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1、第9章 代數(shù)系統(tǒng),離 散 數(shù) 學(xué),中國(guó)地質(zhì)大學(xué)本科生課程,a,2,代數(shù)學(xué)的新生,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),a,3,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wal-muqabala 還原與對(duì)消計(jì)算概要 (約 820),Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850,al-jabr,algebra,探討了算術(shù)問(wèn)題的一般性解法,a,4,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,F. Vieta, 1540-1603,韋達(dá)把符號(hào)性代數(shù)稱(chēng)作“類(lèi)的算術(shù)”,同時(shí)規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界,認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行
2、于事物的類(lèi)或形式,算術(shù)運(yùn)算僅施行于具體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類(lèi)型的形式和方程的學(xué)問(wèn),因其抽象而應(yīng)用更為廣泛。,缺點(diǎn):齊性原則,a,5,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,基本問(wèn)題:如何求解三次和四次代數(shù)方程的根,(1515, S. Ferro),x3 + px = q (p, q 0),Tartaglia,1499-1557 Niccolo Fontana,x3 + px2 = q (p, q 0),A. M. Fior,1535,a,6,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,G. Cardano, 1501-1576,Ars Magna 大法 1545年,包含三次方程和四次方程的代數(shù)解法,根的個(gè)數(shù),a,7,2、代數(shù)
3、方程的可解性,18世紀(jì)后半葉,數(shù)學(xué)內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開(kāi)始醞釀新的變革。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們面臨一系列數(shù)學(xué)發(fā)展里程中自身提出的、長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題,其中最突出的是: 高于四次的代數(shù)方程的根式求解問(wèn)題; 歐幾里得幾何中平行公理的證明問(wèn)題; 微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題。,a,8,2、代數(shù)方程的可解性,中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把代數(shù)學(xué)看成是解代數(shù)方程的學(xué)問(wèn),他們系統(tǒng)地解決了二次方程的求根問(wèn)題;文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)家們繼承了這一傳統(tǒng),但又有所突破。他們成功地解決了三次和四次代數(shù)方程的求根問(wèn)題,并將符號(hào)與數(shù)字的運(yùn)算統(tǒng)一起來(lái),創(chuàng)立了類(lèi)的算術(shù)。,基本問(wèn)題:五次或更高次的代數(shù)方程的根式解。,即在n 5時(shí),對(duì)于形如 xn
4、 + a1xn1 + + a n1x + an = 0 的代數(shù)方程,它的解能否通過(guò)只對(duì)方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運(yùn)算的公式得到。,a,9,2、代數(shù)方程的可解性,J. L. Lagrange 1736-1813,1770年: 關(guān)于代數(shù)方程解的思考,不可能用根式解四次以上的方程,a,10,2、代數(shù)方程的可解性,N. H. Abel, 1802-1829,1824年: 論代數(shù)方程, 證明一般五次方程的 不可解性,方程次數(shù)大于等于五時(shí),任何以其系數(shù)符號(hào)組成的根式都不可能表示方程的一般解。,阿貝爾方程,a,11,3、群的發(fā)現(xiàn),基本問(wèn)題:什么樣的特殊方程能夠用根式來(lái)求解?,E. Galo
5、is, 1811-1832,置換群,伽羅瓦群,伽羅瓦證明了: 當(dāng)且僅當(dāng)方程的群滿足一定條件(即它是可解群)時(shí),方程才是根式可解的。 也就是說(shuō),他找到了方程根式可解的充分必要條件。,a,12,3、群的發(fā)現(xiàn),伽羅瓦關(guān)于群的發(fā)現(xiàn)工作,可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因?yàn)樗鉀Q了方程根式可解性這樣一個(gè)難題,更重要的是群的概念的引進(jìn)導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)在對(duì)象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,群可以理解為一類(lèi)對(duì)象的集合,這些對(duì)象之間存在著類(lèi)似于加法或乘法那樣的二元運(yùn)算關(guān)系,這種運(yùn)算使得該集合滿足封閉性、結(jié)合性,并在其中存在著單位元和逆元素。,群概念的劃時(shí)代意義在于:代數(shù)學(xué)由于群的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得了新生,它不再僅
