2016年河南省高考數(shù)學(xué)理科適應(yīng)性試卷（一）含答案解析

第 1 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 2016 年河南省普通高中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科）（ 1） 一、選擇題（本大題共 12 道小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的） 1已知集合 A=0， 1， 2， B=y|y=2x， x A，則 A B 中的元素個(gè)數(shù)為（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 2如果復(fù)數(shù) （ b R， i 為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則 b 的值為（ ） A 1 B 6 C 3 D 9 3已知 ） = ，則 的值為（ ） A B 2 C 2 D 2 4雙曲線 =1（ a 0， b 0）的漸近線與圓（ x 2） 2+ 相切，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2 D 2 5給出下列四個(gè)結(jié)論： 已知 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 2） = P（ 2） = 若命題 P： 1， +）， x 1 0，則 p： x （ ， 1）， x 1 0； 已知直線 y 1=0， x+=0，則 充要條件是 = 3； 設(shè)回歸直線方程為 =2 變量 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y 平均增加 2 個(gè)單位 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 k 的值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 7等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 = ，則下列結(jié)論中正確的是（ ） 第 2 頁(yè)（共 22 頁(yè)） A =2 B = C = D = 8六個(gè)人站成一排照相，則甲、乙兩人之間恰好站兩人的概率為（ ） A B C D 9已知正數(shù) x， y 滿足 x+4y=4，則 的最小值為（ ） A B 24 C 20 D 18 10如圖，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形組成的網(wǎng)格中，畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） A 9 B C 18 D 27 11已知函數(shù) f（ x） =2x+ ） ，若 f（ a） =1，則 f（ a） =（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 12已知函數(shù) f（ x） =| 1， g（ x） = x+3，用 m， n表示 m， n 中的最小值，設(shè)函數(shù) h（ x） =f（ x）， g（ x） ，則函數(shù) h（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為 25，點(diǎn) P（ x， y）在所給平面區(qū)域內(nèi)，則 z=2x+y 的最大值為 _ 14（ 2x+ 4） 9 的展開式中，不含 x 的各項(xiàng)系數(shù)之和為 _ 15四棱錐 P 五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，底面 矩形，其中 ， ，又 平面 ，則該球的表面積為 _ 16已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 足 = ， ， 數(shù)列 前 n 項(xiàng) 和，若對(duì)于任意的 n N*，不等式 2n 3 恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 _ 第 3 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，已知向量 =（ 2 1），=（ c， b 2a），且 =0 （ ）求角 C 的大??； （ ）若點(diǎn) D 為邊 一點(diǎn)，且滿足 = ， | |= ， c=2 ，求 面積 18 指空氣中直徑小于或等于 米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與 濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車流量與 時(shí)間 周一 周二 周三 周四 周五 車流量 x（萬輛） 100 102 108 114 116 濃度 y（微克 /立方米） 78 80 84 88 90 （ ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 = x+ ； （ ）若周六同一時(shí)間段車流量 200 萬輛，試根據(jù)（ ）求出的線性回歸方程，濃度為多少？ （參考公式： = ， = ；參考數(shù)據(jù)： 40， 20） 19如圖，在直三棱柱 ， 0， C=2 （ ）若點(diǎn) P 為 中點(diǎn)，求證：平面 平面 （ ）在棱 是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 大小為 60？若存在，求出|值；若不存在，說明理由 20在平面 直角坐標(biāo)系 ，橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過點(diǎn)A（ ， 1），點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且在第一象限內(nèi)，直線 圓 O： x2+y2=切于點(diǎn) M （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）若 點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)的值 21 已知函數(shù) f（ x） =a 中 a 為常數(shù) 第 4 頁(yè)（共 22 頁(yè)） （ ）若 f（ x） =0 恰有一個(gè)解，求 a 的值； （ ）（ i）若函數(shù) g（ x） =a f（ x） 中 p 為常數(shù)，試判斷函數(shù) g（ x）的單調(diào)性； （ f（ x）恰有兩個(gè)零點(diǎn) 求證： x1+31 1 四、請(qǐng)考在第 22、 23、 24 三題中任選一題作答：注意：只能 做所選定的題目：如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分 22如圖，直線 過圓 