2016年山東省淄博市高考數(shù)學一模試卷含答案解析

第 1 頁（共 27 頁） 2016 年山東省淄博市高考數(shù)學一模試卷 一、選擇題（每小題 5 分，共 50 分） 1 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) 表示的點落在哪個象限（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2設集合 A=x|1 x 2， B=x|x a，若 A B，則 a 的取值范圍是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 3下列選項錯誤的是（ ） A命題 “若 x 1，則 3x+2 0”的逆否命題是 “若 3x+2=0，則 x=1” B “x 2”是 “3x+2 0”的充分不必要條件 C若命題 “p： x R， x2+x+1 0”，則 “ p： R， =0” D若 “p q”為真命題，則 p、 q 均為真命題 4使函數(shù) 是奇函數(shù)，且在 上是減函數(shù)的 的一個值是（ ） A B C D 5已知平面向量 ， 的夾角為 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，則 | |=（ ） A 2 B C 1 D 3 6在正項等比數(shù)列 ，若 3 2等差數(shù)列，則 =（ ） A 3 或 1 B 9 或 1 C 3 D 9 7已知雙曲線 =1 的一個焦點與拋物線 2y 的焦點相同，則此雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 8三棱錐 S 其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱 長為（ ） A 2 B 4 C D 16 9如果執(zhí)行如所示的程序框圖，那么輸出的 S=（ ） 第 2 頁（共 27 頁） A 119 B 600 C 719 D 4949 10任取 k 1， 1，直線 L： y= 與圓 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 相交于 M、 N 兩點，則 | 2 的概率為 （ ） A B C D 11某次聯(lián)歡會要安排 3 個歌舞類節(jié)目， 2 個小品類節(jié)目和 1 個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（ ） A 72 B 120 C 144 D 168 二、填空題（本大題共 7 小題，每小題 5 分，共 25 分） 12函數(shù) f（ x） = ，若 f（ a） a，則實數(shù) a 的取值范圍是 _ 13（文科）某校女子籃球隊 7 名運動員身高（單位：厘米）分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高為 175記錄中有一名運動員身高的末位數(shù)字不清晰，如果把其末尾數(shù)記為x，那么 x 的值為 _ 14二項式 的展開式中 系數(shù)為 ，則 =_ 15銳角三角形 ， a、 b、 c 分別是三內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊，設 B=2A，則 的取值范圍是 _ 16若 x、 y 滿足 ，則 z=y |x|的最大值為 _ 17（文科）已知函數(shù) f（ n）， n N*，且 f（ n） N*若 f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1，f（ 1） 1，則 f（ 6） =_ 18設函數(shù) f（ x） =|x+1） |，實數(shù) a， b（ a b）滿足 f（ a） =f（ ）， f（ 10a+6b+21）=4 a+b 的值為 _ 第 3 頁（共 27 頁） 二、解答題（本大題共 6 個小題，共 75 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 19已知向量 =（ =（ 2 +2 函數(shù) f（ x） = ， x R （ ）求函數(shù) f（ x）的最大值； （ ）若 x （ ， ）且 f（ x） =1，求 x+ ）的值 20（文科）學業(yè)水平考試后，某校對高二學生的數(shù)學、英語成績進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下（人數(shù)）： 項目 數(shù)學 優(yōu)秀 合格 不合格 英 語 優(yōu)秀 70 30 20 合格 60 240 b 不合格 a 20 10 已知英語、數(shù)學的優(yōu)秀率分別為 24%、 30%（注：合格人數(shù)中不包含優(yōu)秀人數(shù)） （ 