大學(xué)課件 高等數(shù)學(xué) 下學(xué)期 6-5(直線的方程)

1、第五節(jié) 空間直線及其方程,空間直線的一般方程,空間直線的對稱式方程,與參數(shù)方程,兩直線的夾角,直線與平面的夾角,(space right line),定義,空間直線可看成兩平面的交線.,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,L,(2) 直線L的一般方程形式不是唯一的.,方向向量的定義,如果一非零向量平行于,二、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程,1.點(diǎn)向式方程,一條直線可以有許多方向向量.,求此直線的方程,一條已知直線,這個(gè)向量稱,為這條直線的,方向向量.,直線的對稱式方程,因?yàn)?故,(點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式）,方向數(shù).,令,直線的參數(shù)方程,故,直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換.,例,解,所求直線方程

2、為, M1, M2,求過兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,2,1)的直線方程.,向量,與直線平行,過兩點(diǎn)作直線,則直線的一個(gè)方向向量為:,于是對稱式方程可寫成:,一般,如直線過兩點(diǎn),解,交點(diǎn)為,所求直線方程,. A,. B,例,1. 將對稱式方程拆為一般方程,如對稱式方程為,可寫成一般方程,又如,可寫成一般方程,各類直線方程的互換,例,化為對稱式方程.,先求直線上一定點(diǎn):,于是得直線上的一定點(diǎn),取,對稱式方程,因所求直線與兩平面的法向量都垂直.,法一,2. 直線的一般方程化為對稱式方程,(重要),將 化為對稱式方程.,解,法二 兩點(diǎn)法,兩個(gè)對稱式方程,實(shí)際上直線的對稱式方程不唯一.,?,都滿

3、足這兩個(gè)對稱式方程,過兩點(diǎn)確定唯一的,因此這兩個(gè)對稱式方程表示同一條,怎么不一樣,答:,(當(dāng)定點(diǎn)取得不同時(shí)對稱式方程不同).,另外可驗(yàn)證,兩個(gè)點(diǎn),一條直線,直線.,寫成比例式,解,法三,(1),(2),兩個(gè)方程中,每一個(gè)只有兩個(gè)變量,共同的變量,即得對稱式方程.,解出,x.,將 化為對稱式方程.,將直線的一般方程,(2) 用代數(shù)的消元法化為比例式;,有兩種方法,(1) 找點(diǎn)、方向向量（平面法向叉積，兩點(diǎn)法）,化為點(diǎn)向式方程,小結(jié),3. 直線的參數(shù)方程,上式何時(shí)有用,宜于,直線的參數(shù)方程,故,?,答:,直線與平面的交點(diǎn).,得,解,再代入,代入平面方程,求直線,例,與平面,的交點(diǎn).,得,解,先作一

4、過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令,垂直相交的直線方程.,例,交點(diǎn),取所求直線的方向向量為,直線方程為,代入,得,將,想一想,?,還有別的方法嗎?,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之.,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,（銳角）,兩直線的位置關(guān)系:,C,提示,兩直線的夾角公式:,例,與直線,及,都平行且過原點(diǎn)的平面方程為( ).,1.,練習(xí)：,2.,3.,提示,提示,的交線平行的直線方程.,解,設(shè)所求直線的方向向量為,取,所求直線的方程,例,過已知直線外一點(diǎn)作直線與已知直線平行,直線和它在平面上的投影直線的,定義,四、直線與平面的夾角,夾角,稱之.,直線與平面的夾角公式,直線與平面的,/,(直線與平面垂直、平行的充要條件),位置關(guān)系：,解,為所求夾角.,例,求直線與平面的夾角.,C,設(shè)有兩塊不平行的平面,其中系數(shù)不互相成比例,交成一條直線L,過直線L的所求全體平面,平面束,(3)表示過直線L的平面,?,解,想一想 還有別的方法嗎?,將點(diǎn) 代入(1)中,得,例,過已知直線的平面束方程為,例,解,過已知直線的平面束方程為,由此得,代回平面束方程為,解,設(shè)平面束方程,由,即,所以,思考題1,求此直線方程.,解,所確定的平面方程為,即,的