O 上的點(diǎn) C，并且 B， B，圓 O 交直線 點(diǎn) E、D，連接 （ ）求證：直線 圓 O 的切線； （ ）若 ，圓 O 的半徑為 2，求 長(zhǎng) 23在平面直角坐標(biāo)系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），在以原點(diǎn) x 軸 正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓 C 的方程為 =2 （ ）寫出直線 l 的普通方程和圓 C 的直角坐標(biāo)方程； （ ）若點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為（ 1， 0），圓 C 與直線 l 交于 A、 B 兩點(diǎn)，求 |值 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| （ ）解不等式 f（ x） +f（ x+5） 9； （ ）若 |a| 1， |b| 1，求證： f（ ） f（ a+b+2） 第 5 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 2016 年河南省普通高中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科）（ 1） 參考答案與試題解析 一、選擇題（ 本大題共 12 道小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的） 1已知集合 A=0， 1， 2， B=y|y=2x， x A，則 A B 中的元素個(gè)數(shù)為（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考點(diǎn)】 并集及其運(yùn)算 【分析】 根據(jù)集合的定義與運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可 【解答】 解： 集合 A=0， 1， 2， B=y|y=2x， x A， B=0， 2， 4； A B=0， 1， 2， 4； A B 中的元素個(gè)數(shù)為 4 故選： C 2如果復(fù)數(shù) （ b R， i 為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則 b 的值為（ ） A 1 B 6 C 3 D 9 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)相等的充要條件 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后由實(shí)部和虛部相等求得 b 的值 【解答】 解： = 的實(shí)部和虛部相等， 6 b=（ 2b+3），解得： b= 9 故選： D 3已知 ） = ，則 的值為（ ） A B 2 C 2 D 2 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 【分析】 由 ） = ，求出 后對(duì)表達(dá)式的分子、分母同除 以 后代入即可求出表達(dá)式的值 【解答】 解：由 ） = = ， 得 則 = 故選： B 第 6 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 4雙曲線 =1（ a 0， b 0）的漸近線與圓（ x 2） 2+ 相切，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2 D 2 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 由于雙曲線 =1（ a 0， b 0）的漸近線與（ x 2） 2+ 相切，可得圓心（ 2， 0）到漸近線的距離 d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出 【解答】 解：取雙曲線的漸近線 y= x，即 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的漸近線與（ x 2） 2+ 相切， 圓心（ 2， 0）到漸近線的距離 d=r， = ，化為 2b= c， 兩邊平方得 3（ 化為 e= =2 故選： C 5給出下列四個(gè)結(jié)論： 已知 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 2） = P（ 2） = 若命題 P： 1， +）， x 1 0，則 p： x （ ， 1）， x 1 0； 已知直線 y 1=0， x+=0，則 充要條件是 = 3； 設(shè)回歸直線方程為 =2 變量 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y 平均增加 2 個(gè)單位 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行判斷， 根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷 根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件進(jìn)行判斷 根據(jù)回歸 直線的性質(zhì)進(jìn)行判斷 【解答】 解： 若 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 2） = P（ 2）= = = 正確， 第 7 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 若命題 p： 1， +）， x 1 0，則 p： x 1， +）， x 1 0；故錯(cuò)誤 當(dāng) b 0 時(shí)，兩直線的斜率分別為 ， ，由 （ ） = = 1，即 a= 3b， 當(dāng) b=0， a=0 時(shí)，兩直線分別為 3y 1=0， x+1=0，滿足 充要條件是 錯(cuò)誤，故 錯(cuò)誤， 設(shè)回歸直線方程為 =2 變量 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y 平均減少 單位故 錯(cuò)誤， 故正確是 ， 故選： A 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 k 的值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考點(diǎn)】 繪制結(jié)構(gòu)圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 k 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：第 1 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=2， k=2，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 2 