1）求 a、 b 的值； （ 11）現(xiàn)按照英語成績的等級，采用分層抽樣的方法，從數(shù)學不合格的學生中選取 6 人，若再從這 6 人中任選 2 人，求這兩名學生的 英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率 21（理科）四棱鏡 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0 （ ）若平面 面 l，求證： l （ ）求平面 平面 成二面角的大小 22（文科）四棱鏡 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0， Q 是 中點 （ ）若平面 面 l，求證： l （ ）求證： 第 4 頁（共 27 頁） 23袋中共有 8 個球，其中有 3 個白球， 5 個黑球，這些球除顏色外完全相同從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中 （ 1）重復上述過程 2 次后，求袋中有 4 個白球的概率 （ 2）重復上述過程 3 次后，記袋中白球的個數(shù)為 X，求 X 的數(shù)學期望 24設數(shù) 列 前 n 項和為 列 等差數(shù)列，且 5， 1 （ ）求數(shù)列 通項公式 （ ）將數(shù)列 中的第 ，第 ，第 ， ，第 ， ，刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列 求數(shù)列 前 2016 項和 25（理科）已知各項均不相等的等差數(shù)列 前四項和為 16，且 等比數(shù)列，數(shù)列 足 （ ）求數(shù)列 通項公式 前 n 項和 （ ）是否存在正整數(shù) s， t（ 1 s t），使得 等比數(shù)列？若存在，求出 s， 不存在，請說明理由 26（文科）如圖所示的封閉曲線 C 由曲線 + =1（ a b 0， y 0）和曲線 C2：x2+y2=y 0）組成，已知曲線 點（ ， ），離心率為 ，點 A、 B 分別為曲線C 與 x 軸、 y 軸的一個交點 （ ）求曲線 方程； （ ）若點 Q 是曲線 的任意點，求 積的最大值； （ ）若點 F 為曲線 右焦點，直線 l： y=kx+m 與曲線 切于點 M，與 x 軸交于點N，直線 直線 x= 交于點 P，求證： 第 5 頁（共 27 頁） 27（理科）如圖所示的封閉曲線 C 由曲線 + =1（ a b 0， y 0）和曲線 C2：y=1（ y 0）組成，已知曲線 點（ ， ），離心率為 ，點 A、 B 分別為曲線C 與 x 軸、 y 軸的一個交點 （ ）求曲線 方程； （ ）若點 Q 是曲線 的任意點，求 積的最大值及點 Q 的坐標； （ ）若點 F 為曲線 右焦點，直線 l： y=kx+m 與曲線 切于點 M，且與直線 x=交于點 N，求證：以 直徑的圓過點 F 28（文科）設函數(shù) f（ x） =x（ 1） e=自然對數(shù)的底數(shù)） （ ）若 a= ，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）若當 x 0 時， f（ x） 0，求 a 的取值范圍； （ ）若 f（ x）無極值，求 a 的值 29（理科）設函數(shù) f（ x） =x（ 1） e=自然對數(shù)的底數(shù)） （ ）若 a= ，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）若 f（ x）在（ 1， 0）無極值，求 a 的取值范圍； （ ）設 n N*， x 0，求證： 1+ + + 注： n！ =n （ n 1） 2 1 第 6 頁（共 27 頁） 2016 年山東省淄博市高考數(shù)學一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題 5 分，共 50 分） 1 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) 表示的點落在哪個象限（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 根據(jù)復數(shù)的幾何意義，利用復數(shù)的基本運算先化簡即可得到結(jié)論 【解答】 解： = = 3 8i，對應的坐標為（ 3， 8），位于第三象限， 故選： C 2設集合 A=x|1 x 2， B=x|x a，若 A B，則 a 的取值范圍是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 【考點】 集合的包含關(guān)系判斷及應用 【分析】 由集合 A=x|1 x 2， B=x|x a， A B，即可得出 a 的取值范圍 【解答】 解： 集合 A=x|1 x 2， B=x|x