大一高數(shù)筆記

導(dǎo)數(shù)與極限（一）極限1概念（1）自變量趨向于有限值的函數(shù)極限定義（定義）AXFALIM0，當(dāng)|0AX時(shí)，有|AXF。（2）單側(cè)極限左極限FAXFAXLIM，0，當(dāng)A時(shí)，有|AXF。右極限0X，當(dāng)X時(shí)，有|。（3）自變量趨向于無窮大的函數(shù)極限定義1,X，當(dāng)，成立AXF，則稱常數(shù)A為函數(shù)XF在趨于無窮時(shí)的極限，記為AXFLIM。Y為曲線Y的水平漸近線。定義20，當(dāng)X時(shí)，成立XF，則有XFXLIM。定義3，當(dāng)X時(shí)，成立A，則有A。運(yùn)算法則11若AXFLIM，GLI，則GFLIM。22若但可為,0，X，則XGFLI。33若FLI，則01LIXF。注上述記號是指同一變化過程。（4）無窮小的定義0，當(dāng)|0A時(shí)，有|XF，則稱函數(shù)XF在A時(shí)的無窮?。浚?，即LIMXFA。（5）無窮大的定義M，當(dāng)|X時(shí)，有MF|，則稱函數(shù)F在時(shí)的無窮大（量），記為LIFAX。直線為曲線FY的垂直漸近線。2無窮小的性質(zhì)定理1有限多個(gè)無窮小的和仍是無窮小。定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論2有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。無窮小與無窮大的關(guān)系若LIMXFA，且XF不取零值，則1XF是A時(shí)的無窮小。3極限存在的判別法（1）AFXLIAAFF0。XXLIMLI。（2）FAXLIF，其中是AX時(shí)的無窮小。（3）夾逼準(zhǔn)則設(shè)在點(diǎn)A的某個(gè)去心鄰域,AN內(nèi)有XHFXG，且已知AXGALIM和AXHALIM，則必有AXFLIM。4極限的性質(zhì)（1）極限的唯一性若AX且BFAXLI，則A。（2）局部有界性若FLI，則0M，在點(diǎn)A的某個(gè)去心鄰域,AN內(nèi)有MXF|。（3）局部保號性（I）若AFAXLI，且0（或A），則必存在的某個(gè)去心鄰域,，當(dāng),A時(shí)，有0F（或）。（II）若在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域,AN內(nèi)有0XF（或0XF），且AXFALIM，則0（或A）。5極限的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算設(shè)C是常數(shù)，BXGAXFAALIMLI則（1）；GFAXLIM（2）；（3）；CFAXLI（4）；，0BAG（5），有，且，若000,LIMLI0UXGAUXAUFXA則FUXM06兩個(gè)重要極限（1）1SINL0X；（2）EXX10LI或EXX1LIM。7無窮小的階的比較若和都是在同一自變量變化中的無窮小量，且0，則（1）若0LIM，則稱關(guān)于是高階無窮小量，記作O；（2）若1，則稱和是等價(jià)無窮小量，記作；（3）若0LIC，則稱和是同階無窮小量，記作O；一般情況下，若存在常數(shù)A，0B，使成立BA|，就稱和是同階無窮小量。（4）若以X作為0時(shí)的基本無窮小量，則當(dāng)KX（為某一正數(shù)）時(shí)，稱是K階無窮小量。定理1O。定理2設(shè)，且LIM存在，則LIMLI。常用的等價(jià)無窮小0X時(shí)，1LNARCTRSINTASINXEXX，21CO。（二）函數(shù)的連續(xù)性1定義若函數(shù)XFY在點(diǎn)A的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則XF在點(diǎn)A處連續(xù)LIMAFXFA0LIMX。2連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。3間斷點(diǎn)（1）間斷點(diǎn)的概念不連續(xù)的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)。（2）間斷點(diǎn)的條件若點(diǎn)0X滿足下述三個(gè)條件之一，則0X為間斷點(diǎn)（A）F在沒有定義；（B）LIM0X不存在；（C）F在有定義，LI0XF也存在，但LIM00XFFX。（3）間斷點(diǎn)的分類（I）第一類間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)處左右極限存在。它又可分為下述兩類可去間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)0X處左右極限存在且相等；跳躍間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)處左右極限存在但不相等；（II）第二類間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)0處的左右極限至少有一個(gè)不存在。4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）概念若函數(shù)XF在區(qū)間,BA上每一點(diǎn)都連續(xù)，在A點(diǎn)右連續(xù)，在B點(diǎn)左連續(xù)，則稱XF在區(qū)間,BA上連續(xù)。（2）幾個(gè)定理最值定理如果函數(shù)F在閉區(qū)間,上連續(xù)，則XF在此區(qū)間上必有最大和最小值。有界性定理如果函數(shù)X在閉區(qū)間B上連續(xù)，則在此區(qū)間上必有界。介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間,A上連續(xù)，則對介于A和BF之間的任一值C，必有,BAX，使得CF。零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)X在閉區(qū)間,B上連續(xù)，若0F，則必有,AX，使得0XF。（三）導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的概念（1）定義設(shè)函數(shù)FY在點(diǎn)A的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得改變量時(shí)，函數(shù)XF取得相應(yīng)的改變量AFXF，若極限XAFFXYLIMLI00存在，則稱此極限值為函數(shù)FY在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)（或微商），記作AXAXXFYD或，。導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式有FAFXLI。（2）左、右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)FAFXLIM右導(dǎo)數(shù)AXFAFXLIMF存在AF。