6、僅是研究代數(shù)方程,而更多地是研究各種抽象“對(duì)象”的運(yùn)算關(guān)系,一方面,數(shù)的概念有了極大推廣,另一方面,許多抽象的對(duì)象,在更高層次上與數(shù)的概念獲得了統(tǒng)一。,a,13,代數(shù),方程與根 數(shù)系擴(kuò)張 行列式與矩陣 布爾代數(shù) 代數(shù)數(shù)論,突破傳統(tǒng),19世紀(jì)的代數(shù),a,14,高斯(聯(lián)邦德國(guó), 1955),1799年高斯(德, 1777-1855)代數(shù)基本定理,代數(shù)方程根式解,高斯,數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家 1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué) 正17邊形尺規(guī)作圖法(1796) 數(shù)論、代數(shù)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn) 近代數(shù)學(xué)奠基者之一,“數(shù)學(xué)王子” “寧可少些,但要好些?!?a,15,高斯和正十
7、七邊形 (民主德國(guó), 1977),代數(shù)方程根式解,a,16,代數(shù)方程根式解,高斯墓,a,17,1824年阿貝爾(挪, 1802-1829)定理,拉格朗日,1770年拉格朗日(法, 1736-1813)關(guān)于代數(shù)方程解的思考:預(yù)解式,代數(shù)方程根式解,1799年魯菲尼(意, 1765-1822)定理,魯菲尼,阿貝爾,伽羅瓦,18291831年伽羅瓦(法, 1811-1832)理論,a,18,代數(shù)方程根式解,阿貝爾,阿貝爾(挪,18021829)貢獻(xiàn):方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)和橢圓函數(shù)論 16歲開(kāi)始閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、高斯的著作 1821年,阿貝爾進(jìn)入奧斯陸大學(xué),1824年,證明了一般五次方程根式解的不
8、可能性 1825.5到柏林,五次方程論文發(fā)表于克雷勒雜志、完成了橢圓函數(shù)的論文 1826.7到巴黎,論文提交法國(guó)科學(xué)院 1827.5回到奧斯陸 1841年橢圓函數(shù)論論文發(fā)表,1908年維格蘭(挪, 1869-1943)雕塑的阿貝爾塑像,a,19,數(shù)學(xué)獎(jiǎng),阿貝爾獎(jiǎng)(2003- ),1898年挪威數(shù)學(xué)家李(1842-1899)提議設(shè)立阿貝爾獎(jiǎng)。 挪威政府撥款2億挪威克郎(約合人民幣2.73億元)設(shè)立阿貝爾紀(jì)念基金,在阿貝爾誕辰200周年之際設(shè)立阿貝爾獎(jiǎng), 從2003年起每年頒發(fā)一次。 阿貝爾獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給那些在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家,獎(jiǎng)金額為600萬(wàn)挪威克朗。,阿貝爾的塑像 (挪威, 1983),
9、a,20,數(shù)學(xué)獎(jiǎng),阿貝爾獎(jiǎng)(2003- ),2003年塞爾(法, 1926- )關(guān)于代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何獲獎(jiǎng),a,21,數(shù)學(xué)獎(jiǎng),阿貝爾獎(jiǎng)(2003- ),2003年塞爾(法, 1926- )關(guān)于代數(shù)拓?fù)?、代?shù)幾何獲獎(jiǎng),a,22,伽羅瓦(法,1811-1832) (法國(guó), 1984),代數(shù)方程根式解,伽羅瓦貢獻(xiàn):群論,宣告方程根式解這一經(jīng)歷了300年問(wèn)題的徹底解決,及尺規(guī)作圖中“三等分任意角”問(wèn)題和“倍立方”問(wèn)題不可能 在中學(xué)讀書(shū)時(shí),已經(jīng)熟悉歐拉、高斯、雅可比(德,18041851年)的著作 1829年進(jìn)入巴黎高等師范學(xué)校 18291831年提交法國(guó)科學(xué)院的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?wù)撐?,分別交柯西、傅里葉、泊松 1
10、831年1月被校方開(kāi)除,兩次入獄,死于為“愛(ài)情與榮譽(yù)”的決斗 1846年論文發(fā)表,伽羅瓦的遺書(shū) 我請(qǐng)求我的愛(ài)國(guó)同胞們,我的朋友們,不要指責(zé)我不是為我的國(guó)家而死。 我是作為一個(gè)不名譽(yù)的風(fēng)騷女人和她的兩個(gè)受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結(jié)束我的生命。噢!為什么要為這么微不足道的,這么可鄙的事去死呢?我懇求蒼天為我作證,只有武力和強(qiáng)迫才使我在我曾想方設(shè)法避開(kāi)的挑釁中倒下。 我親愛(ài)的朋友,我已經(jīng)得到分析學(xué)方面的一些新發(fā)現(xiàn)。 在我一生中,我常常敢于預(yù)言當(dāng)時(shí)我還不十分有把握的一些命題。但是我在這里寫(xiě)下的這一切已經(jīng)清清楚楚地在我的腦海里一年多了,我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。 請(qǐng)公開(kāi)
