應(yīng)用FDTD方法解決電磁輻射問題

1、.應(yīng)用FDTD方法解決電磁輻射問題 自電磁場基本方程以來，電磁場理論和應(yīng)用的發(fā)展已經(jīng)有一百多年的歷史。目前，電磁波的研究已深入到各個領(lǐng)域，應(yīng)用十分廣泛，例如無線電波傳波，光纖通信和移動通信，雷達(dá)技術(shù)，微波，天線，電磁成像，地下電磁探測，電磁兼容等等。在各類復(fù)雜系統(tǒng)中的電磁問題，主要依靠各種電磁場數(shù)值計算方法加以解決。隨著電子計算機(jī)處理能力和存儲容量的巨大發(fā)展，更促進(jìn)了這些計算方法在實際問題中的應(yīng)用。目前在電磁場領(lǐng)域應(yīng)用的數(shù)值算法也是種類繁多，各有其優(yōu)缺點，常用的電磁場計算方法大致有：FDTD Finite difference time domain（時域有限差分法）TLM Transmiss

2、ion line method （傳輸線法）FEM Finite element method （有限元法）BEM Boundary element method （邊界元法）MoM Method of moments （矩量法）其中時域有限差分法(FDTD)理論經(jīng)過30多年的發(fā)展和完善，已經(jīng)成為時域電磁場數(shù)值計算的主要方法之一，并廣泛應(yīng)用各類實際工程電磁場中。一、 FDTD法簡介時域有限差分法以差分原理為基礎(chǔ)，直接從概括電磁場普遍規(guī)律的麥克斯韋旋度方程出發(fā)，將其轉(zhuǎn)換為差分方程組，在一定體積內(nèi)和一段時間上對連續(xù)電磁場的數(shù)據(jù)采樣。因此，它是以電磁場問題的最原始、最本質(zhì)、最完備的數(shù)值模擬。以它為基

3、礎(chǔ)制作的計算程序，對廣泛的電磁場問題具有通用性，因此得到了廣泛的應(yīng)用。1. Yee差分算法基本原理考慮空間一個無源區(qū)域，其煤質(zhì)參數(shù)不隨時間變化且各向同性，由Maxwell方程組中的兩個旋度方程在直角坐標(biāo)系中可導(dǎo)出六個耦合公式： 其中為介電常數(shù)（F/m）；為磁導(dǎo)率（H/m）；為電導(dǎo)率（S/m）；為磁阻率（）。 按照Yee差分算法，首先在空間建立矩形差分網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點的空間坐標(biāo)與一組相應(yīng)的整數(shù)標(biāo)號一一對應(yīng)： 而該點的任意函數(shù)F(x,y,z,t)在時刻的值可以表示為 分別為矩形網(wǎng)格沿x，y，z方向的空間步長是時間步長。時域差分法的實質(zhì)就是將計算問題在時間和空間進(jìn)行離散: 用中心差分取二階精度：對空間

4、離散： 對時間離散：為了獲得（1.10）式的精度，并滿足（1.3）至（1.8），可將空間任意矩形網(wǎng)格上的E和H的六個分量如圖1-1所示放置。 圖1-1 Yee網(wǎng)格單元及電磁場空間離散點關(guān)系每個磁場分量由四個電場分量環(huán)繞著；每個電場分量由四個磁場分量所環(huán)繞。為獲得（1.11）的精度，可將E和H在時間上相差半個步長交替計算。按照這些原則，可將式（1.3）（1.8）化為差分方程組。以（1.3）式為例，差分后得到（1.12） 其余的也可以寫出，每個網(wǎng)格點上的個場分量的新值依賴于該點在前一時間步長時刻的值即該點周圍臨近點上另一場量在早半個時間步長時的值。因此任意時刻可一次算出一個點，并行算法可計算出多個