a， A B， a 2 則 a 的取值范圍是 a 2 故選： A 3下列選項錯誤的是（ ） A命題 “若 x 1，則 3x+2 0”的逆否命題是 “若 3x+2=0，則 x=1” B “x 2”是 “3x+2 0”的充分不必要條件 C若命題 “p： x R， x2+x+1 0”，則 “ p： R， =0” D若 “p q”為真命題，則 p、 q 均為真命題 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 A根據(jù)逆否命題的定義進行判斷 B根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷 C根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷 D根據(jù)復合命題真假關(guān)系進行判 斷 【解答】 解： A命題 “若 x 1，則 3x+2 0”的逆否命題是 “若 3x+2=0，則 x=1”，故 A 正確， B由 3x+2 0 得 x 2 或 x 1，即 “x 2”是 “3x+2 0”的充分不必要條件，故 B 正確， C若命題 “p： x R， x2+x+1 0”，則 “ p： R， =0”，故 C 正確， D若 “p q”為真命題， p、 q 至少有一個為真命題，故 D 錯誤， 故選： D 第 7 頁（共 27 頁） 4使函數(shù) 是奇函數(shù)，且在 上是減函數(shù)的 的一個值是（ ） A B C D 【考點】 正弦函數(shù)的奇偶性；正弦函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 利用兩角和正弦公式化簡函數(shù)的解析式為 22x+ ），由于它是奇函數(shù)，故+ =k z，當 k 為奇數(shù)時， f（ x） = 2足在 上是減函數(shù)，此時，=2， n z，當 k 為偶數(shù)時，經(jīng)檢驗不滿足條件 【解答】 解： 函數(shù) =22x+ ） 是奇函數(shù)，故 + =k Z， = 當 k 為奇數(shù)時，令 k=2n 1， f（ x） = 2足在 上是減函數(shù)，此時， =2， n Z， 選項 B 滿足條件 當 k 為偶數(shù)時，令 k=2n， f（ x） =2滿足在 上是減函數(shù) 綜上，只有選項 B 滿足條件 故選 B 5 已知平面向量 ， 的夾角為 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，則 | |=（ ） A 2 B C 1 D 3 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和向量的模計算即可 【解答】 解： | +2 |=2 ， +4 +4 =| |2+4| | |4| |2=| |2+2| |+4=12， 解得 | |=2， 故選： A 6在正項等比數(shù)列 ，若 3 2等差數(shù)列，則 =（ ） A 3 或 1 B 9 或 1 C 3 D 9 【考點】 等比數(shù)列的通項公式 第 8 頁（共 27 頁） 【分析】 設正項等比數(shù)列 公比為 q 0，由于 3 2等差數(shù)列，可得出 q， 即可得出 【解答】 解：設正項等比數(shù)列 公比為 q 0， 3 2等差數(shù)列， 化為 ，即 2q 3=0，解得 q=3 則 = =， 故選： D 7已知雙曲線 =1 的一個焦點與拋物線 2y 的焦點相同，則此雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得拋物線的焦點，由題意可得 3= ，解方程可得 m，可得雙曲線的方程，再將其中的 “1”換為 “0”，進而得到所求漸近線方程 【解答】 解：拋物線 2y 的焦點為（ 0， 3）， 由雙曲線 =1 的一個焦點與拋物線 2y 的焦點相同， 可得 3= ， 解得 m=4， 即有雙曲線的方程為 =1， 可得漸近線方程為 y= x 故選： C 8三棱錐 S 其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱 長為（ ） 第 9 頁（共 27 頁） A 2 B 4 C D 16 【考點】 簡單空間圖形的三視圖 【分析】 由已知中的三視圖可得 平面 面 等腰三角形， ， C=4， 上的高為 2 ，進而根據(jù)勾股定理得到答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得 平面 且底面 等腰三角形， 在 ， 上的高為 2 ， 故 ， 在 ，由 ， 可得 ， 故選 B 9如果執(zhí)行如所示的程序框圖，那么輸出的 S=（ ） A 119 B 600 C 719 D 4949 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 