矩形、菱形、正方形 經(jīng)典難題復習鞏固(教案)

1、 DSE 金牌數(shù)學專題系列 經(jīng)典專題系列第 4講 矩形、菱形、正方形一、 導入老先生與服務生老先生常到一家商店買報紙，那里的服務生總是一臉傲慢無禮的樣子，就連基本的禮貌都沒有。做事追求效率固然重要，可是缺乏禮貌一定會流失客人，沒有了客人服務速度再快，又有什么用？朋友對老先生說，為何不到其他地方去買？老先生笑著回答：“為了與他賭氣，我必須多繞一圈，浪費時間，徒增麻煩，再說禮貌不好是他的問題，為什么我要因為他而改變自己的心情?”大道理：不要因為別人的不好而影響了自己做事情時候的心情，也不要因外界的不如人意而影響了一生的幸?？鞓?。想想美好的一面，心情也會是很快樂的。二、 知識點回顧矩形、菱形、正方形

2、1.性質(zhì)：（1）矩形：矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)（2）菱形：菱形的四條邊都相等菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角具有平行四邊形所有性質(zhì)（3）正方形：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角2判定： （1）矩形：有一個角是直角的平行四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形 （2）菱形：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形（3）正方形：有一個角是直角的菱形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形對角線相等的菱形是

3、正方形對角線互相垂直的矩形是正方形3.面積計算： （1）矩形：S=長寬；（2）菱形：（是對角線） （3）正方形：S=邊長2三、 專題講解 考點一、特殊平行四邊形的性質(zhì)【例】如圖,矩形ABCD的對角線相交于點O，OFBC，CEBD，OEBE=13，OF=4，求ADB的度數(shù)和BD的長.解：由矩形的性質(zhì)可知OD=OC.又由OEBE=13可知E是OD的中點.又因為CEOD，根據(jù)三線合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即OCD是等邊三角形,故CDB=60. 所以ADB=30.又由矩形是軸對稱圖形得CD=2OF=8,即BD=2OD=2CD=16.把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EM、FM為折痕

4、,折疊后的C點落在BM或BM的延長線上,那么EMF的度數(shù)是( )A.85 B.90 C.95 D.100解析：EMF=EMB+FMB=BMC+CMC=180=90答案:B考點二、會用“階梯型”思路判定特殊平行四邊形【例 】如圖,在RtABC中，ACB=90，BAC=60，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E.又點F在DE的延長線上，且AF=CE.求證：四邊形ACEF是菱形.答案:證明：ACB=90，DE是BC的中垂線，E為AB邊的中點.CE=AE=BE.BAC=60，ACE為正三角形.在AEF中，AEF=DEB=BAC=60，而AF=CE，又CE=AE,AE=AF.AEF也為正三角形.CA

5、E=AEF=60.ACEF.四邊形ACEF為平行四邊形.又CE=AC，平行四邊形ACEF為菱形.如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AGDB交CB的延長線于G（1）求證：ADECBF；（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論 【解析】（1）四邊形ABCD是平行四邊形 1=C，AD=CB，AB=CD 點E、F分別是AB、CD的中點， AE=AB，CF=CD AE=CF ADECBF （2）當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形 四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC AGBD， 四邊形AGBD是平行四邊形 四邊形BEDF

6、是菱形， DE=BE AE=BE， AE=BE=DE 1=2，3=4 1+2+3+4=180， 22+23=180 2+3=90 即ADB=90， 四邊形AGBD是矩形考點三、作輔助線構(gòu)造特殊平行四邊【例3】如圖E是矩形ABCD的邊AD上一點，BE=ED，P是對角線BD上任意一點，PFBE,PGAD,垂足分別為F,G.求證：PF+PG=AB如圖，點M是矩形ABCD的邊AD中點，點P是BC邊上一動點，PEMC，PFBM，垂足分別為E、F， （1）當四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長與寬應滿足什么條件？ （2）在（1）中，當點P運動到什么位置時，四邊形PEMF變?yōu)檎叫?？為什么?考點四、會

7、解決與特殊平行四邊形有關(guān)的動手操作問題【例4】如圖,在一張長12 cm、寬5 cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個菱形.李穎同學按照取兩組對邊中點的方法折出菱形EFGH（見方案一），張豐同學按照沿矩形的對角線AC折出CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（見方案二），請你通過計算，比較李穎同學和張豐同學的折法中，哪種菱形面積較大？解：（方案一）S菱形=S矩形-4SAEH=125-46=30（cm2）.（方案二）設BE=x，則CE=12-x,AE=.因為四邊形AECF是菱形，則AE2=CE2,25+x2=(12-x)2.x=.S菱形=S矩形-2SABE=125-2535.21(cm2).經(jīng)

8、比較可知，(方案二)張豐同學所折的菱形面積較大.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，BPE=30 （1）求BE、QF的長（2）求四邊形PEFH的面積【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實際折疊一下幫助理（1）BE=2，QF=1 （2）7四、 鞏固練習：（1） 填空題1如圖1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面積為_2（黃岡市）如圖2,將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線L向右滾