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=6， k=3，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 3 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=14， k=4，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 4 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=30， k=5，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 5 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=62， k=6，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 6 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=126， k=7，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 7 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=510， k=8，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 8 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=1022， k=9，不滿足退出循環(huán)的條件， 第 9 次執(zhí)行循環(huán)體后， S=2046， k=10，滿足退出循環(huán)的條件， 故輸出的 k 值為 10， 故選 ： A 7等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 = ，則下列結(jié)論中正確的是（ ） 第 8 頁(yè)（共 22 頁(yè)） A =2 B = C = D = 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得 =3 =2，解方程可得 【解答】 解： 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 = ， = =2，由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得： = = =3 =2， = 故選： C 8六個(gè)人站成一排照相，則甲、乙兩人之間恰好站兩人的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 六個(gè)人站成一排照相，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙兩人之間恰好站兩人包含基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲、乙兩人之間恰好站兩人的概率 【解答】 解 ：六個(gè)人站成一排照相，基本事件總數(shù) n= =720， 甲、乙兩人之間恰好站兩人包含基本事件個(gè)數(shù) m= =144， 甲、乙兩人之間恰好站兩人的概率 p= = = 故選： B 9已知正數(shù) x， y 滿足 x+4y=4，則 的最小值為（ ） A B 24 C 20 D 18 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 根據(jù)已知可將 ，化為 ，利用基本不等式可得 2 =8而原式： =18 第 9 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 【解答】 解： x+4y=4，可得： =1， = = = = ， 2 =8 =18 故選： D 10如圖，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形組成的網(wǎng)格中，畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） A 9 B C 18 D 27 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖和正方體可得該幾何體一個(gè)三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由錐體的體積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)三棱錐 A 三棱錐的外面是長(zhǎng)、寬、高為 6、 3、 3 的長(zhǎng)方體， 幾何體的體積 V= =9， 故選： A 第 10 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 11已知函數(shù) f（ x） =2x+ ） ，若 f（ a） =1，則 f（ a） =（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 易知 f（ a） =2a+ ） =1，化簡(jiǎn) f（ a） = 2a+ ） =） ，從而求得 【解答】 解：由題意知， f（ a） =2a+ ） =1， 故 f（ a） = 2a+ ） =） = 2a+ ） 2+ =（ 2a+ ） ） 2= 3， 故選： D 12已知函數(shù) f（ x） =| 1， g（ x） = x+3，用 m， n表示 m， n 中的最小值，設(shè)函數(shù) h（ x） =f（ x）， g（ x） ，則函數(shù) h（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 根的存在性及根 的個(gè)數(shù)判斷 【分析】 根據(jù) m， n的定義，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可 【解答】 解：作出函數(shù) f（ x）和 g（ x）的圖象如圖，兩個(gè)圖象的下面部分圖象， 由 g（ x） = x+3=0，得 x= 1，或 x=3， 由 f（ x） =| 1=0，得 x=e 或 x= ， g（ e） 0， 當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) h（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3 個(gè)， 故選： C 第 11 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為 25，點(diǎn) P（ x， y）在所給平面區(qū)域內(nèi)，則 z=2x+y 的最大值為 17 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，結(jié)合可行域的面積求得 a 值，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 