T， S， k 的值，當 k=6 時不滿足條件 k 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 719 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 k=1， S=0， T=1 滿足條件 k 5， T=1， S=1， k=2 滿足條件 k 5， T=2， S=5， k=3 滿足條件 k 5， T=6， S=23， k=4 滿足條件 k 5， T=24， S=119， k=5 滿足條件 k 5， T=120， S=719， k=6 不滿足條件 k 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 719 故選： C 10任取 k 1， 1，直線 L： y= 與圓 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 相交于 M、 N 兩點，則 | 2 的概率為 （ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 直線與圓相交，有兩個公共點，設弦長為 l，弦心距為 d，半徑為 r，則可構(gòu)建直角三角形，從而將問題仍然轉(zhuǎn)化為點線距離問題然后結(jié)合幾何概型的概率公式進行求解即可 【解答】 解：由圓的方程得：圓心（ 2， 3），半徑 r=2， 第 10 頁（共 27 頁） 圓心到直線 y= 的距離 d= ， | 2 ， 2 =2 2 ， 變形整理得 4 43，即 解得： k ， k 的取值范圍是 ， 則對應 | 2 的概率 P= = 故選 A 11某次聯(lián)歡會要安排 3 個歌舞類節(jié)目， 2 個小品類節(jié)目和 1 個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（ ） A 72 B 120 C 144 D 168 【考點】 計數(shù)原理的應用 【分析】 根據(jù)題意，分 2 步進行分析： 、先將 3 個歌舞類節(jié)目全 排列， 、因為 3 個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則分 2 種情況討論中間 2 個空位安排情況，由分步計數(shù)原理計算每一步的情況數(shù)目，進而由分類計數(shù)原理計算可得答案 【解答】 解：分 2 步進行分析： 1、先將 3 個歌舞類節(jié)目全排列，有 種情況，排好后，有 4 個空位， 2、因為 3 個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間 2 個空位必須安排 2 個節(jié)目， 分 2 種情況討論： 將中間 2 個空位安排 1 個小品類節(jié)目和 1 個相聲類節(jié)目，有 種情況， 排好后，最后 1 個小品類節(jié)目放在 2 端，有 2 種情況， 此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 6 4 2=48 種； 將中間 2 個空位安排 2 個小品類節(jié)目，有 種情況， 排好后，有 6 個空位，相聲類節(jié)目有 6 個空位可選，即有 6 種情況， 此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 6 2 6=72 種； 則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 48+72=120， 故選： B 二、填空題（本大題共 7 小題，每小題 5 分，共 25 分） 12函數(shù) f（ x） = ，若 f（ a） a，則實數(shù) a 的取值范圍是 a 1 【考點】 分段函數(shù)的應用 【分析】 根據(jù)分段函數(shù)的表達式進行解不等式即可得到結(jié)論 第 11 頁（共 27 頁） 【解答】 解：若 a 0，則由 f（ a） a 得 a 1 a，即 a 1，則，即 a 2此時 a 0， 若 a 0 時，則由 f（ a） a 得 a，即 1 1 a 1，此時 1 a 0， 綜上 a 1， 故答案為： a 1 13（文科）某校女子籃球隊 7 名運動員身高（單位：厘米）分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高為 175記錄中有一名運動員身高的 末位數(shù)字不清晰，如果把其末尾數(shù)記為x，那么 x 的值為 2 【考點】 莖葉圖 【分析】 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)公式即可求出 x 的值 【解答】 解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知， 