高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版選修1-1

1、33.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)提出問題如圖為yf(x)，xa，b的圖象問題1：觀察a，b上函數(shù)yf(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值提示：f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值問題2：結(jié)合圖象判斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值、最小值？若存在，分別為多少？提示：存在f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)問題3：函數(shù)yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其極值嗎？提示：不一定，也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值問題4：怎樣確定函數(shù)f(x)在a，b上的最小值和最大值？提示：比較極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最大(小)的是最大(小)值導(dǎo)入新知1函

2、數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在a，b上一定有最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得2求函數(shù)yf(x)在a，b上的最值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值化解疑難理解函數(shù)最值時，需注意以下幾點(diǎn)(1)函數(shù)的最值是一個整體性的概念函數(shù)極值是在局部區(qū)間上對函數(shù)值的比較，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義域上的情況，是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較(2)函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值

3、或最小值，則最大值或最小值只能各有一個，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得；有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值利用導(dǎo)數(shù)求最值例1求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)x33x，x，3；(2)f(x)x2(x0)解(1)f(x)33x23(1x)(1x)令f(x)0，得x1或x1，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)0單調(diào)遞減2單調(diào)遞增2單調(diào)遞減18所以x1和x1是函

4、數(shù)在，3上的兩個極值點(diǎn)，且f(1)2，f(1)2.又因?yàn)閒(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的取值為f()0，f(3)18，所以f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x，令f(x)0得x3.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x3時，f(x)取得極小值，也就是最小值，故f(x)的最小值為f(3)27，無最大值類題通法求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，一般是找出該區(qū)間上導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，無須判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，只需將這些點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值活學(xué)活用

5、求函數(shù)f(x)x34x4在0,3上的極值及最大值與最小值解：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，解得x12(舍去)，x22.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,3)3f(x)0f(x)4單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增1函數(shù)f(x)x34x4在0,3上有極小值且f(x)極小值.函數(shù)的最大值為4，最小值為.含參數(shù)的函數(shù)最值問題例2已知函數(shù)f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值解f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.又f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.f(0)f(2)f(2)，當(dāng)x2時

6、，f(x)mina4037，得a3.當(dāng)x0時，f(x)max3.類題通法已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問題得以解決活學(xué)活用若f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值是3，最小值是29，求a，b的值解：f(x)3ax212ax3a(x24x)令f(x)0，得x0或x4.x1,2，x0.由題意知a0.(1)若a0，則f(x)，f(x)隨x變化的情況如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值3單調(diào)遞減當(dāng)x0時，f(x)取最大值f(0)b3.又f(2)8

7、a24a316a3，f(1)7a3f(2)，當(dāng)x2時，f(x)取最小值，16a329，a2.(2)若a0，則f(x)，f(x)隨x變化的情況如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值29單調(diào)遞增當(dāng)x0時，f(x)取最小值f(0)b29.又f(2)16a29，f(1)7a290)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，當(dāng)xt時，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不符合題意，舍去)當(dāng)t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t

8、)0g(t)單調(diào)遞增極大值1m單調(diào)遞減g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)0在(0,2)內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1m0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù)若對任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范圍解題流程活學(xué)活用已知函數(shù)f (x)ax4ln xbx4c(x0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù)若對x0，方程f(x)2c2有解，求c的取值范圍解：由題意知f(1)3c，因此bc3c，從而b3.對f(x)求導(dǎo)，得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由題意，知f(1)0，因此a4b0，解得a12

9、.由f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，解得x1.當(dāng)0x1時，f(x)0，此時f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1時，f(x)0，此時f(x)為增函數(shù)所以f(x)在x1處取得極小值f(1)3c，此極小值也是最小值所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?c，)若對x0，方程f(x)2c2有解，則2c2屬于函數(shù)f(x)的值域，所以2c23c，即2c2c30，解得1c，所以c的取值范圍為.隨堂即時演練1函數(shù)f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但無最小值B有最大值，也有最小值C無最大值，但有最小值D既無最大值，也無最小值解析：選Df(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x(1,1)時，f(x)0，所以f(x)

10、在(1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值2函數(shù)yxsin x，x的最大值是()A1B.1C D1解析：選C在上y1cos x0，所以yxsin x為增函數(shù)，當(dāng)x時，ymax.3函數(shù)y在0,2上的最大值為_解析：y，令y0，得x10,2f(1)，f(0)0，f(2)，f(x)maxf(1).答案：4已知函數(shù)yx22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，則a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函數(shù)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減若a1，則最大為f(a)a22a3，解之得a；若a1，則最大為f(1)1234.答案：5已知a為實(shí)數(shù)，f(x)(x24)(xa)(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)若f(1

11、)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值解：(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此時有f(x)(x24)，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，f(x)在2,2上的最大值為，最小值為.課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1下列說法正確的是()A函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值，則其極大值便是最大值，極小值便是最小值B閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，也一定有極值C若函數(shù)在其定義域上有最值，則一定有極值；反之，若有極值，則一定有最值D若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則有且僅有一個最大值、一個最小值，但若有極值，則可有

12、多個極值解析：選D由極值與最值的區(qū)別知選D.2函數(shù)f(x)2xcos x在(，)上()A無最值B有極值C有最大值 D有最小值解析：選Af(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值3函數(shù)f(x)2，x(0,5的最小值為()A2 B3C. D2解析：選B由f(x)0，得x1，且x(0,1)時，f(x)0；x(1,5時，f(x)0，x1時f(x)最小，最小值為f(1)3.4函數(shù)f(x)x3x2xa在區(qū)間0,2上的最大值是3，則a的值為()A3 B1C2 D1解析：選Bf(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1.又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，

13、則f(2)最大，即a23，所以a1.5已知函數(shù)f(x)，g(x)均為a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，在a，b上連續(xù)且f(x)g(x)，則f(x)g(x)的最大值為()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)解析：選A令u(x)f(x)g(x)，則u(x)f(x)g(x)1或x0；當(dāng)1x1時，f(x)0.f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,3上單調(diào)遞增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)，f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：208已知函數(shù)f(x)2ln x，若當(dāng)a0時，f(x)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

14、圍是_解析：由f(x)2ln x，得f(x)，又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.當(dāng)0x時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0.故x是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且f()ln a1.要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，則ae.答案：e，)三、解答題9已知函數(shù)f(x)x3ax22，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x)及實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)yf(x)在1,2上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax22，得f(x)3x22ax.f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，1.a3，f(x)3x26x.(2)由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x.令f(x)0得x10，x22.當(dāng)x在1,2上變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)00f(x)222由上表可知，當(dāng)x1或x2時，函數(shù)有最小值2，當(dāng)x0時，函數(shù)有最大值2.10設(shè)f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)對任意x0