大學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文---兩輛鐵路平板車的裝貨問(wèn)題

兩輛鐵路平板車的裝貨問(wèn)題摘要本文針對(duì)包裝箱的運(yùn)輸問(wèn)題，建立了關(guān)于使得平板車空間浪費(fèi)最小的一般數(shù)學(xué)模型與方法。即使得空間浪費(fèi)最小的最優(yōu)解，屬于優(yōu)化類模型。利用線性規(guī)劃原理對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析求解，建立數(shù)學(xué)模型。首先，將7種包裝箱的厚度和重量分別設(shè)成相應(yīng)的未知數(shù)，方便在題中的代入求解。由此再進(jìn)一步的研究。對(duì)于問(wèn)題，假設(shè)出各輛鐵路平板車所載的7種包裝箱的數(shù)目。并考慮到鐵路平板車，對(duì)所載包裝箱的高度、重量等要求，利用所設(shè)未知數(shù)和已知的條件限制建立約束條件。再對(duì)鐵路平板車得空間浪費(fèi)最少建立目標(biāo)函數(shù)。由此，可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，對(duì)本文問(wèn)題進(jìn)行求解。利用LINGO編程進(jìn)行求得最優(yōu)解,即得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案第一輛平板車載C1種類型的包裝箱0件，C2種類型的包裝箱5件，C3類型的包裝箱2件，C4種類型的包裝箱5件，C5種類型的包裝箱2件，C6種類型的包裝箱1件，C7種類型的包裝箱2件；另一輛平板車載C1種類型的包裝箱6件，C2種類型的包裝箱2件，C3種類型的包裝箱6件，C4種類型的包裝箱0件，C5種類型的包裝箱0件，C6種類型的包裝箱0件，C7種類型的包裝箱4件；這樣的裝載能使得兩輛平板車的使用高度達(dá)到204米，空間利用率達(dá)到100。關(guān)鍵詞最小浪費(fèi)空間、長(zhǎng)度、重量、數(shù)量。一、問(wèn)題重述有7種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（T，以厘米計(jì)）及重量（，以KG計(jì)）是不同的。下表給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每輛平板車有102M長(zhǎng)的地方可用來(lái)裝包裝箱（象面包片那樣），載重為40T。C1C2C3C4C5C6C7件數(shù)8796648TCM487520613720487520640WKG200030001000500400020001000貨運(yùn)管理制度規(guī)定每輛平板車上C5,C6,C7三類包裝箱所占空間不能超過(guò)3027CM問(wèn)應(yīng)該如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費(fèi)的空間最小試建立此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。二、模型假設(shè)1、包裝箱的底面積恰好與平面車的平面積恰好相等。2、包裝箱之間不存在間隙，即包裝箱所鋪成的總高度沒(méi)有影響。3、將每個(gè)包裝箱裝入平板車都具有可行性。4、各個(gè)貨物裝在車上的概率相同，相互之間的排放不存在關(guān)聯(lián)性；5、在該平板車裝載的過(guò)程中不考慮各個(gè)貨物的厚度及重量的誤差性，均為題中所給的準(zhǔn)確數(shù)值；6、裝載的過(guò)程中不考慮貨物在車上的排列次序及各個(gè)貨物的重量密度，排除因局部過(guò)重而造成的平板車不能行駛的情況；三、符號(hào)定義說(shuō)明表示第I類包裝箱的厚度IA表示第I類包裝箱的重量IB表示第I類包裝箱IC表示在其中一輛車上裝第I類包裝箱X件IX表示在另一輛車上裝第I類包裝箱Y件IY（I1,2,3,4,5,6,7）四、問(wèn)題分析七種包裝箱的重量和W89T，而兩輛平板車只能載24080T，因此不能全部裝下，究竟在兩輛車上裝哪些種類的箱子各多少才合適，必須有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，這標(biāo)準(zhǔn)是遵守題中說(shuō)明的重量,厚度方面的約束條件，并且體現(xiàn)出盡可能多裝。由題意，只考慮面包重疊那樣的裝法，把問(wèn)題簡(jiǎn)化為兩輛車上裝箱總厚度之和盡可能大，可以確定建立線性規(guī)劃求整數(shù)解模型（每個(gè)箱子屬于01規(guī)劃模型）來(lái)解決這一問(wèn)題，以尋找最合適的方案所浪費(fèi)的空間最小，也就是說(shuō)，是要讓使用的空間最大化。五、模型的建立與求解在符號(hào)假設(shè)中，設(shè)型箱的厚度為米，重公斤，在其一輛車上裝件，CIIAIBIX另一車上裝件，設(shè)型箱的總數(shù)為則，IYIDIIIDYX1、因?yàn)轭}中要求計(jì)算如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費(fèi)的空間最小?？蓪⑵渥鳛槟繕?biāo)函數(shù)。根據(jù)題意得出目標(biāo)函數(shù)為7711MAXIIAY2、根據(jù)已知條件每輛平板車有102M長(zhǎng)的地方可用來(lái)裝包裝箱（象面包片那樣），載重為40T，即兩輛車所載的高度均超過(guò)102M，所載的包裝箱的重量都不過(guò)40T。