170+ （ 1+2+x+4+5+10+11） =175， 即 （ 33+x） =5， 即 33+x=35， 解得 x=2 故答案為： 2 14二項式 的展開式中 系數(shù)為 ，則 = 【考點】 定積分；二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 先用二項式定理求得 a 的值，再求定積分的值 【解答】 解：由二項式定理可得： 的系數(shù)為 ，則 a=1， = = 故答案為： 15銳角三角形 ， a、 b、 c 分別是三內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊，設 B=2A，則 的取值范圍是 （ ， ） 【考點】 正弦定理；余弦定理 【分析】 根據(jù)正弦定理可得到 ，結(jié)合 B=2A 根據(jù)二倍角公式可得，整理得到 =2求得 A 的范圍即可得到 的取值范圍 第 12 頁（共 27 頁） 【解答】 解：由正弦定理：得 ， B=2A， ， =2 當 B 為最大角時 B 90， A 45， 當 C 為最大角時 C 90， A 30， 30 A 45， 2 22 （ ， ） 故答案為：（ ， ） 16若 x、 y 滿足 ，則 z=y |x|的最大值為 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 畫出約束條件表示的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可 【解答】 解： 表示的可行域如圖： z=y |x|，即： y=+z= ，由 可得， A（ 1， 3），目標函數(shù)經(jīng)過 A（ 1， 3）時取得最大值： 故答案為： 第 13 頁（共 27 頁） 17 （文科）已知函數(shù) f（ n）， n N*，且 f（ n） N*若 f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1，f（ 1） 1，則 f（ 6） = 5 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 由 f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1，可得： f（ 1） +f（ 2） +f（ f（ 1） =4，由于f（ 1） 1，且 f（ n） N*則必有 f（ 1） =2，化為 2+f（ 2） +f（ 2） =4，解得 f（ 2） =1分別令 n=2， 3， 4， 5，即可得出 【解答】 解： f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1， f（ 1） +f（ 2） +f（ f（ 1） ） =4， f（ 1） 1，且 f（ n） N* 則必有 f（ 1） =2，化為 2+f（ 2） +f（ 2） =4，解得 f（ 2） =1，滿足題意 令 n=2，則 f（ 2） +f（ 3） +f（ f（ 2） =7，可得： 1+f（ 3） +f（ 1） =7，可得 f（ 3） =4 令 n=3，則 f（ 3） +f（ 4） +f（ f（ 3） =10，可得： 4+f（ 4） +f（ 4） =10，可得 f（ 4） =3 令 n=4，則 f（ 4） +f（ 5） +f（ f（ 4） =13，可得： 3+f（ 5） +f（ 3） =13，即 3+f（ 5） +4=13，可得 f（ 5） =6 令 n=5，則 f（ 5） +f（ 6） +f（ f（ 5） =13，可得： 6+f（ 6） +f（ 6） =16，可得 f（ 6） =5 故答案為： 5 18設函數(shù) f（ x） =|x+1） |，實數(shù) a， b（ a b）滿足 f（ a） =f（ ）， f（ 10a+6b+21）=4 a+b 的值為 【考點】 抽象函數(shù)及其應用；函數(shù)的值 【分析】 根據(jù)題目給出的等式 f（ a） =f（ ），代入函數(shù)解析式得 到 a、 b 的關(guān)系，從而判斷出 f（ 10a+6b+21）的符號，再把 f（ 10a+6b+21） =4化為含有一個字母的式子即可求解 【解答】 解：因為 f（ a） =f（ ），所以 |a+1） |=| +1） |=|） |=|b+2） |， 所以 a+1=b+2，或（ a+1）（ b+2） =1，又因為 a b，所以 a+1 b+2，所以（ a+1）（ b+2） =1 又由 f（ a） =|a+1） |有意義知 a+1 0，從而 0 a+1 b+1 b+2， 于是 0 a+1 1 b+2 所以（ 10a+6b+21） +1=10（ a+1） +6（ b+2） =6（ b+2） + 1 從而 f（ 10a+6b+21） =|（ b+2） + |=（ b+2） + 又 f（ 10a+6b+21） =4 所以 （ b+2） + =4 