使得格式失去守恒性。,說明界面連續(xù)性的示意,若公共界面e上的導(dǎo)熱系數(shù)選擇不妥，也可能使界面上連續(xù)性被破壞,如：在給定的控制容積的各個表面上，熱流密度完全為控制容積中心節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)系數(shù)kP或kE所控制，這樣在考慮P點(diǎn)周圍的控制容積時，在界面e處的熱流密度將表示成,而在把E作為控制容積的中心節(jié)點(diǎn)時，界面e處的熱流密度將表示成,從物理意義上看，若從界面的兩側(cè)計算所得通量不能相互抵消，相當(dāng)于在界面上存在一個由計算而造成的源或匯，使總體計算誤差增加。,為避免出現(xiàn)這種不連續(xù)性，注意：必須把界面上的熱流看成是屬于界面本身，而不是屬于一定的控制容積的即物性參數(shù)用界面上的值。,法則2：正系數(shù),所有的系數(shù)（ap以及各相鄰節(jié)點(diǎn)系數(shù)anb）必須總是正的。在一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處因變量值的增加，應(yīng)當(dāng)導(dǎo)致相鄰網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上該值的增加，而不是減少。即方程：,要求aE、aW均與aP有相同的正負(fù)號，皆為正或負(fù)，規(guī)定取正。若相鄰節(jié)點(diǎn)系數(shù)有正、有負(fù)，則往往不能確保得到物理上真實(shí)的解。以后的討論只接受那些確保在所有情況下系數(shù)均為正的公式。,法則3：源項的負(fù)斜率線性化,當(dāng)源項線性化為時，系數(shù)SP必須滿足:,因?yàn)榫€性化后，系數(shù)aE、aW沒有變化，而ap變化為:,若Sp0，則中心節(jié)點(diǎn)系數(shù)ap有可能變?yōu)樨?fù)值；若Sp0，則可以保證中心節(jié)點(diǎn)系數(shù)ap0.,實(shí)際問題也表明，Sp不能為正。若如果這時沒有有效的散熱機(jī)構(gòu)，可能會反過來使如此反復(fù)會造成溫度飛升的不穩(wěn)定現(xiàn)象。,法則4：相