C（ 4， 4）， 聯(lián)立 ，解得 A（ a， a）， 聯(lián)立 ，解得 B（ 8 a， a）， ，即 a= 1， B（ 9， 1）， 第 12 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 化目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 為 y= 2x+z， 由圖可知，當(dāng)直線 y= 2x+z 過點(diǎn) B 時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 17 故答案為： 17 14（ 2x+ 4） 9 的展開式中，不含 x 的各項(xiàng)系數(shù)之和為 1 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 先將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和問題，再利用賦值法求出各項(xiàng)系數(shù)和 【解答】 解：（ 2x+ 4） 9 的展開式中，不含 x 的各項(xiàng)系數(shù)之和，即（ 4） 9 的各項(xiàng)系數(shù)之和 令 y=1，可得（ 4） 9 的各項(xiàng)系數(shù)之和為（ 1） 9= 1， 故答案為： 1 15四棱錐 P 五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，底面 矩形，其中 ， ，又 平面 ，則該球的表面積為 50 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑求得外接球的半徑，代入球的表面積公式計(jì)算 【解答】 解：把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則四棱錐的外接球是長(zhǎng)方體的外接球， 長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑， 2R= =5 ， R= ， 外接球的表面積 S=40 故答案為： 50 16已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 足 = ， ， 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若對(duì)于任意的 n N*，不等式 2n 3 恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 足 = ， ，變形為： = （ ），=3，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得： + ，可得 等式 2n 3 化為： k 再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出 【解答】 解： 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 足 = ， ， 第 13 頁(yè)（共 22 頁(yè)） = （ ）， =3， 數(shù)列 是等比數(shù)列 ，首項(xiàng)為 3，公比為 =3 ，即 + ， + = + 不等式 2n 3 化為： k 令 f（ n） = ，則 f（ n+1） f（ n） = = 則 n 2， n 3， f（ 3）最大為 對(duì)于任意的 n N*，不等式 2n 3 恒成立， k 故答案為： 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，已知向量 =（ 2 1），=（ c， b 2a），且 =0 （ ）求角 C 的大小； （ ）若點(diǎn) D 為邊 一點(diǎn)，且滿足 = ， | |= ， c=2 ，求 面積 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出 值， （ ）利用向量的幾何意義和向量的模的計(jì)算以及余弦定理和三角形的面積公式即可求出 【解答】 解：（ ） 向量 =（ 2 1）， =（ c， b 2a），且 =0， c b 2a） ， 由正弦定理可得， 2， 2， 第 14 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 0， ， C （ 0， ）， C= ， （ ） = ， | |= ， c=2 ， = ， 2 = + ， 兩邊平方得 4| |2=b2+b2+a2+8，（ 1）， c2=b2+2b2+2，（ 2）， 由（ 1），（ 2）可得 ， S 18 指空氣中直徑小于或等于 米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與 濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車流量與 時(shí)間 周一 周二 周三 周四 周五 車流量 x（萬輛） 100 102 108 114 116 濃度 y（微克 /立方米） 78 80 84 88 90 （ ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)， 用最小二乘法，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 = x+ ； （ ）若周六同一時(shí)間段車流量 200 萬輛，試根據(jù)（ ）求出的線性回歸方程，濃度為多少？ （參考公式： = ， = ；參考數(shù)據(jù)： 40， 20） 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 （ I）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程； （ x=200 代入回歸方程計(jì)算 【解答】 解：（ ） =108， （ 78+80+84+88+90） =84 =（ 8） （ 6） +（ 6） （ 4） +0+6 4+8 6=144， =（ 8） 2+（ 6） 2+0+62+82=200 第 15 頁(yè)（共 22 頁(yè)） = ， =84 108= y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 = （ x=200 時(shí)， =200+ 此時(shí) 濃度為 克 /立方米 19如圖，在直三棱柱 ， 0， C=2 （ ）若點(diǎn) P 為 中點(diǎn)，求證：平面 平面 （ ）在棱 是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 大小為 60？