時(shí)間序列分析模型實(shí)例

1、時(shí)間序列分析模型,1 時(shí)間序列分析模型簡(jiǎn)介,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,一、問(wèn)題分析,二、模型假設(shè),三、模型建立,四、模型預(yù)測(cè),五、結(jié)果分析,六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn),一、時(shí)間序列分析模型概述,1、自回歸模型,2、移動(dòng)平均模型,3、自回歸移動(dòng)平均模型,二、隨機(jī)時(shí)間序列的特性分析,三、模型的識(shí)別與建立,四、模型的預(yù)測(cè),時(shí)間序列的分類(lèi),隨機(jī)性時(shí)間序列模型的特點(diǎn),把時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為由隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的樣本來(lái)分析 多數(shù)影響時(shí)間序列的因素具有隨機(jī)性質(zhì)，因此時(shí)間序列的變動(dòng)具有隨機(jī)性質(zhì) 隨機(jī)過(guò)程分為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列叫做平穩(wěn)性時(shí)間序列 由非平穩(wěn)隨

2、機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列叫做非平穩(wěn)性時(shí)間序列,平穩(wěn)序列(stationary series) 基本上不存在趨勢(shì)的序列，各觀察值基本上在某個(gè)固定的水平上波動(dòng) 或雖有波動(dòng)，但并不存在某種規(guī)律，而其波動(dòng)可以看成是隨機(jī)的 非平穩(wěn)序列 (non-stationary series) 有趨勢(shì)的序列：線性的，非線性的 有趨勢(shì)、季節(jié)性和周期性的復(fù)合型序列,平穩(wěn)時(shí)間序列,非平穩(wěn)時(shí)間序列,平穩(wěn)性時(shí)間序列,由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列的性質(zhì)： 概率分布函數(shù)不隨時(shí)間的平移而變化，即： P（Y1，Y2， ，Yt）=P（Y1+m，Y2+m， ，Yt+m) 期望值、方差和自協(xié)方差是不依賴于時(shí)間的常數(shù)，即： E（Yt）=E（Yt

3、+m） Var（Yt）= Var（Y t+m） Cov（Yt，Y t+k）= Cov（Y t+m，Y t+m+k） 隨機(jī)性時(shí)間序列模型是以時(shí)間序列的平穩(wěn)性為基礎(chǔ)建立的,隨機(jī)性時(shí)間序列模型的特點(diǎn),利用時(shí)間序列中的自相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析和建摸 時(shí)間序列的自相關(guān)關(guān)系是指時(shí)間序列在不同時(shí)期觀測(cè)值之間的相關(guān)關(guān)系 許多因素產(chǎn)生的影響不是瞬間的，而是持續(xù)幾個(gè)時(shí)期或更長(zhǎng)時(shí)間，因此時(shí)間序列在不同時(shí)期的值往往存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系 用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)衡量時(shí)間序列中的自相關(guān)關(guān)系,時(shí)間序列的自相關(guān)關(guān)系,自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) 樣本的自相關(guān)函數(shù) 偏自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù) 樣本的偏自相關(guān)函數(shù),自相關(guān)

4、函數(shù),對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，滯后期為 K 的自相關(guān)函數(shù)定義為滯后期為 K 的自協(xié)方差與方差之比,樣本自相關(guān)函數(shù),樣本自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),可以用來(lái)判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性 平穩(wěn)性時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)值隨滯后期的延長(zhǎng)很快趨近于零 可以較好描述季節(jié)性變動(dòng)或其他周期性波動(dòng)的規(guī)律 如果季節(jié)變化的周期是 12 期，觀測(cè)值 Yt 與 Yt+12，Yt+24，Yt+36之間存在較強(qiáng)自相關(guān)關(guān)系 因此，當(dāng) K=12，24，36，48,時(shí)，樣本自相關(guān)函數(shù)值在絕對(duì)值上大于它周?chē)闹?偏自相關(guān)函數(shù)值,滯后期為 K 的偏自相關(guān)函數(shù)值是指去掉 Y t+1，Y t+2，Y t+3， Y t+k-2，Y t+k-1 的影響之后，反映