11、請(qǐng)求雅可比或高斯就這些定理的重要性(不是就定理的正確與否)發(fā)表他們的看法。然后,我希望有人會(huì)發(fā)現(xiàn)將這些整理清楚會(huì)是很有益處的一件事。 熱烈地?fù)肀恪?伽羅瓦,a,23,代數(shù)方程根式解,有限置換群 1849-1854年凱萊(英, 1821-1895)引入抽象群,伽羅瓦域 1893年韋伯(德, 1842-1913)抽象域,抽象化嘗試,a,24,1811,1831年高斯(德, 1777-1855)討論了復(fù)數(shù)幾何表示,1797年威塞爾(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德(瑞, 1768-1822)討論了復(fù)數(shù)幾何表示,數(shù)系擴(kuò)張,1747年達(dá)朗貝爾(法, 1717-1783)斷言復(fù)數(shù)表示為a+i
12、b, 1777年歐拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虛數(shù)單位,1737年歐拉(瑞, 1701-1783)證明了e是無(wú)理數(shù) 1761年蘭伯特(法, 1728-1777)證明了是無(wú)理數(shù) 1844年劉維爾(法, 1809-1882)第一次顯示了超越數(shù)的存在 1873年和1882年埃爾米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)分別證明了e和是超越數(shù),“化圓為方”問(wèn)題的不可能 歐拉常數(shù) 是否是無(wú)理數(shù)?,實(shí)數(shù),復(fù)數(shù),a,25,1837年哈密頓(愛(ài)爾蘭, 1805-1865)表示復(fù)數(shù)為有序?qū)崝?shù)對(duì) 1843年哈密頓(愛(ài)爾蘭, 1805-1865)定義了四元數(shù),數(shù)系擴(kuò)張,184
13、4年格拉斯曼(德, 1809-1877)引進(jìn)了n個(gè)分量的超復(fù)數(shù),1847年凱萊(英, 1821-1895)定義了八元數(shù),麥克斯韋(英, 1831-1879)創(chuàng)造了向量分析,a,26,哈密頓的四元數(shù) (愛(ài)爾蘭, 1983),數(shù)系擴(kuò)張,哈密頓(愛(ài)爾蘭,18051865年 ),光學(xué)、力學(xué)和代數(shù) 自幼聰明,具有非凡的語(yǔ)言能力,“神童” 1820年已閱讀牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,拉普拉斯的天體力學(xué),1823年進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院 1834年發(fā)表論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方法” 1843年10月16日定義了四元數(shù)“思想電路接通之火花” 18371845年任愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng) 英國(guó)聲譽(yù)僅次于牛頓的數(shù)學(xué)家,物理學(xué)
14、家,a,27,1683年關(guān)孝和(日, 1642-1708,“算圣”)完成解伏題之法提出行列式理論和代數(shù)方程變換理論 1750年克萊姆(瑞, 1704-1752)法則 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展開(kāi)定理 1841年凱萊(英, 1821-1895)行列式記號(hào) 1852年西爾維斯特(英, 1814-1897)慣性定理 1854年埃爾米特(法, 1822-1910)使用了正交矩陣 1858年凱萊證明了凱萊-哈密頓(愛(ài)爾蘭, 1805-1865)定理 1870年若爾當(dāng)(法, 1838-1921)建立了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 1879年弗羅貝尼斯(德,
15、1849-1917)引入矩陣的秩,行列式與矩陣,a,28,凱萊,西爾維斯特,埃爾米特,弗羅貝尼斯,若爾當(dāng),行列式與矩陣,克萊姆,拉普拉斯,關(guān)孝和,a,29,布爾代數(shù),來(lái)源于對(duì)數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)的探討, 萊布尼茨(德, 1646-1716)提出思維演算和邏輯的數(shù)學(xué)化思想 德 摩根(英, 1806-1871)1847年形式邏輯首創(chuàng)關(guān)系邏輯研究,德 摩根,布 爾,施羅德,施羅德(德, 1841-1902)邏輯代數(shù)講義(1890-1905)把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰,布爾(英, 1815-1864)用代數(shù)方法建立了邏輯代數(shù), 1847年和1854年布爾出版邏輯的數(shù)學(xué)分析和思維規(guī)律研究,a,30,布爾代數(shù),布