由此可建立約束條件一7171024024IIIIAXBAYB3、本文中特別規(guī)定每輛平板車上C5,C6,C7三類包裝箱所占空間不能超過(guò)3027CM，由此可建立約束條件（二）75023IIAXY因?yàn)樗b載的包裝箱個(gè)數(shù)必定為整數(shù)且兩輛平板車所載包裝箱的個(gè)數(shù)應(yīng)小于總個(gè)數(shù)，即為整數(shù)，且。ID,IXIIIXYD4、建立約束條件（三）。為整數(shù)，且。,IXYIIIY將以上求解思路分析總結(jié)，建立模型如下77117175175MAX02430240321,7,0IIIIIIIIIIIIAYBXAYSTBAYXD目標(biāo)函數(shù)且為整數(shù)由題中所給數(shù)據(jù)1C23C45C67CT厘米487520613720487520640W公斤200030001000500400020001000件數(shù)8796648代入上式進(jìn)行求解在問(wèn)題的求解利用LINGO進(jìn)行求解得12345670521266004XXXXYYYYMA4即當(dāng)?shù)谝惠v平板車載C1種類型的包裝箱0件，C2種類型的包裝箱5件，C3類型的包裝箱2件，C4種類型的包裝箱5件，C5種類型的包裝箱2件，C6種類型的包裝箱1件，C7種類型的包裝箱2件；另一輛平板車載C1種類型的包裝箱6件，C2種類型的包裝箱2件，C3種類型的包裝箱6件，C4種類型的包裝箱0件，C5種類型的包裝箱0件，C6種類型的包裝箱0件，C7種類型的包裝箱4件；這樣的裝載能使得兩輛平板車的使用高度達(dá)到204米，空間利用率達(dá)到100。六、模型改進(jìn)本題若運(yùn)用MATLAB求解，所得結(jié)果誤差較大。因?yàn)闆Q策變量只能取整數(shù)，線性規(guī)劃就變成了整數(shù)線性規(guī)劃。而無(wú)論是在理論上還是實(shí)踐中，它都比普通線性規(guī)劃難得多。因此，在實(shí)踐中，不必把整數(shù)規(guī)劃與普通規(guī)劃分得太清。許多實(shí)際問(wèn)題中，建模本身就包含了一些不確定因素，同時(shí)常常也允許近似的或粗略的結(jié)果。但在本題中，若將決策變量的值用舍入湊整法進(jìn)行取整，本身決策變量的取值就小，再進(jìn)行舍入湊整法，值的變化就非常明顯，從而導(dǎo)致決策變量取值的誤差變大。為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，我們對(duì)模型進(jìn)行型改進(jìn)，運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行求解。結(jié)果證明，在決策變量取值較小時(shí)，運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行求解的誤差幾乎可以忽略不計(jì)。七、模型評(píng)價(jià)與推本文所建模型有如下特點(diǎn)1基于基于對(duì)問(wèn)題的分解與基本理解，建立了整數(shù)線型規(guī)劃模型，并對(duì)模型進(jìn)行求解，思路完整嚴(yán)密。2由于LINGO軟件功能強(qiáng)大，計(jì)算機(jī)運(yùn)行的時(shí)間也大大縮小，而且使理論分析和運(yùn)行結(jié)果相互得到證明，采用LINGO語(yǔ)言，在變量更多的情況下，理論分析的作用就更顯得重要，不能盲目的運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解，本文運(yùn)用了分支界限法從中得到一組優(yōu)解。3）此解能基本反映實(shí)際情況，解決實(shí)際問(wèn)題。充分利用題中的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而對(duì)計(jì)算簡(jiǎn)化。4）在模型的推廣上，本文結(jié)合實(shí)際的運(yùn)輸過(guò)程，將平板車的裝載重量這一因素引進(jìn)來(lái)，從而由單目標(biāo)規(guī)劃推廣到多目標(biāo)規(guī)劃上，使我們的模型更符合實(shí)際需求，更具有經(jīng)濟(jì)效益。當(dāng)然，本文的模型還只是針對(duì)一種確知的目標(biāo)函數(shù)而定的。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)檫\(yùn)輸成本最小化而需要進(jìn)行復(fù)雜的不確定的多因素動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，模型則需要更進(jìn)一步的深化與改進(jìn)。