5、點。通過這些運算可以交替算出電場磁場在各個時間步的值。具體參考12，這里不多敘述。2. 數(shù)值穩(wěn)定性條件與網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)值計算中一個比較重要的問題就是數(shù)值解的穩(wěn)定性問題，這在FDTD方程中取決于網(wǎng)格的空間步長和時間不長的關(guān)系。 數(shù)值穩(wěn)定性條件以上所建立的麥克斯韋旋度方程的有限差分算式是顯式的，時間步長 ，空間步長 必須滿足一定關(guān)系，否則會使得數(shù)值表現(xiàn)不穩(wěn)定。這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯示差分方程時，隨著時間步數(shù)的增加，計算結(jié)果也無限制的增加。Taflaove等對Yee差分格式穩(wěn)定性進(jìn)行討論，導(dǎo)出了對時間步長的限制性條件： 當(dāng) 時，數(shù)值穩(wěn)定條件（12）可簡化為 一維條件下，這一穩(wěn)定性條件就簡化為： 上式可以

6、看出，即要求時間步長不能大于電磁波傳播一個空間步長所需的時間，否則，就破壞了電磁波傳播的因果關(guān)系12。如果計算空間中的媒質(zhì)是不均勻的，那么穩(wěn)定條件對不同的煤質(zhì)區(qū)域是不同的，我們只需取最大的V滿足的條件，在其他區(qū)域中也就得到滿足了。此時有：其中n為空間維度。 網(wǎng)格劃分由數(shù)值穩(wěn)定性條件可知，網(wǎng)格劃分需要滿足一定的條件，在有足夠條件的情況下，將網(wǎng)格劃分的越細(xì)，計算的結(jié)果就會越精確。目前有一款交互式軟件網(wǎng)格劃分軟件GEOM，根據(jù)設(shè)計需要，可自動的用FDTD的方法分析幾何結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生離散模型。但是計算機(jī)計算能力畢竟是有限的，有時候提高一定比例的網(wǎng)格大小，并不一定能夠獲得更多的精度，同時計算的效率卻下降了很

7、多。而且對于一些復(fù)雜的模型結(jié)構(gòu)，由于介質(zhì)層的物理尺寸很小，較大的網(wǎng)格無法覆蓋這樣的結(jié)構(gòu)，就導(dǎo)致了劃分后介質(zhì)層的缺損。因此需要在滿足穩(wěn)定性條件的前提下對劃分的大小進(jìn)行優(yōu)化。最好的辦法就是采用非均勻網(wǎng)格劃分的辦法。合理的利用了計算區(qū)域內(nèi)不同的計算需要，對于一些關(guān)鍵位置的地方，如不同介質(zhì)的交接處，或者是結(jié)構(gòu)細(xì)微處，或者是饋源的地方，對網(wǎng)格細(xì)化，而在介質(zhì)均一的位置，則放大網(wǎng)格的大小，使得總的網(wǎng)格數(shù)量得到降低。對于非均勻劃分方案的確定，也并不是盲目的過程。可以首先利用較大的網(wǎng)格大小進(jìn)行一下預(yù)模擬，對模擬的結(jié)果進(jìn)行分析，判斷電場(或磁場等其他場分布)分布的規(guī)律及形態(tài)，對于關(guān)鍵計算的部位，再采用較小的網(wǎng)格劃

8、分。其次，可以利用遺傳算法等優(yōu)化算法，對網(wǎng)格劃分進(jìn)行局部最優(yōu)化的搜索，提高網(wǎng)格劃分的質(zhì)量。下圖1.2是對手機(jī)天線幾種網(wǎng)格劃分示意圖。 圖1.2a 均勻網(wǎng)格劃分 圖1.2b 非均勻網(wǎng)格劃分 圖1.2c含有亞網(wǎng)格的網(wǎng)格劃分除了非均勻網(wǎng)格劃分的方法，另外一種在這個基礎(chǔ)上的改進(jìn)網(wǎng)格劃分方法就是亞網(wǎng)格劃分的方法14。亞網(wǎng)格劃分在原有網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)上，在計算的關(guān)鍵點，或者是重點關(guān)注的部分，或者是介質(zhì)層物理尺寸很薄的地方，將網(wǎng)格進(jìn)一步劃小，而其它部分的網(wǎng)格則保持不變。這樣做的好處在于可以在不影響其它部分的情況下，提高重點計算區(qū)域的計算精度。同時網(wǎng)格的數(shù)量不會因此激增。3. 吸收邊界條件當(dāng)我們考慮像輻射和散射