5、觀測(cè)值Yt和Y t+k之間相關(guān)關(guān)系的數(shù)值,隨機(jī)性時(shí)間序列模型的特點(diǎn),建摸過(guò)程是一個(gè)反復(fù)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程 借助自相關(guān)函數(shù)值和偏自相關(guān)函數(shù)值確定模型的類(lèi)型 借助診斷性檢驗(yàn)判斷模型的實(shí)用性,時(shí)間序列最佳模型的確定,模型分類(lèi),總類(lèi)模型 移動(dòng)平均模型 MA(q) (Moving Average) 自回歸模型 AR(p) (Autoregression) 混合自回歸移動(dòng)平均模型 ARMA (p，q） 差分自回歸-移動(dòng)平均模型 ARIMA (p，d，q）,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,ARMA模型是一類(lèi)常用的隨機(jī)時(shí)間序列模型，是一種精度較高的時(shí)間序列短期預(yù)測(cè)方法，其基本思想是：某些時(shí)間序列是依賴于時(shí)

6、間 的一族隨機(jī)變量，構(gòu)成該時(shí)間序列的單個(gè)序列值雖然具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述. 通過(guò)對(duì)該數(shù)學(xué)模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認(rèn)識(shí)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達(dá)到最小方差意義下的最優(yōu)預(yù)測(cè).,ARMA模型有三種基本類(lèi)型： 自回歸（AR：Auto-regressive）模型 移動(dòng)平均（MA：Moving Average）模型 自回歸移動(dòng)平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型,一、概 述,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,1、自回歸【 AR 】模型,自回歸序列 ：,如果時(shí)間序列 是它的前期值和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)

7、，即可表示為,【1】,【1】式稱為 階自回歸模型，記為AR（ ）,注1：實(shí)參數(shù) 稱為自回歸系數(shù)，是待估參數(shù).隨機(jī)項(xiàng) 是相互獨(dú)立的白噪聲序列，且服從均值為0、方差為 的正態(tài)分布.隨機(jī)項(xiàng)與滯后變量不相關(guān)。,注2：一般假定 均值為0，否則令,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,記 為 步滯后算子，即 ，則模型【1】可表示為,令 ，模型可簡(jiǎn)寫(xiě)為,AR（ ）過(guò)程平穩(wěn)的條件是滯后多項(xiàng)式,的根均在單位圓外，即,的根大于1,【2】,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,2、移動(dòng)平均【MA】模型,移動(dòng)平均序列 ：,如果時(shí)間序列 是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)的線性函數(shù)，即可表示為,【3】,式【3】稱

8、為,階移動(dòng)平均模型，記為MA（ ）,注：實(shí)參數(shù),為移動(dòng)平均系數(shù)，是待估參數(shù),1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,引入滯后算子，并令,則模型【3】可簡(jiǎn)寫(xiě)為,注1：移動(dòng)平均過(guò)程無(wú)條件平穩(wěn),注2：滯后多項(xiàng)式,的根都在單位圓外時(shí)，AR過(guò)程與MA過(guò)程,能相互表出，即過(guò)程可逆，,【4】,即為MA過(guò)程的逆轉(zhuǎn)形式，也就是MA過(guò)程等價(jià)于無(wú)窮階的AR過(guò)程,注3：【2】滿足平穩(wěn)條件時(shí)， AR過(guò)程等價(jià)于無(wú)窮階的MA 過(guò)程，即,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,3、自回歸移動(dòng)平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】,自回歸移動(dòng)平均序列 ：,如果時(shí)間序列,是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)以及,前期值的線性函

9、數(shù)，即可表示為,【5】,式【5】稱為,階的自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA,注1：實(shí)參數(shù),稱為自回歸系數(shù)，,為移動(dòng)平均系數(shù)，,都是模型的待估參數(shù),注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形,注3：引入滯后算子，模型【5】可簡(jiǎn)記為,【6】,注4：ARMA過(guò)程的平穩(wěn)條件是滯后多項(xiàng)式,的根均在單位圓外,可逆條件是滯后多項(xiàng)式,的根都在單位圓外,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,二、隨機(jī)時(shí)間序列的特性分析,1、時(shí)序特性的研究工具,（1）自相關(guān),構(gòu)成時(shí)間序列的每個(gè)序列值,相關(guān)關(guān)系稱為自相關(guān)。自相關(guān)程度由自相關(guān)系數(shù),表示時(shí)間序列中相隔,期的觀測(cè)值之間的相關(guān)程度。,之間的簡(jiǎn)單,度量，,注1：,是樣本量，