七、參考文獻(xiàn)1嚴(yán)喜祖，宋中民，畢春加數(shù)學(xué)建模及其實(shí)驗(yàn)北京高等教育出版社，2009年8月，2434頁(yè)，4347頁(yè)，99112頁(yè)；2宋來(lái)中，王志明數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)北京科學(xué)出版社,2005年8月,155159頁(yè)；3陳理榮數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論北京郵電大學(xué)出版社,2002年8月第3次印刷,2541頁(yè)4數(shù)學(xué)模型編寫組數(shù)學(xué)模型,廣州華南理工大學(xué)出版社,2003年5月第1版第2次印刷154156頁(yè)5謝金星，薛毅優(yōu)化建模LINGO軟件北京清華大學(xué)出版社，200507出版20050701印刷八、附件MATLAB程序C048705206130720487052064048705206130720487052064A0487052061307204870520640000000231054210000000000004870520640000000000000004870520613072048705206400000002310542100000000000048705206410000001000000010000001000000010000001000000010000001000000010000001000000010000001000000010000001B1024030271024030278888888AEQ00000000000000BEQ0XLZEROS14,1XU8ONES14,1X,FMINLINPROGC,A,B,AEQ,BEQ,XL,XUBOND1X1BOND2X2BOND3X3BOND4X4BOND5X5BOND6X6BOND7X7BOND8Y1BOND9Y2BOND10Y3BOND11Y4BOND12Y5BOND13Y6BOND14Y7RETURNEXPECTATIONFMINMATLAB計(jì)算結(jié)果WARNINGCOULDNOTFINDANEXACTCASESENSITIVEMATCHFORLINPROGCPROGRAMFILESMATLABR2009ATOOLBOXOPTIMOPTIMLINPROGMISACASEINSENSITIVEMATCHANDWILLBEUSEDINSTEADYOUCANIMPROVETHEPERFORMANCEOFYOURCODEBYUSINGEXACTNAMEMATCHESANDWETHEREFORERECOMMENDTHATYOUUPDATEYOURUSAGEACCORDINGLYALTERNATIVELY,YOUCANDISABLETHISWARNINGUSINGWARNINGOFF,MATLABDISPATCHERINEXACTCASEMATCHTHISWARNINGWILLBECOMEANERRORINFUTURERELEASESOPTIMIZATIONTERMINATEDBOND132235BOND231695BOND333291BOND431068BOND516416BOND616627BOND716255BOND832235BOND931695BOND1033291BOND1131068BOND1216416BOND1316627BOND1416255RETURNEXPECTATION204000因?yàn)闆Q策變量只能取整數(shù)，線性規(guī)劃就變成了整數(shù)線性規(guī)劃。因此，在本題中，將決策變量的值用舍入湊整法進(jìn)行取整。所以最終求解為BOND13BOND23BOND33BOND43BOND52BOND62BOND72BOND83BOND93BOND103BOND113BOND122BOND132BOND142由于LINGO軟件功能強(qiáng)大，計(jì)算機(jī)運(yùn)行的時(shí)間也大大縮小，而且使理論分析和運(yùn)行結(jié)果相互得到證明，采用LINGO語(yǔ)言，在變量更多的情況下，理論分析的作用就更顯得重要，不能盲目的運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解，本文也可采用LINGO軟件進(jìn)行求解，并運(yùn)用了分支界限法從中得到一組優(yōu)解。LINGO程序如下MAX0487X1052X20613X3072X40487X5052X6064X70487Y1052Y20613Y3072Y40487Y5052Y6064Y7ST0487X1052X20613X3072X40487X5052X6064X71022X13X21X305X44X52X61X7400487X5052X6064X730270487Y1052Y20613Y3072Y40487Y5052Y6064Y71022Y13Y21Y305Y44Y52Y61Y7400487Y5052Y6064Y73027X1Y18X2Y27X3Y39X4Y46X5Y56X6Y64X7Y78ENDGIN14利用LINGO計(jì)算所得結(jié)果GLOBALOPTIMALSOLUTIONFOUNDOBJECTIVEVALUE2040000OBJECTIVEBOUND2040000INFEASIBILITIES04440892E15EXTENDEDSOLVERSTEPS27523TOTALSOLVERITERATIONS50148VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX1000000004870000X2500000005200000X3200000006130000X4500000007200000X5200000004870000X6100000005200000X7200000006400000Y1600000004870000Y2200000005200000Y3600000006130000Y4000000007200000Y5000000004870000Y6000