動力學(xué)基本方程.ppt

1、動力學(xué)引言,動力學(xué)研究物體的機械運動與作用力之間的關(guān)系。 動力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點和質(zhì)點系(包括剛體)。 質(zhì)點:具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。 質(zhì)點系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質(zhì)點所組成的系統(tǒng)。 剛體：質(zhì)點系的一種特殊情形，其中任意兩個質(zhì)點間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點系。,工程實際中的動力學(xué)問題,棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。,工程實際中的動力學(xué)問題,載人飛船的交會與對接,工程實際中的動力學(xué)問題,航空航天器 的姿態(tài)控制,牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻,牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個中等農(nóng)戶家中。在他

2、出生之前父親即去世，他不到三歲時母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。 1661年牛頓進入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時的數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時停辦，他回到老家。這段時間中他發(fā)現(xiàn)了二項式定律，開始了光學(xué)中的顏色實驗，即白光由7種色光構(gòu)成的實驗。而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時，牛頓被選為皇家學(xué)會的會員，這是當(dāng)時英國最高科學(xué)榮譽。, 牛頓在光學(xué)上的主要貢獻是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說。, 牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分，

3、給出了二項式定理。, 牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻，也是牛頓對整個自然科學(xué)的最重要貢獻是他的巨著自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對動力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。,第 15 章 動力學(xué)基本方程,15.1 動力學(xué)的基本定律,第一定律(慣性定律),不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。 質(zhì)點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。,15.1 動力學(xué)的基本定律,第二定律(力與加速度關(guān)系定律),在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點的質(zhì)量是守恒的,質(zhì)點的質(zhì)量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量。上

4、式是推導(dǎo)其它動力學(xué)方程的出發(fā)點，稱為動力學(xué)基本方程。,質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。,15.1 動力學(xué)的基本定律,國際計量標(biāo)準g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2,在國際單位制(SI)中，長度、時間、質(zhì)量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導(dǎo)出量，它們的單位則是導(dǎo)出單位。,在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用 g 表示。由第二定律有,或,15.1 動力學(xué)的基本定律,必須指出的是：質(zhì)點受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一

5、、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。,第三定律（作用與反作用定律）,兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。 以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。,2. 質(zhì)點運動微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影,3. 質(zhì)點運動微分方程在自然軸上投影,1. 矢量形式的質(zhì)點運動微分方程,15.2 質(zhì)點的運動微分方程,15.2 質(zhì)點的運動微分方程,第一類基本問題：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。 第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動。這類問

6、題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。,例10.1,例1 如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M在平面oxy內(nèi)運動，已知其運動方程為xa cos wt，ya sin wt，求作用在質(zhì)點上的力F。,i,j,v,r,F,解：以質(zhì)點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間 t，得,質(zhì)點作橢圓運動。將運動方程對時間求兩階導(dǎo)數(shù)得：,代入質(zhì)點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：,力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。,y,x,x,b,a,O,M,例10.3,例2 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下

7、的運動規(guī)律。,解：研究拋射體, 列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點運動微分方程,積分后得,x,y,M,初始條件為,軌跡方程為：,由此可見，物體的軌跡是一拋物線。,于是物體的運動方程為：,確定出積分常數(shù)為：,15.3.1 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程,主動力:,約束力:,對剛體內(nèi)任一質(zhì)點,根據(jù)質(zhì)點動力學(xué)基本方程：,第一式兩邊同時乘以 ，可得：,對整個剛體則有：,15.3.1剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程,或:,則有：,或,剛體定軸 轉(zhuǎn)動微分方程,稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z軸的轉(zhuǎn)動慣量,令,15.3.2 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量,1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算,(1)均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量,由 ，得,（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,（3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,式中：,或,15.3.2 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量,2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）,或,3平行軸定理,即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.,15.3