10、,為滯后期，,代表樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值,注2：自相關(guān)系數(shù),的取值范圍是,且,越接近1，自相關(guān)程度越高,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,（2）偏自相關(guān),偏自相關(guān)是指對(duì)于時(shí)間序列,，在給定,的條件下，,與,之間的條件相關(guān)關(guān)系。,其相關(guān)程度用,度量，有,偏自相關(guān)系數(shù),其中,是滯后,期的自相關(guān)系數(shù)，,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,2、時(shí)間序列的特性分析,（1）隨機(jī)性,如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)序列，意味著序列沒(méi)有任何規(guī)律性，序列諸項(xiàng)之間不存在相關(guān)，即序列是白噪聲序列，其自相關(guān)系數(shù)應(yīng)該與0沒(méi)有顯著差異?？梢岳弥眯艆^(qū)間理論進(jìn)行判定。 在B-J方法中，測(cè)定序列的隨機(jī)性，多用于模型殘

11、差以及評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣。,（2）平穩(wěn)性,若時(shí)間序列,滿足,1）對(duì)任意時(shí)間,，其均值恒為常數(shù)；,2）對(duì)任意時(shí)間,和,，其自相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間間隔,有關(guān)，而與 的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)。,那么，這個(gè)時(shí)間序列就稱為平穩(wěn)時(shí)間序列 。,和,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,序列的平穩(wěn)性也可以利用置信區(qū)間理論進(jìn)行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平穩(wěn)時(shí)間序列才能直接建立ARMA模型，否則必須經(jīng)過(guò)適當(dāng)處理使序列滿足平穩(wěn)性要求,在實(shí)際中，常見(jiàn)的時(shí)間序列多具有某種趨勢(shì)，但很多序列通過(guò)差分可以平穩(wěn),判斷時(shí)間序列的趨勢(shì)是否消除，只需考察經(jīng)過(guò)差分后序列的自相關(guān)系數(shù),（3）季節(jié)性,時(shí)間序列的季節(jié)性是指在某一固定的時(shí)間間

12、隔上，序列重復(fù)出現(xiàn)某種特性.比如地區(qū)降雨量、旅游收入和空調(diào)銷(xiāo)售額等時(shí)間序列都具有明顯的季節(jié)變化.,一般地，月度資料的時(shí)間序列，其季節(jié)周期為12個(gè)月；,季度資料的時(shí)間序列，季節(jié)周期為4個(gè)季.,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,判斷時(shí)間序列季節(jié)性的標(biāo)準(zhǔn)為： 月度數(shù)據(jù)，考察,時(shí)的自相關(guān)系數(shù)是否,與0有顯著差異；,季度數(shù)據(jù)，考察,系數(shù)是否與0有顯著差異。,時(shí)的自相關(guān),說(shuō)明各年中同一月（季）不相關(guān)，序列不存在季節(jié)性，否則存在季節(jié)性.,若自相關(guān)系數(shù)與0無(wú)顯著不同，,實(shí)際問(wèn)題中，常會(huì)遇到季節(jié)性和趨勢(shì)性同時(shí)存在的情況，這時(shí)必須事先剔除序列趨勢(shì)性再用上述方法識(shí)別序列的季節(jié)性，否則季節(jié)性會(huì)被強(qiáng)趨勢(shì)性所掩

13、蓋，以至判斷錯(cuò)誤.,包含季節(jié)性的時(shí)間序列也不能直接建立ARMA模型，需進(jìn)行季節(jié)差分消除序列的季節(jié)性，差分步長(zhǎng)應(yīng)與季節(jié)周期一致.,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,三、模型的識(shí)別與建立,在需要對(duì)一個(gè)時(shí)間序列運(yùn)用B-J方法建模時(shí)，應(yīng)運(yùn)用序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)對(duì)序列適合的模型類(lèi)型進(jìn)行識(shí)別，確定適宜的階數(shù),以及 （消除季節(jié)趨勢(shì)性后的平穩(wěn)序列）,1、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù),（1）MA（,）的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù),自協(xié)方差函數(shù),是白噪聲序列的方差,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,樣本自相關(guān)函數(shù),MA（,）序列的自相關(guān)函數(shù),在,這種性質(zhì)稱為自相關(guān)函數(shù)的,步截尾性；,以后全都是0，,隨