故 6（ b+2） + =16解得 b= 或 b= 1（舍去） 把 b= 代入（ a+1）（ b+2） =1 解得 a= 第 14 頁（共 27 頁） 所以 a= ， b= a+b= 故答案為： 二、解答題（本大題共 6 個小題，共 75 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 19已知向量 =（ =（ 2 +2 函數(shù) f（ x） = ， x R （ ）求函數(shù) f（ x）的最大值； （ ）若 x （ ， ）且 f（ x） =1，求 x+ ）的值 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；平面向量數(shù)量積的運算；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ ）由向量的數(shù)量積 和三角函數(shù)公式可得 f（ x） =4x+ ），可得最大值； （ ）由題意可得 x+ ） = ，由 x 范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得 x+ ）= ，整體代入 x+ ） = x+ ） + = x+ ） x+ ），計算可得 【解答】 解：（ ） =（ =（ 2 +2 f（ x） = =2 +2 =2 （ =4x+ ）， 函數(shù) f（ x）的最大值為 4； （ ） f（ x） =4x+ ） =1， x+ ） = ， x （ ， ）， x+ （ ， ）， x+ ） = ， x+ ） = x+ ） + = x+ ） x+ ） = = 20 （文科）學業(yè)水平考試后，某校對高二學生的數(shù)學、英語成績進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下（人數(shù)）： 項目 數(shù)學 優(yōu)秀 合格 不合格 英 語 優(yōu)秀 70 30 20 合格 60 240 b 不合格 a 20 10 已知英語、數(shù)學的優(yōu)秀率分別為 24%、 30%（注：合格人數(shù)中不包含優(yōu)秀人數(shù)） 第 15 頁（共 27 頁） （ 1）求 a、 b 的值； （ 11）現(xiàn)按照英語成績的等級，采用分層抽樣的方法，從數(shù)學不合格的學生中選取 6 人，若再從這 6 人中任選 2 人，求這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件 發(fā)生的概率；分層抽樣方法 【分析】 （ ）設該校高二學生共有 x 人，依題意，得： ，由此能求出 a、 b 的值 （ ）由題意，得抽取的數(shù)學不及格的 6 人中，英語優(yōu)秀的應取 2 人，利用列舉法能求出這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率 【解答】 解：（ ）設該校高二學生共有 x 人，已知英語優(yōu)秀的有 70+30+20=120 人， 依題意，得： ，解得 x=500 ，解得 a=20， 由學生總數(shù)為 500 人，得 b=30 （ ）由題意，得抽取的數(shù)學不及格的 6 人中，英語優(yōu)秀的應取 2 人， 分別記為 語合格的 3 人，分別記為 語不合格的應取 1 人，記為 c， 從中任取 2 人的所有結(jié)果有： =15 種， 這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的基本事件有： 共 6 個， 這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀 一人合格的概率 p= = 21（理科）四棱鏡 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0 （ ）若平面 面 l，求證： l （ ）求平面 平面 成二面角的大小 【考點】 二面角的平面角及求法； 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ ）由 平面 導出 l （ ）連結(jié) D 為原點，分別以 在的直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面 平面 成二面角的大小 【解答】 證明：（ ） 面 面 平面 第 16 頁（共 27 頁） 又平面 與平面 于 l， l 解：（ ）連結(jié) ， AD=a， a， 0， 由余弦定理，得： 2B3 ， 直角三角形，且 平面 以 D 為原點，分別以 在的直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標系， 平面 =（ 0， ， 0）是平面 法向量， 設平面 法向量 =（ x， y， z）， P（ 0， 