16、爾(英, 1815-1864),數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)家,50篇學(xué)術(shù)論文和兩部教科書(shū),19世紀(jì)數(shù)理邏輯的最杰出代表 “自學(xué)成才”著稱(chēng)于世,掌握了拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)、意大利語(yǔ)、法語(yǔ)和德語(yǔ),自學(xué)了牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,拉格朗日解析函數(shù)論和拉普拉斯天體力學(xué) 1839年申請(qǐng)進(jìn)劍橋大學(xué),1844年發(fā)表“關(guān)于分析中的一般方法” 1849年愛(ài)爾蘭科克皇后學(xué)院數(shù)學(xué)教授,1857年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員,a,31,本章說(shuō)明,本章的主要內(nèi)容 一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例 二元運(yùn)算的性質(zhì) 代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例 子代數(shù),與后面各章的關(guān)系 是后面典型代數(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ),a,32,9.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì) 9.2 代數(shù)系統(tǒng) 9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同
17、態(tài)與同構(gòu) 本章小結(jié) 作 業(yè),本章內(nèi)容,a,33,9.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì),定義9.1 設(shè)S為集合,函數(shù) f:SSS 稱(chēng)為S上的二元運(yùn)算,簡(jiǎn)稱(chēng)為二元運(yùn)算。 舉例 f:NNN,f()x +y 是自然數(shù)集合N上的二元運(yùn)算 f:NNN,f()x - y 不是自然數(shù)集合N上的二元運(yùn)算 稱(chēng)N對(duì)減法不封閉。,說(shuō)明,驗(yàn)證一個(gè)運(yùn)算是否為集合S上的二元運(yùn)算主要考慮兩點(diǎn): S中任何兩個(gè)元素都可以進(jìn)行這種運(yùn)算,且運(yùn)算的結(jié)果是唯一的。 S中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于S,即S對(duì)該運(yùn)算是封閉的。,a,34,(1)自然數(shù)集合N上的加法和乘法是N上的二元運(yùn)算,但減 法和除法不是。 (2)整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上
18、的二元運(yùn)算 ,而除法不是。 (3)非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算,加 法、減法不是。 (4)設(shè)Sa1,a2,an,aiaj =ai為S上二元運(yùn)算。,例9.1,a,35,例9.1,(5)設(shè)Mn(R)表示所有n階(n2)實(shí)矩陣的集合,即,則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算。 (6)S為任意集合,則、 為P(S)上的二元運(yùn)算。 (7)SS為S上的所有函數(shù)的集合,則合成運(yùn)算為SS上的二元運(yùn) 算。,a,36,一元運(yùn)算,定義9.2 設(shè)S為集合,函數(shù)f:SS稱(chēng)為S上的一元運(yùn)算,簡(jiǎn)稱(chēng)為一元運(yùn)算。 例10.3 (1)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是整數(shù)集合Z、有理數(shù)集合Q和實(shí)數(shù)集 合R上的一元運(yùn)算。
19、 (2)求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是非零有理數(shù)集合Q*、非零實(shí)數(shù)集合R* 上的一元運(yùn)算。 (3)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算。,a,37,(4)在冪集P(S)上,如果規(guī)定全集為S,則求集合的絕對(duì)補(bǔ) 運(yùn)算是P(S)上的一元運(yùn)算。 (5)設(shè)S為集合,令A(yù)為S上所有雙射函數(shù)的集合,ASS, 求一個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運(yùn)算。 (6)在n(n2)階實(shí)矩陣的集合Mn(R)上,求一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置 矩陣是Mn(R)上的一元運(yùn)算。,一元運(yùn)算舉例,a,38,可以用、等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算,稱(chēng)為算符。 設(shè)f : SSS是S上的二元運(yùn)算,對(duì)任意的x, yS,如果x與y的運(yùn)算結(jié)果為z,即f()z,可以利用算