9、這種開放向題時，原則上應(yīng)該在無限空間中計算電磁場，但是，由于計算機(jī)存儲量的限制不可能考慮很大的空間,，因而，一個基本問題是如何處理網(wǎng)格的截斷向題。一種有效的方法是在截斷處設(shè)置一種吸收邊界條件，如果它能吸收全部向外傳播的波，就等效于考慮了一個無限大的空間。目前構(gòu)造吸收邊界條件的思路主要有兩種：一種是從外形波方程出發(fā)構(gòu)造的透射邊界條件，如Mur邊界條件，這種類型的透射邊界條件具有構(gòu)造簡單，內(nèi)存需求小等特點。另一種是在邊界上引入吸收材料，電磁波在無反射地進(jìn)入吸收材料后被衰減掉，如PML。這種方法構(gòu)造復(fù)雜，內(nèi)存需求量較大，但在很大的入射角度的吸收條件較好。Mur給出了適合于在時域有限差分應(yīng)用的吸收邊界

10、條件的一階和二階的近似形式，具體推導(dǎo)過程可見1617。 應(yīng)該注意的是Mur的局限性：（1） 邊界面上任意點的插值都是在其領(lǐng)域的三維空間上進(jìn)行的，不允許靠近邊界的區(qū)域出現(xiàn)介質(zhì)的不連續(xù)；（2） 在垂直入射的情況下的計算精度僅相當(dāng)于一階吸收邊界條件。完全匹配層PML是通過在截斷邊界外放置虛擬的吸收介質(zhì)來系數(shù)外形波的，PML邊界由硬邊界構(gòu)成，在計算PML邊界時，就可以不涉及邊界外的未知量，大幅度提高了計算精度，詳細(xì)過程見18與Mur邊界條件相比，PML邊界具有更高的計算精度而且任意方向入射時均無反射。在二維自由空間，PML邊界吸收的反射系數(shù)可低于-70dB，比其他各種邊界條件改善約40dB。這種人工涉

11、及的完全匹配層由有耗導(dǎo)電、導(dǎo)磁煤質(zhì)組成，可吸收人以入射角、任何頻率、任意偏振態(tài)的入射電磁波，實用性更強，它內(nèi)存大，盡管有的文獻(xiàn)19提出的各向異性媒質(zhì)的PML吸收邊界條件所需計算機(jī)內(nèi)存量減少了一半，但是其實際計算量并沒有減少多少，在不連續(xù)介質(zhì)接觸邊界面和三維區(qū)域的6個面不全為吸收邊界時也難以應(yīng)付，具體算法可見19。目前各種吸收邊界條件都存在這一些缺點，吸收邊界條件反射過大，所適應(yīng)的入射角的范圍不夠?qū)拸V，提高計算精度等都應(yīng)該是我們努力的方向。二、 電磁輻射問題電磁輻射是由空間共同傳送的電能量和磁能量所組成，而該能量是由電荷移動所產(chǎn)生的。時變的電荷和電流是激發(fā)電磁波的源。為了有效使電磁波能量按所要求

12、的方向輻射出去，時變的電荷和電流必須按某種特殊的方式分布，天線就是設(shè)計成按規(guī)定的方式有效的輻射電磁波能量的裝置。其實質(zhì)就是一種導(dǎo)行波與自由空間的轉(zhuǎn)換器件或者換能器，用于發(fā)送和接受自由空間的電磁波。舉例說，正在發(fā)射訊號的射頻天線所發(fā)出的移動電荷，便會產(chǎn)生電磁能量，電磁包括形形色色的電磁輻射，從低頻電磁輻射到高頻電磁輻射，兩者之間還有無線電波、微波、紅外線和紫外光等。任何形式和形狀的天線都可以看成是有無限多個載有交流信號的基本小線元組成，這些基本元通常被稱為電偶極子，電偶極子產(chǎn)生的電磁場分析計算是線性天線工程的基礎(chǔ)?？筛鶕?jù)天線上的電流分布來計算由其產(chǎn)生的電磁場，由給定的求出A，再根據(jù)求得B，最后由