9、動（不滑動），當正方形滾動兩周時，正方形的頂點A所經(jīng)過的路線的長是_cm (1) (2) (3)3用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：平行四邊形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等邊三角形；一定可以拼成的是_（只填序號）4如圖3，點E、F是菱形ABCD的邊BC、CD上的點，請你添加一個條件（不得另外添加輔助線和字母），使AE=AF，你添加的條件是_ (5) (6) (7) (8)（2） 填空題6（廣安市）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A對角線相等 B對角線互相垂直平分 C對角線平分一組對角 D四條邊相等7如圖5，在菱形ABCD中，E、F分別是AB，AC的中點，如果EF=2，那么菱形A

10、BCD的周長是（ ） A4 B8 C12 D168（江陰市）已知如圖6，則不含陰影部分的矩形的個數(shù)是（ ） A15 B24 C25 D169（濰坊市）如圖7，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為（ ）A B C1- D1-10（淄博市）將一矩形紙片按如圖8方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上，則CBD的度數(shù)（ ） A大于90 B等于90 C小于90 D不能確定（3） 解答題12（泉州市）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且BE=DF求證：ABECDF13（滬州市）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上一點，A

11、E=AD，DFAE，垂足為F線段DF與圖中哪一條線段相等？先將你的猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，然后再加以證明即DF=_（寫出一線段即可）14已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形五、 拓展訓練15（河南?。┤鐖D，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=3D是BC邊上一點，直線DEBC于D，交AB于E，CFAB交直線DF于F設CD=x （1）當x取何值時，四邊形EACF是菱形？請說明理由； （2）當x取何值時，四邊形EACD的面積等于2？考點精練 196 216+16 3 4BAE=DAF（答案不唯一） 5B（4，0

12、），（2，2），C（4，3），（） 6A 7D 8C 9C 10B 12根據(jù)SAS證ABECDF 13DF=DC證略 14證AOECOF即得AEFC四邊形AFCE是平行四邊形又ACEF，四邊形AFCE是菱形 15解：（1）ACB=90，ACBC又DEBC，EFAC又AECF，四邊形EACF是平行四邊形當CF=AC時，四邊形ACFE是菱形此時，CF=AC=2，BD=3-x，tanB=，ED=BDtanB=（3-x），DF=EF-ED=2-（3-x）=x在RtCDF中，CD2+DF2=CF2，x2+（x）2=22，x=（負值不合題意，舍去），即當x=時，四邊形ACFE是菱形 （2）由已知得，四邊形

13、EACD是直角梯形，S梯形EACD=（4-x）x=-x2+2x依題意，得-x2+2x=2，整理得，x2-6x+6=0解之，得x1=3-，x2=3+x=3+BC=3，x=3+舍去，當x=3-時，梯形EACD的面積等于2六、反思總結(jié)當堂過手訓練 （快練5分鐘，穩(wěn)準建奇功）1、如圖,工人師傅砌門時,常用木條EF固定矩形門框ABCD,使其不變形,這種做法的根據(jù)是( )A.兩點之間線段最短 B.矩形的對稱性 C.矩形的四個角都是直角 D.三角形的穩(wěn)定性解析：因釘上EF后,構(gòu)成CEF,根據(jù)三角形的穩(wěn)定性使其不變形.答案:D （1題圖） （2題圖） （ 3題圖）2、 如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、B

14、D相交于點O，AEBD，垂足為E，DAEBAE31，EAC= 分析：本題充分利用矩形對角線把矩形分成四個等腰三角形的基本圖形進行求解。 解略，答案450。3、如圖是一塊矩形ABCD的場地，長AB=102 m，寬AD=51 m，從A、B兩處入口的中路寬都為1 m，兩小路會合處路寬為2 m，其余部分為草坪，則草坪面積為 ( )A.5 050 m2 B.4 900 m2 C.5 000 m2 D.4 998 m2解析：根據(jù)平移的性質(zhì)：平移不改變圖形的大小.本題可將兩側(cè)的草坪分別向中間平移1 m，向下平移1 m，三塊草坪拼成了一個長為100 m，寬為50 m的矩形，因此草坪的面積為10050=5 00

15、0 m2.答案:C4、如圖，矩形ABCD中，M是AD的中點 （1）求證：ABMDCM；（2）請你探索，當矩形ABCD的一組鄰邊滿足何種數(shù)量關(guān)系時，有BMCM成立，說明你的理由（1）略 （2）AB=AD時，BMCM 5、如圖,在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形EFGH為菱形，并說明理由.解：添加條件：對角線相等.理由：連結(jié)AC、BD.在ABC中，AE=BE，BF=CF，EF為ABC的中位線.EF=.同理可得FG=，GH=，HE=.又AC=BD（添加條件）,EF=FG=GH=HE.故四邊形EFGH為菱形.6.如圖,已知過平行四邊形ABCD的對角線交點O作互相垂直的兩條直線EG、FH與平行四邊形ABCD各邊分別相交于點E、F、G、H.求證：四邊形EFGH是菱形.答案:證明：在ABCD中，O