20、符簡(jiǎn)記為 xy = z。 對(duì)一元運(yùn)算,x的運(yùn)算結(jié)果記作x。 例題 設(shè)R為實(shí)數(shù)集合,如下定義R上的二元運(yùn)算 : x,yR,x y = x。 那么 3 4 = 3,0.5 (3) = 0.5。,二元與一元運(yùn)算的算符,a,39,函數(shù)的解析公式 運(yùn)算表(表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算),二元與一元運(yùn)算的表示,a,40,例9.4 設(shè)S=1,2,給出P(S)上的運(yùn)算和的運(yùn)算表 ,其中全集為S。,解答,例9.4,a,41,例9.5 設(shè)S=1,2,3,4,定義S上的二元運(yùn)算如下: x y(xy) mod 5, x,yS 求運(yùn)算的運(yùn)算表。,解答,例9.5,a,42,定義9.3 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的x
21、,yS都有xy=yx,則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿足交換律。 定義9.4 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz),則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿足結(jié)合律。 說(shuō)明:若+適合結(jié)合律,則有 (x+y)+(u+v) x+y+u+v。 定義9.5 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的xS有xx=x,則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿足冪等律。如果S中的某些x滿足xx=x,則稱(chēng)x為運(yùn)算的冪等元。 舉例:普通的加法和乘法不適合冪等律。但0是加法的冪等元,0和1是乘法的冪等元。,二元運(yùn)算的性質(zhì),a,43,例題,Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集;Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合, n2;P(B)為冪集;AA為從A到A的
22、函數(shù)集,|A|2 。,a,44,定義9.6 設(shè)和為S上兩個(gè)二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的x,y,zS,有 x(yz) (xy) (xz)(左分配律)(yz)x (yx) (zx)(右分配律) 則稱(chēng)運(yùn)算對(duì)運(yùn)算滿足分配律。 說(shuō)明:若*對(duì)運(yùn)算分配律成立,則*對(duì)運(yùn)算廣義分配律也成立。 x(y1 y2 yn ) (xy1)(x y2) (x yn) (y1 y2 yn )x (y1x) (y2x) (ynx) 定義9.7 設(shè)和為S上兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的x,yS,都有 x(xy)x x(xy)x 則稱(chēng)運(yùn)算和滿足吸收律。,二元運(yùn)算的性質(zhì),a,45,Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集;Mn(R
23、)為n階實(shí)矩陣集合,n2;P(B)為冪集;AA為從A到A的函數(shù)集,|A|2 。,例題,a,46,定義9.8 設(shè)為S上的二元運(yùn)算, 如果存在元素el(或er)S,使得對(duì)任意xS都有 elx = x (或xer = x) 則稱(chēng)el (或er)是S中關(guān)于運(yùn)算的一個(gè)左單位元(或右單位元)。 若eS關(guān)于運(yùn)算既是左單位元又是右單位元,則稱(chēng)e為S上關(guān)于運(yùn)算的單位元。單位元也叫做幺元。,運(yùn)算可以沒(méi)有左單位元和右單位元。 運(yùn)算可以只有左單位元。 運(yùn)算可以只有右單位元。 運(yùn)算可以既有左單位元,又有右單位元。,說(shuō)明,二元運(yùn)算中的特異元素單位元,a,47,二元運(yùn)算中的特異元素零元,定義9.9 設(shè)為S上的二元運(yùn)算, 如
24、果存在元素l(或r)S,使得對(duì)任意xS都有 lx = l (或xr = r), 則稱(chēng)l (或r)是S上關(guān)于運(yùn)算的左零元(或右零元)。 若S關(guān)于運(yùn)算既是左零元又是右零元,則稱(chēng)為S上關(guān)于運(yùn)算的零元。,運(yùn)算可以沒(méi)有左零元和右零元。 運(yùn)算可以只有左零元。 運(yùn)算可以只有右零元。 運(yùn)算可以既有左零元,又有右零元。,說(shuō)明,a,48,二元運(yùn)算中的特異元素逆元,定義9.10 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,eS為運(yùn)算的單位元,對(duì)于xS, 如果存在yl(或yr)S使得 ylxe(或xyre) 則稱(chēng)yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)。 若yS既是x的左逆元又是x的右逆元,則稱(chēng)y為x的逆元。 如果x的逆元存在,則稱(chēng)x是可逆的