若存在，求出|值；若不存在，說明理由 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ ）推導(dǎo)出 而 平面 而 P，再求出 而 平面 此能證明平面 平面 （ ）以 C 為原點(diǎn)， 在直線為 x， y， z 軸，建立空間直角 坐標(biāo)系，利用向量法能求出在棱 存在一點(diǎn) P，使得二面角 大小為 60，且 |2 【解答】 證明：（ ） 0， 由直三棱錐性質(zhì)得 1， 平面 面 由 C=2， P 為 點(diǎn)，知 1P=2 ， = ，即 1P= 平面 面 平面 平面 解：（ ）如圖，以 C 為原點(diǎn)， 在直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) |a， P（ 2， 0， a）， C（ 0， 0， 0）， 0， 4， 4）， B（ 0， 4， 0）， =（ 2， 0， a）， =（ 0， 4， 4）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，取 z= 1，得 =（ ）， 平面 一個(gè)法向量 =（ 0， 4， 0）， 二面角 大小為 60， 第 16 頁(yè)（共 22 頁(yè)） = = ， 解得 a=2 ， 在棱 存在一點(diǎn) P，使得二面角 大小為 60，且 |2 20在平面直角坐標(biāo)系 ，橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過點(diǎn)A（ ， 1），點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且在第一象限內(nèi)，直線 圓 O： x2+y2=切于點(diǎn) M （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）若 點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)的值 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析 】 （ ）由橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過點(diǎn) A（ ， 1），列出方程組，求出 a， b，由此能求出橢圓 C 的方程 （ ）由圓 O 的方程為 x2+，設(shè)點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為 t，則 Q（ 2， t），當(dāng) x 軸時(shí)，求出 t= 2 ；當(dāng) 垂 直于 x 軸時(shí)，設(shè)直線 y=k 0， x 0），則直線 y=，由 |能求出點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)的值 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過點(diǎn) A（ ， 1）， ，解得 ， ， 橢圓 C 的方程為 第 17 頁(yè)（共 22 頁(yè)） （ ）由（ ）得圓 O 的方程為 x2+， 設(shè)點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為 t，則 Q（ 2， t），當(dāng) x 軸時(shí)， 點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且在第一象限內(nèi)， P（ 2， ）， ，解得 t= 2 當(dāng) 垂直于 x 軸 時(shí)，設(shè)直線 y=k 0， x 0）， 直線 y= ， 則 P（ Q（ t）， 在 ， | =2 ， 即 =4（ x0+2+（ t） 2， ， ， ， 又由 ， ， 又由 ， ， ， =0， ，解得 t= 點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)的值為 21已知函數(shù) f（ x） =a 中 a 為常數(shù) （ ）若 f（ x） =0 恰有一個(gè)解，求 a 的值； （ ）（ i）若函數(shù) g（ x） =a f（ x） 中 p 為常數(shù)，試判斷函數(shù) g（ x）的單調(diào)性； （ f（ x）恰有兩個(gè)零點(diǎn) 求證： x1+31 1 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； 第 18 頁(yè)（共 22 頁(yè)） （ ）（ i）求出 g（ x）的導(dǎo)數(shù)，從而判斷出 g（ x）的單調(diào)性，（ 證 x1+31 1，可知知， p 是 h（ x）的唯一最大值點(diǎn)，故有 ，作函數(shù) m（ x） = 過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，整理，變形，即可得證 【解答】 解：（ ） f（ x） = ，令 f（ x） =0，解得： x=1， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 1）遞增， 當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）遞減， f（ x） f（ 1） =a 1， 當(dāng) f（ x） ，解得： a=1，此時(shí)最大值點(diǎn)唯一，符合題意， 當(dāng) f（ x） 0，即 a 1 時(shí)， f（ x） 0 恒 成立，不符合題意， 當(dāng) f（ x） 0，即 a 1 時(shí)， 1， f（ = 0， e a 1， f（ e a） =2a 2a 0，（易證 f（ x）有 2 個(gè)零點(diǎn)，不符合題意， 綜上： a=1； （ ）（ i）由 g（ x） =a f（ x） 得： g（ x） = 函數(shù) g（ x）的定義域是（ 0， +），且 p 0， g（ x） = 0， g（ x）在（ 0， +）單調(diào)遞增； （ f（ x） =0h（ x） =1 ，故 是 h（ x） =0 的兩個(gè)零點(diǎn) 由 h（ x） =a 1 ，得 x=1（記 p=1） 可知， p 是 h（ x）的唯一最大值點(diǎn)，故有 ， 作函數(shù) m（ x） = m（ x） = 0，故 m（ x）單調(diào)遞增 當(dāng) x p 時(shí)， h（ x） h（ p） =0；當(dāng) 0 x p 時(shí)， h（ x） 0 于是， 1=+ 整理，得（ 2+a） 2p+1） x1+p 0， 即 31 1） x1+1 0 同理 31 1） x2+1 0 故 31 1） x2+1 31 1） x1+1， 即（ x2+ （ 31 1）（ 第 19 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 于是 x1+31 1 四、請(qǐng)考在第 22、 23、 24 三題中任選一題作答：注意：只能做所選定的題目：如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分 22如圖，直線 過圓 O 上的點(diǎn) C，并且 B， B，圓 O 交直線 點(diǎn) E、D，連接 （ ）求證：直線 圓 O 的切線； （ ）若 ，圓 O 的半徑為 2， 求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 相似三角形的性質(zhì)