淺談傅里葉變換及其應(yīng)用(小論文)

1、.傅里葉變換及其應(yīng)用一 傅里葉變換傅里葉變換（Fourier變換）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學(xué)者約瑟夫傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)念。傅里葉變換是一種線性的積分變換，在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號處理、密碼學(xué)、海洋學(xué)、通訊等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如快速傅里葉變換和離散傅里葉變換。 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線

2、性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取。二 計(jì)算方法連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f（t）表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)F()表示為時(shí)間域的函數(shù)f（t）的積分形式?？梢园迅道锶~變換也成另外一種形式：可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時(shí)，才不為0。下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因?yàn)楦道锶~變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和求內(nèi)積的時(shí)候，只有f(t)中頻率為的分量才會有內(nèi)積的結(jié)果，其余分量的內(nèi)積為0?？梢岳斫鉃閒(

3、t)在上的投影，積分值是時(shí)間從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號每個(gè)時(shí)間在的分量疊加起來，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結(jié)果就是頻率為的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為下面分析傅里葉逆變換的意義對一個(gè)信號做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個(gè)濾波的過程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號。比如信號中摻雜著噪聲信號，可以通過濾波器將噪聲信號的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒有噪聲的信號。連續(xù)傅里葉變換的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：頻率的定位很好，通過對信號的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號所包含的頻率成分

4、，也就是頻譜。缺點(diǎn)：因?yàn)轭l譜是時(shí)間從負(fù)無窮到正無窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。三 簡介離散傅里葉變換的應(yīng)用DFT在諸多多領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用，下面僅是頡取的幾個(gè)例子。需要指出的是，所有DFT的實(shí)際應(yīng)用都依賴于計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（即FFT）是計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。）。1.頻譜分析DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對連續(xù)信號x(t)均勻采樣并截?cái)嘁缘玫接邢揲L的離散序列，對這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù)信號x(t)頻譜的性質(zhì)。前面還提到DFT應(yīng)用于頻譜分析需要注

5、意的兩個(gè)問題：即采樣可能導(dǎo)致信號混疊和截?cái)嘈盘栆鸬念l譜泄漏?？梢酝ㄟ^選擇適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率（見奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當(dāng)?shù)男蛄虚L度并加窗可以抑制頻譜泄漏。2.數(shù)據(jù)壓縮由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點(diǎn)將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應(yīng)于信號的細(xì)節(jié)，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時(shí)域或空域的信號轉(zhuǎn)換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號。四 簡介快速傅里葉變換的應(yīng)用離散傅里葉變換(DFT) 存在的不足是計(jì)算量太大,很難進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。計(jì)算一個(gè)N 點(diǎn)的DFT ,一般需要次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。因此,當(dāng)N較大或要求對信號進(jìn)行實(shí)時(shí)處理時(shí),往往難以實(shí)現(xiàn)所需的運(yùn)算速度。1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey發(fā)現(xiàn)了DFT的一種快速算法,經(jīng)其他學(xué)者進(jìn)一步改進(jìn), 很快形成了一套高效運(yùn)算方法,這就是現(xiàn)在通用的快速傅里葉變換, 簡稱FFT快速傅里葉變換的產(chǎn)生，使得傅里葉變換大為簡