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)XFY在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)F在幾何上表示曲線XFY在點(diǎn),FM處的切線的斜率，即AK，從而曲線XY在點(diǎn),AFM處的切線方程為AF法線方程為1F3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系函數(shù)XFY在點(diǎn)A處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)，但反之未必。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。因此，若函數(shù)點(diǎn)處不連續(xù)，則XF點(diǎn)A處必不可導(dǎo)。4求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式（1）四則運(yùn)算若WVU、均為可導(dǎo)函數(shù)，則V，VU，C（其中0為常數(shù)），2，21V（0）。（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè)UFY，XG，且UF和XG都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)XGFY的導(dǎo)數(shù)為XUYD。（3）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若YX是XF的反函數(shù)，則1YF。（4）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由一個(gè)方程0,F所確定的隱函數(shù)XF的求導(dǎo)法，就是先將方程兩邊分別對X求導(dǎo)，再求出XD即可。（5）對數(shù)求導(dǎo)法先對函數(shù)求對數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)、連乘除函數(shù)。（6）參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程TYX確定了一個(gè)函數(shù)XFY，且、均可導(dǎo)，則有DTXY。（7）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0C1XXOSSINSINCO2ETA2CTTANOTXL（0，1）XEA1LOG（，）1LN2RCSINX2ARCOSX1AT1T5高階導(dǎo)數(shù)（1）高階導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)XF的一階導(dǎo)數(shù)XF的導(dǎo)數(shù)稱為XF的二階導(dǎo)數(shù)，XF的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為XF的三階導(dǎo)數(shù)，的N階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的N階導(dǎo)數(shù)，分別記為4,YY，或YYD,D432。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。（2）常用的階導(dǎo)數(shù)公式NX，XNXE，2SISIX，2COSSN，NN11L。（3）萊布尼茨公式設(shè)XU和V都是次可微函數(shù)，則有0KNKNVUUV。復(fù)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn)求函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)。難點(diǎn)討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限存在、連續(xù)性、可導(dǎo)性。1求極限的方法（1）利用定義（語言）證明。（2）利用極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求極限的方法求初等函數(shù)的極限。（3）初等函數(shù)XF在定義區(qū)間上求極限LIM00XFFX。例3102132LIM0X。（4）分解因式，約去使分母極限為零的公因式。例1LILI4LI1121XXXX。（5）利用兩個(gè)重要極限，此時(shí)需注意自變量的變化趨勢。例2SINLM2SIL00XX但42SINILM4X。（6）利用等價(jià)無窮小替換（條件在乘積的條件下）。例3LI1LN3TAI00XX。（7）利用無窮大和無窮小的互為倒數(shù)關(guān)系。例求2LIX。因?yàn)?2LIX，所以2LIMX。（8）冪指函數(shù)求極限若1LIM0UX，0V，則1LIM00XUVVXEU。（9）利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。2無窮?。?）理解無窮小是自變量在趨向于某一點(diǎn)時(shí)函數(shù)極限趨向于零的過程，它與自變量的變化趨勢密切相關(guān)。（2）掌握利用求兩個(gè)無窮小的商的極限比較它們的階的方法。（3）注意在求極限時(shí)，如果兩個(gè)無窮小做加減法，則不能做等價(jià)無窮小的替換。3連續(xù)性的判斷重點(diǎn)是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)性的判斷，此時(shí)需利用左右連續(xù)的概念進(jìn)行判斷。4間斷點(diǎn)（1）掌握間斷點(diǎn)的分類規(guī)則，以及如何求解函數(shù)的間斷點(diǎn)并對其分類。對于初等函數(shù)，首先找出無定義的點(diǎn)，然后通過計(jì)算它的左右極限得出其類型。對于分段函數(shù)，還要討論它的分段點(diǎn)。（2）注意對于可去間斷點(diǎn)，可以通過重新定義該點(diǎn)的函數(shù)值使得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。5閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)掌握利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)來證明某個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足一些特殊性質(zhì)的方法。例如要證明某個(gè)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上可以取到一個(gè)特定數(shù)值時(shí)，通常的方法是在這個(gè)閉區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)函數(shù)值（一般是計(jì)算區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值或者假設(shè)出函數(shù)在該區(qū)間上的最大和最小值），使得它們一大一小，恰好分布在這個(gè)特殊值的兩邊，而后利用介值定理得出結(jié)論。