25、。,運(yùn)算可以沒(méi)有左逆元和右逆元。 運(yùn)算可以只有左逆元。 運(yùn)算可以只有右逆元。 運(yùn)算可以既有左逆元,又有右逆元。,說(shuō)明,a,49,特異元素的實(shí)例,a,50,定理9.1,定理9.1 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,el、er分別為運(yùn)算的左單位元和右單位元,則有 el = er = e 且e 為S上關(guān)于運(yùn)算的唯一的單位元。,el eler (er為右單位元) eler er (el為左單位元) 所以el = er,將這個(gè)單位元記作e。 假設(shè)e也是S中的單位元,則有 e = ee = e 所以,e 是S中關(guān)于運(yùn)算的唯一的單位元。,證明,a,51,定理9.2,定理9.2 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,l和r分別為運(yùn)算的左零元
26、和右零元,則有 l = r = 且為S上關(guān)于運(yùn)算的唯一的零元。,l lr (r為左零元) lr r (l為右零元) 所以l = r,將這個(gè)零元記作 。 假設(shè) 也是S中的零元,則有 = = 所以, 是S中關(guān)于運(yùn)算的唯一的零元。,證明,a,52,定理9.3,定理9.3 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,e 和分別為運(yùn)算的單位元和零元,如果S至少有兩個(gè)元素,則e。,用反證法。 假設(shè) e = ,則xS有 x x e x 這與S中至少含有兩個(gè)元素矛盾。 所以,假設(shè)不 成立,即e。,證明,a,53,定理9.4,定理9.4 設(shè)為S上可結(jié)合的二元運(yùn)算,e為該運(yùn)算的單位元,對(duì)于xS,如果存在左逆元yl和右逆元yr,則有 yl
27、 = yr= y 且y是x的唯一的逆元。,由 ylx = e 和 xyr = e ,得,證明,yl = yle,令yl = yr = y,則y是x的逆元。,= yl (xyr),= (ylx) yr,= eyr,= yr,假若yS也是x的逆元,則,y= ye,= y (xy),= (yx) y,= ey,= y,所以y是x唯一的逆元,記作x1。,a,54,消去律,定義9.11 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的x,y,zS,滿足以下條件: (1)若xy xz且x ,則y z (左消去律) (2)若yx zx且x ,則yz (右消去律) 則稱(chēng)運(yùn)算滿足消去律。 例如: 整數(shù)集合上的加法和乘法都滿足
28、消去律。 冪集P(S)上的并和交運(yùn)算一般不滿足消去律。,a,55,例9.6,例9.6 對(duì)于下面給定的集合和該集合上的二元運(yùn)算,指出該運(yùn)算的性質(zhì),并求出它的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。 (1)Z+,x,yZ+,xylcm(x,y),即求x和y的最小公倍數(shù)。 (2)Q,x,yQ,xy=x+y-xy,解答,(1)運(yùn)算可交換、可結(jié)合、是冪等的。 xZ+,x1=x , 1x=x ,1為單位元。 不存在零元。 只有1有逆元,是它自己,其他正整數(shù)無(wú)逆元。,a,56,例9.6,(2) Q,x,yQ,xy=x+y-xy 運(yùn)算滿足交換律,因?yàn)閤,yQ,有 xy =x+y-xy = y+x-yx = yx 運(yùn)
29、算滿足結(jié)合律,因?yàn)閤,y,zQ,有 (xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 運(yùn)算不滿足冪等律,因?yàn)?Q,但 22 =2+2-2202 運(yùn)算滿足消去律,因?yàn)閤,y,zQ,x1(1為零元),有 xy = xz x+y-xy=x+z-xz y-z = x(y-z) y=z 由于是可交換的,所以右消去律成立。同理可證明左消去律成立,所以消去律成立。,a,57,例9.6,0是運(yùn)算的單位元,因?yàn)?xQ,有 x0=x+0-x0=
30、x=0 x 1是運(yùn)算的零元,因?yàn)?xQ,有 x1=x+1-x1=1=1x xQ,欲使 xy=0和 yx=0成立,即 x+y-xy = 0 得,所以,,a,58,例9.7,例9.7 設(shè)A=a,b,c,A上的二元運(yùn)算、如表所示。 (1)說(shuō)明、運(yùn)算是否滿足交換律、結(jié)合律、消去律和冪等律。 (2)求出關(guān)于、運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。,運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和消去律,不滿足冪等律。單位元是a,沒(méi)有零元,且a-1=a,b-1=c,c-1=b。 運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和冪等律,不滿足消去律。單位元是a,零元是b,只有a有逆元,a-1=a。 運(yùn)算滿足結(jié)合律和冪等律,不滿足交換律和消去律。沒(méi)有單位
31、元,沒(méi)有零元,沒(méi)有可逆元。,解答,復(fù)習(xí),分析,a,59,9.2 代數(shù)系統(tǒng),定義9.12 非空集合S和S上k個(gè)一元或二元運(yùn)算f1,f2, fk組成的系統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù),記做。 實(shí)例: 、都是代數(shù)系統(tǒng),其中+和分別表示普通加法和乘法。 是代數(shù)系統(tǒng),其中和分別表示n階(n2)實(shí)矩陣的加法和乘法。 是代數(shù)系統(tǒng),其中和為并和交,為絕對(duì)補(bǔ)。 是代數(shù)系統(tǒng),其中 Zn0,1,2, ,n-1 和分別表示模n的加法和乘法。,a,60,集合(規(guī)定了參與運(yùn)算的元素) 運(yùn)算(只討論有限個(gè)二元和一元運(yùn)算) 代數(shù)常數(shù) 在定義代數(shù)系統(tǒng)的時(shí)候,如果把零元和單位元也作為系統(tǒng)的性質(zhì),稱(chēng)這些元素為該代數(shù)系統(tǒng)的特異元素或代