0， ）， B（ 0， ， 0）， C（ 2a， ， 0）， =（ 0， ， ）， =（ 2a， 0， 0）， 則 ，取 z=1，得 =（ 0， 1， 1） = = = ， 平面 平面 成二面角的大小為 45 22（文科）四棱鏡 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0， Q 是 中點 （ ）若平面 面 l，求證： l （ ）求證： 第 17 頁（共 27 頁） 【考點】 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的性質(zhì) 【分析】 （ ）由 平面 此能證明 l （ ）連結(jié) 余弦定理，得 ，從而 而 平面 面 平面 由 平面 此能證明 【解答】 證明：（ ） 面 面 平面 又平面 與平面 于 l， l （ ）連結(jié) ， AD=a， a， 0， 由余弦定理，得： 2 解得 ， 直角三角形， D=D， 平面 面 平面 平面 又 D= ， Q 為 點， 平面 面 B， 平面 平面 23袋中共有 8 個球，其中有 3 個白球 ， 5 個黑球，這些球除顏色外完全相同從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中 第 18 頁（共 27 頁） （ 1）重復上述過程 2 次后，求袋中有 4 個白球的概率 （ 2）重復上述過程 3 次后，記袋中白球的個數(shù)為 X，求 X 的數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ ）由題意得當袋中有 4 個白球時，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，由此能求出袋中有 4 個白球的概率 （ ）由題意 X 的所有可能取值為 3， 4， 5， 6，分別求 出相應的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）由題意得當袋中有 4 個白球時， 二次摸球恰好摸到一白球一黑球， 袋中有 4 個白球的概率 P= = （ ）由題意 X 的所有可能取值為 3， 4， 5， 6， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = + + = ， P（ X=5） = + + = ， X 的分布列為： X 3 4 5 6 P E（ X） = = 24設數(shù)列 前 n 項和為 列 等差數(shù)列，且 5， 1 （ ）求數(shù)列 通項公式 （ ）將數(shù)列 中的第 ，第 ，第 ， ，第 ， ，刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列 求數(shù)列 前 2016 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I）由 n=1 時， 得 ；當 n 2 時，可得： 1= 為 ，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出 第 19 頁（共 27 頁） （ 等差數(shù)列 公差為 d，由 5， 1可得 ，解得 b1=d=3，即可得出 . = 將數(shù)列 中的第 3 項，第 6 項，第 9 項， ，第 3n 項， ，刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列 其奇數(shù)項與偶數(shù)項仍然成等比數(shù)列，首項分別為 = ， = ，公比都為 8利用等比數(shù)列前 n 項和公式即可得出 【解答】 解：（ I） n=1 時， 得 ； 當 n 2 時， 1=3 1， 1=3 3 1） = 為 ， 數(shù)列 等比數(shù)列，首項為 ，公比為 ，可得： = （ 等差數(shù)列 公差為 d， 5， 1 ，解得 b1=d=3， +3（ n 1） =3n = 將數(shù)列 中的第 3 項，第 6 項，第 9 項， ，第 3n 項， ，刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列 其奇數(shù)項與偶數(shù)項仍然成等比數(shù)列，首項分別為 = ， = ，公比都 為 8 數(shù)列 前 2016 項和 =（ c1+（ c2+ = + = 25（理科）已知各項均不相等的等差數(shù)列 前四項和為 16，且 等比數(shù)列，數(shù)列 足 （ ）求數(shù)列 通項公式 前 n 項和 （ ）是否存在正整數(shù) s， t（ 1 s t），使得 等比數(shù)列？