當(dāng)要證明方程0XF在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有根時(shí)，可以在此區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)點(diǎn)，使得XF在這兩點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)，從而利用零點(diǎn)定理得出結(jié)論。5可導(dǎo)、連續(xù)和極限三個(gè)概念的關(guān)系F在點(diǎn)0可導(dǎo)F在點(diǎn)0X連續(xù)XF在點(diǎn)0有極限；但上述關(guān)系反之均不成立。6可導(dǎo)的判斷（1）若函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則必不可導(dǎo)。（2）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)的判斷，需利用左右導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行判斷。7求導(dǎo)數(shù)的方法（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)。（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（3）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。（4）利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意若在方程中出現(xiàn)Y的函數(shù)項(xiàng)，則在對自變量X求導(dǎo)時(shí)，對這一項(xiàng)需利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則。例設(shè)02XYE，求YD。解方程兩邊同時(shí)對X求導(dǎo)，有0D2DXYXEY，所以12YE。（5）利用反函數(shù)求導(dǎo)法則。（6）利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意得到的對的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上仍然由一個(gè)參數(shù)方程所確定。（7）利用對數(shù)求導(dǎo)法則。它主要在如下兩種情況中應(yīng)用（I）冪指函數(shù)求導(dǎo)；（II）需求導(dǎo)的函數(shù)由許多因式利用乘除法結(jié)合得到。（8）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處需利用左右導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)。第3章微分學(xué)的基本定理內(nèi)容提要（一）微分1概念微分的定義設(shè)函數(shù)XFY在點(diǎn)0處可微，給定自變量X的增量0X，稱對應(yīng)的函數(shù)增量00XFF的線性主部XF為函數(shù)F在點(diǎn)0處的微分，記作D0F或0|XY。2常用的微分公式DC（為常數(shù)）XDD1XDOSINSINCOETA2T2TACOTXLD（0，1）XEXDADN1LOG（，A）1|LNXXRCSI2XARCOS2D1ATDD1DT3微分運(yùn)算法則（1）四則運(yùn)算D2121XVKUXVKU；DD；2。（2）復(fù)合函數(shù)微分若UFY，XG，則XGUFYDD。4微分形式的不變性若，則有UF。5微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)|X很小時(shí)，有XFYD0，F(xiàn)XF00。（二）微分中值定理1羅爾定理設(shè)函數(shù)XFY在閉區(qū)間,BA上連續(xù)，在開區(qū)間,BA上可導(dǎo)，且BFAF，則必存在,BA，使得0。2拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)F在閉區(qū)間,上連續(xù)，在開區(qū)間,上可導(dǎo)，則必存在,，使得成立ABF。推論1設(shè)函數(shù)YFX在閉區(qū)間,上連續(xù)，開區(qū)間,AB內(nèi)可導(dǎo)，若對任意,XAB有0FX則FX在,AB上恒為常數(shù)。推論2若在,內(nèi)恒有GF，則存在常數(shù)C，使得CXGF，,。3柯西中值定理設(shè)函數(shù)X和均在閉區(qū)間,BA上連續(xù)，在開區(qū)間,上可導(dǎo)，且它們的導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零，又0G，則必存在，使得成立GFGF。4有限增量公式若函數(shù)XFY在,BA上連續(xù)，在,BA上可導(dǎo)，則AFF，,B?；騒Y，其中F，。（三）洛必達(dá)法則10型的洛必達(dá)法則若XF和G滿足（1）0LIMLI00X；（2）F和在,N內(nèi)可導(dǎo)，且0XG；（3）存在（或?yàn)閄GX0LI，則FFX00LIMLI。（把改為等，法則仍然成立）。2型的洛必達(dá)法則若XF和G滿足（1）XGF00LIM,LI；（2）和在,N內(nèi)可導(dǎo)，且0XG；（3）存在（或?yàn)閄GFX0LI，則FFX00LIMLI。（把改為等，法則仍然成立）。3其他待定型，1，0，。復(fù)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn)微分計(jì)算，中值定理的應(yīng)用，利用洛必達(dá)法則求極限，泰勒公式。難點(diǎn)中值定理的應(yīng)用。1中值定理的應(yīng)用（1）注意中值定理的條件只是充分條件，不是必要條件。（2）中值定理的這些條件缺一不可。（3）中值定理經(jīng)常運(yùn)用在等式和不等式的證明中。例如在證明XGF時(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)XF，將等式轉(zhuǎn)化為0XF的形式，而后驗(yàn)證XF在某個(gè)閉區(qū)間上滿足中值定理的條件，從而得出結(jié)論。在證明一個(gè)不等式時(shí)，可以考慮將其和一個(gè)函數(shù)及此函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值聯(lián)系起來，從而可以利用拉格朗日中值定理得出結(jié)論。3洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是解決待定型極限問題時(shí)的一種簡便而有效的方法，但使用時(shí)注意以下幾點(diǎn)（1）每次使用前必須判斷是否屬于七種待定型1