32、數(shù)常數(shù)。 有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)某個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是含有代數(shù)常數(shù)的系統(tǒng),也可以把這些代數(shù)常數(shù)列到系統(tǒng)的表達(dá)式中。 例如:代數(shù)系統(tǒng)。,代數(shù)系統(tǒng)的成分,a,61,列出所有的成分:集合、運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)(如果存在) 例如 , 列出集合和運(yùn)算,在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時(shí)不涉及具有單位元的性質(zhì)(無(wú)代數(shù)常數(shù)) 例如 , 用集合名稱(chēng)簡(jiǎn)單標(biāo)記代數(shù)系統(tǒng) 例如 在前面已經(jīng)對(duì)代數(shù)系統(tǒng)作了說(shuō)明的前提下,上述兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)記為Z, P(S),代數(shù)系統(tǒng)的表示,a,62,定義9.13 如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)相同,對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)相同,且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同,則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)具有相同的構(gòu)成成分,也稱(chēng)它們是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)。 例如 V1= V2
33、= V1、V2是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng),因?yàn)樗鼈兌己?個(gè)二元運(yùn)算, 1個(gè)一元運(yùn)算, 2個(gè)代數(shù)常數(shù)。但是它們的運(yùn)算性質(zhì)不一樣。,同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng),a,63,在規(guī)定了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成成分,即集合、運(yùn)算以及代數(shù)常數(shù)以后,如果在對(duì)這些性質(zhì)所遵從的算律加以限制,那么滿足這些條件的代數(shù)系統(tǒng)就具有完全相同的性質(zhì),從而構(gòu)成了一類(lèi)特殊的代數(shù)系統(tǒng)。 例如:代數(shù)系統(tǒng)V,如果*是可結(jié)合的,則稱(chēng)V為半群。如、等都是半群。 從代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成成分和遵從的算律出發(fā),將代數(shù)系統(tǒng)分類(lèi),然后研究每一類(lèi)代數(shù)系統(tǒng)的共同性質(zhì),并將研究的結(jié)果運(yùn)用到具體的代數(shù)系統(tǒng)中去。(抽象代數(shù)的基本方法) 以后各章分別就幾類(lèi)重要的代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行分析。,代數(shù)系
34、統(tǒng)地說(shuō)明,a,64,定義9.14設(shè)V是代數(shù)系統(tǒng),BS,如果B對(duì)f1, f2, , fk 都是封閉的,且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù),則稱(chēng)是V的子代數(shù)系統(tǒng),簡(jiǎn)稱(chēng)子代數(shù)。簡(jiǎn)記為B。 例如: N是的子代數(shù),N也是的子代數(shù)。 N0是的子代數(shù),但不是的子代數(shù)。,子代數(shù)和原代數(shù)具有相同的成分,運(yùn)算性質(zhì)也相同,是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng),在許多方面與原代數(shù)非常相似,不過(guò)可能小一些。 對(duì)于任何代數(shù)系統(tǒng),其子代數(shù)一定存在。,說(shuō)明,子代數(shù),a,65,最大的子代數(shù):就是V本身。 最小的子代數(shù):如果令V中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是B,且B對(duì)V中所有的運(yùn)算都是封閉的,則B就構(gòu)成了V的最小的子代數(shù)。 平凡的子代數(shù):最大和最小的子代數(shù)稱(chēng)