13、 求得。舉例如下：在自由空間取一個觀察點P。如圖23所示。用直角坐標(biāo)系表示。其中假設(shè)介質(zhì)的電磁常數(shù)為 、，只要知道表面電流就可以求出自由空間的電磁場分布。 圖2.1 帶有表面電流的理想導(dǎo)體再由電場的矢量波動方程可以由Maxwell方程組的第一個方程解出 在FDTD差分格式中，由于網(wǎng)格中的電流密度取的是平均值，因此其中，由可得： 的解為：在電磁學(xué)中，將自由空間按照輻射距離r劃分為三個區(qū)域近場反應(yīng)區(qū)，近區(qū)場，遠(yuǎn)區(qū)場。當(dāng)即的區(qū)域稱為近區(qū)，即的區(qū)域稱為遠(yuǎn)區(qū)。近區(qū)場求解過程見2021。這里以遠(yuǎn)場區(qū)為例，代入（2.4），對于遠(yuǎn)區(qū)場，和相較于來說可以忽略。 在遠(yuǎn)場區(qū)域，電場體現(xiàn)出球面波的特性，更加一般的輻射

14、體包括磁感表面 ，可寫出三維坐標(biāo)中電場強度，。過程中求出的，按式進(jìn)行離散差分。用FDTD方法解決電磁輻射問題的一般過程：1) 用空間上相鄰的節(jié)點，時間上當(dāng)前以及上一個時間表示的當(dāng)前時間當(dāng)前節(jié)點的電磁場分布表達(dá)式;2) 在足夠的觀測時間長度內(nèi)，計算在網(wǎng)格邊界處的電磁場，大??；3) 將時域表達(dá)的，通過傅立葉變換，轉(zhuǎn)換到頻域表達(dá)的，；4) 通過計算得到的場分布，得到網(wǎng)格邊界處的等效表面電流，；5) 運用輻射方程式，計算得到遠(yuǎn)場分布。經(jīng)過上述幾個步驟，就可以完成電磁場的時域差分計算。三、 FDTD方法的改進(jìn)應(yīng)用傳統(tǒng)的時域有限差分法分析、計算偽低頻電磁場問題時，由于空間步長遠(yuǎn)小于電磁波波源波長，滿足Co

15、urant-Friedrich-Levy穩(wěn)定條件的時間步長，遠(yuǎn)小于電磁波波源的周期。這樣將導(dǎo)致很大的時間步數(shù)。為消除Courant-Friedrich-Levy穩(wěn)定條件限制，在滿足計算精度的條件下采用較大的時間步長以提高算法的計算效率方面，世界上許多學(xué)者做了大量的探索工作，提出了幾類切實可行的解決方案，其中具有代表性的主要有兩類。一類是使用改進(jìn)的Lanczoc方法,另一類是采用交替方向隱格式時域有限差分法(ADI-FDTD)2627。改進(jìn)的Lanczoc方法和ADIFDTD法都是以1966年Yee提出的網(wǎng)格體系為基礎(chǔ)提出的新方法。ADI-FDTD法保留了時域有限差分法計算格式簡單等大部分優(yōu)點，

16、是一種無條件穩(wěn)定的差分方法?？扇我庠O(shè)定計算時間步長，但隨著時間步長的增加計算精度會不斷降低。因此三維交替方向隱格式時域有限差分法的計算精度尚有待于進(jìn)一步完善。由于應(yīng)用FDTD方法時受到計算機(jī)存儲容量的限制，計算區(qū)域網(wǎng)格空間不能無限制增加，所以采用并行計算技術(shù)來提高時域有限差分計算能力也是解決問題的有效途徑之一。從串行計算到并行計算，可以大幅度提高計算能力，通過并行FDTD算法可以解決大內(nèi)存的要求，可以大大縮短時間。參考文獻(xiàn)1 A. Taflove and K. R. Umashankar, “Review of FD-TD numerical modeling of electromagnet

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