14、著滯后期,這種特性稱為偏自相關(guān)函數(shù)的拖尾性,的增加，呈現(xiàn)指數(shù)或者正弦波衰減，趨向于0，,偏自相關(guān)函數(shù),1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,（2）AR（,）序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù),偏自相關(guān)函數(shù),是,步截尾的 ；,自協(xié)方差函數(shù),滿足,自相關(guān)函數(shù),滿足,它們呈指數(shù)或者正弦波衰減，具有拖尾性,（3）ARMA（,）序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,2、模型的識(shí)別,自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)是識(shí)別ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相關(guān)分析法確定模型的階數(shù).,若樣本自協(xié)方差函數(shù),在,步截尾，則判斷,是MA（,）序列,若樣本偏自相關(guān)函數(shù),在,

15、步截尾，則可判斷,是AR（,）序列,若,，,都不截尾，而僅是依負(fù)指數(shù)衰減，這時(shí)可初步認(rèn)為,ARMA序列，它的階要由從低階到高階逐步增加，再通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)確定.,在,，,是,但實(shí)際數(shù)據(jù)處理中，得到的樣本自協(xié)方差函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)只是,和,的估計(jì)，要使它們?cè)谀骋徊街笕繛?幾乎是,而只能是在某步之后圍繞零值上下波動(dòng)，故對(duì)于,和,不可能的，,的截尾性,只能借助于統(tǒng)計(jì)手段進(jìn)行檢驗(yàn)和判定。,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,（1）,的截尾性判斷,對(duì)于每一個(gè),，計(jì)算,（,一般取,左右），考察其中滿足,或,的個(gè)數(shù)是否為,的68.3%或95.5%。,如果當(dāng),時(shí)，,明顯地異于0，而,近似為0，且滿足

16、上述不等式的個(gè)數(shù)達(dá)到了相應(yīng)的比例，,則可近似地認(rèn)為,在,步截尾,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,（2）,的截尾性判斷,作如下假設(shè)檢驗(yàn)：,存在某個(gè),，使,，且,統(tǒng)計(jì)量,表示自由度為,的,分布,的上側(cè),分位數(shù)點(diǎn),對(duì)于給定的顯著性水平,，若,，則認(rèn)為,樣本不是來(lái)自AR（,）模型 ；,，可認(rèn)為,樣本來(lái)自AR（,）模型 。,注：實(shí)際中，此判斷方法比較粗糙，還不能定階，目前流行的方法是H.Akaike,信息定階準(zhǔn)則（AIC）,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,（3）AIC準(zhǔn)則確定模型的階數(shù),AIC定階準(zhǔn)則：,是模型的未知參數(shù)的總數(shù),是用某種方法得到的方差,的估計(jì),為樣本大小，則定義A

17、IC準(zhǔn)則函數(shù),用AIC準(zhǔn)則定階是指在,的一定變化范圍內(nèi)，尋求使得,最小的點(diǎn),作為,的估計(jì)。,AR（,）模型 ：,ARMA,模型 ：,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,3、參數(shù)估計(jì),在階數(shù)給定的情形下模型參數(shù)的估計(jì)有三種基本方法：矩估計(jì)法、逆函數(shù)估計(jì)法和最小二乘估計(jì)法，這里僅介紹矩估計(jì)法,（1）AR（,）模型,白噪聲序列,的方差的矩估計(jì)為,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,（2）MA（,）模型,（3）ARMA,模型的參數(shù)矩估計(jì)分三步：,i）求,的估計(jì),1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,ii）令,，則,的自協(xié)方差函數(shù)的矩估計(jì)為,iii）把,近似看作MA（,）序列，利用

18、（2）,對(duì)MA（,）序列的參數(shù)估計(jì)方法即可,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,4、模型檢驗(yàn),對(duì)于給定的樣本數(shù)據(jù),AIC準(zhǔn)則確定了模型的類(lèi)型和階數(shù)，用矩估計(jì)法確定了模型中的參數(shù)，從而建立了一個(gè)ARMA模型，來(lái)擬合真正的隨機(jī)序列。但這種擬合的優(yōu)劣程度如何，主要應(yīng)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用效果來(lái)檢驗(yàn)，也可通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)檢驗(yàn)。,，我們通過(guò)相關(guān)分析法和,下面介紹模型擬合的殘量自相關(guān)檢驗(yàn)，即白噪聲檢驗(yàn)：,對(duì)于ARMA模型，應(yīng)逐步由ARMA（1，1），ARMA（2，1），ARMA（1，2），ARMA（2，2），依次求出參數(shù)估計(jì)，對(duì)AR（,）和MA（,）模型，先由,和,初步定階，再求參數(shù)估計(jì)。,的截尾性,1 時(shí)間