35、為V的平凡的子代數(shù)。 真子代數(shù):若B是S的真子集,則B構(gòu)成的子代數(shù)稱(chēng)為V的真子代數(shù)。,子代數(shù)的相關(guān)概念,a,66,例9.8 設(shè)V=,令 nZ=nz | zZ,n為自然數(shù), 則nZ是V的子代數(shù)。,任取nZ中的兩個(gè)元素nz1和nz2(z1,z2Z ),則有 nz1+nz2 n(z1+z2 )nZ 即nZ對(duì)+運(yùn)算是封閉的。又 0=n0 nZ 所以,nZ是V的子代數(shù)。,證明,當(dāng)n=1和0時(shí),nZ是V的平凡子代數(shù),其他的都是V的非平 凡的真子代數(shù)。,說(shuō)明,例9.8,a,67,積代數(shù),定義9.15 設(shè) V1=和 V2=是代數(shù)系統(tǒng), 其中和 是二元運(yùn)算. V1與V2 的積代數(shù)V=, , S1S2 , =,例
36、 V1=, V2=, 積代數(shù) , ZM2(R) , = ,a,68,積代數(shù)的性質(zhì),設(shè) V1=和 V2=是代數(shù)系統(tǒng),其中和 是二元 運(yùn)算. V1 與 V2 的積代數(shù)是 V= (1) 若 和 運(yùn)算是可交換的,那么 運(yùn)算也是可交換的 (2) 若 和 運(yùn)算是可結(jié)合的,那么 運(yùn)算也是可結(jié)合的 (3) 若 和 運(yùn)算是冪等的,那么 運(yùn)算也是冪等的 (4) 若 和 運(yùn)算分別具有單位元 e1 和 e2,那么 運(yùn)算 也具有單位元 (5) 若 和 運(yùn)算分別具有零元 1 和 2,那么 運(yùn)算 也具有零元 (6) 若 x 關(guān)于 的逆元為 x1, y 關(guān)于 的逆元為 y1,那么 關(guān)于 運(yùn)算也具有逆元,a,69,9.3 代數(shù)
37、系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu),同態(tài)映射的定義 同態(tài)映射的分類(lèi) 單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu) 自同態(tài) 同態(tài)映射的實(shí)例 滿同態(tài)映射的性質(zhì),a,70,定義9.16 設(shè) V1=和 V2=是代數(shù)系統(tǒng),其中 和 是二元運(yùn)算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x y) = f(x) f( y) 則稱(chēng) f 為V1到 V2 的同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài).,同態(tài)映射的定義,a,71,同態(tài)映射的定義(續(xù)),例1 V=, 判斷下面的哪些函數(shù)是V 的同態(tài)? (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1,解 (1) 是同態(tài), f(xy)
38、= |xy| = |x| |y| = f(x) f(y),(4) 是同態(tài), f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y),(3) 是同態(tài), f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y),(2) 不是同態(tài),f(22)=f(4)=8, f(2) f(2)=4 4=16,(5) 不是同態(tài),f(11)=f(1)= 1, f(1) f(1)=(1)(1)=1,(6) 不是同態(tài),f(11)=f(1)=2, f(1) f(1)=22=4,a,72,特殊同態(tài)映射的分類(lèi),同態(tài)映射如果是單射,則稱(chēng)為單同態(tài); 如果是滿射,則稱(chēng)為滿同態(tài),這時(shí)稱(chēng)V2是V1的同態(tài)像,記作
39、V1V2; 如果是雙射,則稱(chēng)為同構(gòu),也稱(chēng)代數(shù)系統(tǒng)V1同構(gòu)于V2,記作 V1V2. 對(duì)于代數(shù)系統(tǒng) V,它到自身的同態(tài)稱(chēng)為自同態(tài). 類(lèi)似地可以定義單自同態(tài)、滿自同態(tài)和自同構(gòu).,a,73,例2 (1) 設(shè)V=,aZ,令 fa : ZZ,fa(x)=ax 那么 fa是V的自同態(tài). 因?yàn)閤,yZ,有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 當(dāng) a = 0 時(shí)稱(chēng) f0為零同態(tài);當(dāng)a=1時(shí),稱(chēng) fa為自同構(gòu);除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài). (2) 設(shè)V1=, V2=,其中Q*=Q0,令 f: QQ*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同態(tài)映射,因?yàn)閤,yQ有 f(x+y)=ex+y=exey=f(x) f(y). 不難看出 f 是單同態(tài).,同態(tài)映射的實(shí)例,a,74,(3) V=, fp:ZnZn, fp(x) = (xp) mod n,p = 0, 1, , n1. x, yZn, fp(xy)=(xy)p) mod n = (xp) mod n (yp) mod n = fp(x) fp(y) 例如,n=6. f0(x)=0, f1(x)=x, f2(0) = f2(3) = 0, f2(1) = f2(4) = 2, f2(2) = f2(5)
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