若存在，求出 s， 不存在，請說明理由 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I）設等差數(shù)列 公差為 d，由 6，且 等比數(shù)列，可得， d 0，解出即可得出 利用 “裂項求和 ”可得 第 20 頁（共 27 頁） （ ， ， 若 等比數(shù)列，則 = ，化簡整理即可得出 【解答】 解：（ I）設等差數(shù)列 公差為 d， 6，且 等比數(shù)列， ， d 0， 解得 d=2， ， n 1 = = 前 n 項和 + = = （ ， ， 若 等比數(shù)列， 則 = ，可得： = ， t= ， 由 2s+1 0，解得 s 1+ ， s N*， s 1，可得 s=2，解得 t=12 當 s=2， t=12 時， 等比數(shù)列 26（文科）如圖所示的封閉曲線 C 由曲線 + =1（ a b 0， y 0）和曲線 C2：x2+y2=y 0）組 成，已知曲線 點（ ， ），離心率為 ，點 A、 B 分別為曲線C 與 x 軸、 y 軸的一個交點 （ ）求曲線 方程； （ ）若點 Q 是曲線 的任意點，求 積的最大值； （ ）若點 F 為曲線 右焦點，直線 l： y=kx+m 與曲線 切于點 M，與 x 軸交于點N，直線 直線 x= 交于 點 P，求證： 第 21 頁（共 27 頁） 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ I）曲線 點（ ， ），離心率為 ，可得 =1， ，又 a2=b2+立解得 a， b，可得曲線 方程 可得 A，點 A 在曲線 ，可得 r （ A（ 2， 0）， B（ 0， 1），利用截距式可得直線 方程由題意可知：當曲線 處的切線與直線 行時， 面積最大，設切線方程為： x 2y+t=0，由直線與圓相切的性質(zhì)可得 t利用平行線之間的距離公式可得 上的高 h，即可得出 S 最大值 = |AB|h （ 題意可得： k 0， F ， N 設 M（ 直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（ 1+44=0，又直線 l 與曲線 切于點 M，可得 =0，即 利用根與系數(shù)的關(guān)系可得 M， P 的坐標可得 = ，即可證明 【解答】 （ I）解： 曲線 點（ ， ），離心率為 ， =1， ，又 a2=b2+立解得 a=2， b=1， 可得曲線 方程為： +，（ y 0） 可得 A（ 2， 0）， 點 A 在曲線 ， r=2，可得方程： x2+（ y 0） （ ： A（ 2， 0）， B（ 0， 1），可得直線 方程： =1，化為： x 2y+2=0 由題意可知：當曲線 點 Q 處的切線與直線 行時， 面積最大， 設切線方程為： x 2y+t=0，由直線圓相切的性質(zhì)可得： =2，由可知 t 0，解得 t=2 此時 上的高 h= =2+ S 最大值 = |AB|h= = +1， 積的最大值為+1 （ 明：由題意可得： k 0， F ， N 設切點 M（ 由 ，化為：（ 1+44=0， 第 22 頁（共 27 頁） 又直線 l 與曲線 切于點 M， =（ 82 4（ 1+4 44） =0，即 = ， y0=m= ， M ，即 M ， = = ， = =， = ， 27（理科）如圖所示的封閉曲線 C 由曲線 + =1（ a b 0， y 0）和曲線 C2：y=1（ y 0）組成，已知曲線 點（ ， ），離心率為 ，點 A、 B 分別為曲線C 與 x 軸、 y 軸的一個交點 （ ）求曲線 方程； （ ）若點 Q 是曲線 的任意點，求 積的最大值及點 Q 的坐標； （ ）若點 F 為曲線 右焦點， 直線 l： y=kx+m 與曲線 切于點 M，且與直線 x=交于點 N，求證：以 直徑的圓過點 F 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ I）曲線 點（ ， ），離心率為 ，可得 =1， ，又 a2=b2+立解得可得曲線 方程可得 A，代入曲線 程，即可得出方程 （ A（ 2， 0）， B（ 0， 1），利用截距式可得直線 方程由題意可知：當曲線 處的切線與直線 行時， 面積最大，設切線方程為： x 2y+t=0，可知：切線斜率為 ，利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，進而得出切點 Q代入切線方程可得t，利用平行線之間的距離公式可得： 上的高 h，即可得出面積的最大值 （ 題意可得： k 0， F ， N 設切點 M（ 直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（ 1+44=0，又直線 l 與曲線 切于點 M，可得 第 23 頁（共 27 頁） =0，即 利用根與系數(shù)的關(guān)系解出 M可得 N， ， ，利用 =0，即可證明以 直徑的圓過點 F 【解答】 （ I）解： 曲線 點（ ， ），離心率為 ， =1， ，又a2=b2+ 聯(lián)立解得 a=2， b=1，可得曲線 方程為： +（ y 0） 可得