19、序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,一般地，對(duì)ARMA,模型,取初值,和,它們均值為0），可遞推得到殘量估計(jì),現(xiàn)作假設(shè)檢驗(yàn)：,（可取它們等于0，因?yàn)?是來(lái)自白噪聲的樣本,令,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,其中,取,左右。,則當(dāng),成立時(shí)，,服從自由度為,的,分布。,對(duì)給定的顯著性水平,，若,，則拒絕,，即模型與原隨機(jī)序列之間擬合得不好，,，則認(rèn)為模型與原隨機(jī)序列之間擬合,需重新考慮,得較好，模型檢驗(yàn)被通過(guò)。,建模；若,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,四、模型的預(yù)測(cè),若模型經(jīng)檢驗(yàn)是合適的，也符合實(shí)際意義，可用作短期預(yù)測(cè).,B-J方法采用L步預(yù)測(cè)，即根據(jù)已知,個(gè)時(shí)刻的序列觀

20、測(cè)值,，對(duì)未來(lái)的,個(gè)時(shí)刻的序列值做出估計(jì)，,線性最小方差預(yù)測(cè)是常用的一種方法.,誤差的方差達(dá)到最小.,其主要思想是使預(yù)測(cè),若,表示用模型做的L步平穩(wěn)線性,最小方差預(yù)測(cè)，那么，預(yù)測(cè)誤差,并使,達(dá)到最小.,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,1、AR（,）序列預(yù)測(cè),模型（1）：,的L步預(yù)測(cè)值為,其中,（,）,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,2、MA（,）的預(yù)測(cè),對(duì)模型（3）：,當(dāng),時(shí)，由于,可見(jiàn)所有白噪聲的時(shí)刻都大于,，故與歷史取值無(wú)關(guān)，,；,從而,當(dāng),時(shí)，各步預(yù)測(cè)值可寫(xiě)成矩陣形式：,1 時(shí)間序列分析模型【ARMA模型 】簡(jiǎn)介,遞推時(shí)，初值,均取為0。,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨

21、勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,題中給出了“19952004年長(zhǎng)江流域水質(zhì)報(bào)告”中的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和關(guān)于地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的國(guó)標(biāo)（GB3838-2002）中4個(gè)主要項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)限值（見(jiàn)附錄1），其中I、II、III類(lèi)為可飲用水.假如不采取更為有效的治理措施，根據(jù)過(guò)去10年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（見(jiàn)附錄2），對(duì)長(zhǎng)江未來(lái)水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)分析，比如研究未來(lái)10年的情況.,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,一、問(wèn)題分析,為了分析長(zhǎng)江水質(zhì)的發(fā)展變化情況，對(duì)未來(lái)10年全流域、支流、干流中三類(lèi)水所占的比例做出預(yù)測(cè).考慮到若僅用10年水文年的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)后10年的數(shù)據(jù)，顯然可利用的

22、數(shù)據(jù)量太少，所以我們將充分利用枯水期、豐水期和水文年的數(shù)據(jù). 由于建立時(shí)間序列模型需要相等的時(shí)間間隔，所以我們將一年分為三段，1-4月、5-8月、9-12月. 對(duì)于每一年，1-4月的平均數(shù)據(jù)可直接取為枯水期的數(shù)據(jù)，5-8月的平均數(shù)據(jù)可直接取為豐水期的數(shù)據(jù)，而9-12月的數(shù)據(jù)可用【（水文年*12-枯水期*4-豐水期*4）/4=水文年*3-枯水期-豐水期】來(lái)估計(jì)（具體數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄3）.我們分別對(duì)全流域、干流、支流來(lái)建立時(shí)間序列模型，并將水質(zhì)分為飲用水（I、II、III類(lèi)）、污水（IV、V類(lèi)）和劣V類(lèi)水三類(lèi)，注意到飲用水的比例可由其它兩類(lèi)水的比例推算出來(lái).,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM

23、 2005A】,二、模型假設(shè),（2）假設(shè)枯水期、豐水期和水文年中，每個(gè)月各類(lèi)水質(zhì)的 百分比不變.,（1）問(wèn)題中所給出的數(shù)據(jù)能客觀反映現(xiàn)實(shí)情況；,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,三、模型建立,對(duì)于各類(lèi)水，根據(jù)它在各個(gè)時(shí)期所占的比例，通過(guò)作圖容易觀察發(fā)現(xiàn)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，而通過(guò)適當(dāng)差分則會(huì)顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，所以我們將建立自回歸移動(dòng)平均模型ARIMA（,）.,在實(shí)際建模中，考慮到一期的數(shù)據(jù)應(yīng)該與前期的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以對(duì)差分后的平穩(wěn)序列我們建立ARMA模型.,在這里，我們不考慮隨機(jī)干擾項(xiàng)，即,，因此建立AR模型,僅以預(yù)測(cè)干流中劣類(lèi)水所占比例的 ARIMA 模型為例，

24、詳細(xì)敘述一下 ARIMA 建模過(guò)程。,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,1、數(shù)據(jù)篩選與處理,根據(jù)需要，我們將數(shù)據(jù)篩選并處理得到干流中劣類(lèi)水所占 比例的時(shí)間序列：,=0，4，-4，0，1.5，-1.5，0，0，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，6.9，5.1，5.4，7.9， 4.8，13.4，0，0，0，14.2，9.3，3.5，,2、對(duì)序列平穩(wěn)化,觀察序列時(shí)序圖，發(fā)現(xiàn)序列有遞增趨勢(shì)，,因此，我們對(duì)序,，得到序列,列進(jìn)行一階差分,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,0，4，-8，4，1.5，-3，1.5，0，0，0， 0，0，0，0，0

25、，0，0，0，6.9，-1.8，0.3， 2.5，-3.1，8.6，-13.4，0，0，14.2， -4.9，-5.8 ,劣類(lèi)水所占比例時(shí)序圖,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,利用公式,計(jì)算此序列的自相關(guān)系數(shù),可看出，,明顯異于0，說(shuō)明此序列短期內(nèi)具有很強(qiáng)的相關(guān)性,因此可初步認(rèn)為經(jīng)1階差分后的序列平穩(wěn)，即,1階差分后的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果如下：,在檢驗(yàn)的顯著性水平取為0.05的條件下，P值大于0.05，故該差分后序列可視為白噪聲序列,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,3、對(duì)序列,進(jìn)行零均值化,對(duì)序列,進(jìn)行零均值化，得到新序列,=-0.11667，

26、3.88333，-8.11667，3.88333，1.38333，-3.11667，1.38333，-0.11667， -0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667， -0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667， -0.11667，-0.11667，6.78333，-1.91667， 0.18333，2.38333，-3.21667，8.48333， -13.51667，-0.11667，-0.11667，14.08333， -5.01667，-5.91667,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,4、對(duì)序列,求樣本自

27、協(xié)方差函數(shù)與樣本偏自相關(guān)函數(shù),利用,（,）得樣本自協(xié)方差函數(shù)估計(jì),利用,，（,）計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù),通過(guò),估計(jì)樣本偏自相關(guān)函數(shù)，得到,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,當(dāng),時(shí)，,具有截尾性,用AR（3）模型擬合序列,模型擬合原序列。對(duì)殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，得到,，即用ARIMA（3，1，0）,擬合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率P值都顯著大于顯著性檢驗(yàn)水平0.05，可認(rèn)為該殘差序列為白噪聲序列， 系數(shù)顯著性檢驗(yàn)顯示三個(gè)參數(shù)均顯著。從而ARIMA（3，1，0）模型對(duì)該序列建模成功。,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,5、模型參數(shù)估計(jì),通過(guò)公式,得到與上述參數(shù)顯著性檢驗(yàn)一樣的結(jié)果：,= -3.16，,= -2.75，,= -3.30，,因此ARIMA（3，1，0）模型即為：,注：利用同樣的方法可以建立預(yù)測(cè)干流中其他兩類(lèi)水、全流域和支流中的三類(lèi)水所占比例的時(shí)間序列分析模型。,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,四、模型預(yù)測(cè),利用上述模型，預(yù)測(cè)干流中劣類(lèi)水未來(lái)10年所占比例，得到：,2 長(zhǎng)江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè) 【CUMCM 2005A】,五、結(jié)果分析,在上述模型預(yù)測(cè)結(jié)果中，我們