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文檔簡介

1、第三節(jié) 基底 維數(shù) 坐標(biāo),一、向量組的秩與極大無關(guān)組,二、向量空間的基與維數(shù),三、向量空間的基與維數(shù),定義,一、向量組的秩與極大無關(guān)組,定理1,也等于它的行向量組的秩。,矩陣的秩等于它的列向量組的秩，,結(jié)論,說明,如階梯形矩陣,定理2,推論1,推論2,定理3,說明:,矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列,向量之間的線性關(guān)系；,矩陣的初等列變換不改,變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。,事實(shí)上,定理3,推論1,等價(jià)向量組有相同的秩，但反之不真。,那末，向量組 就稱為向量的一個(gè)基，,稱為向量空間 的維數(shù)，并稱 為 維向量空間, 記作 dimV=r 。,二、向量空間的基與維數(shù),定義3 設(shè) 是向量

2、空間，如果 個(gè)向量 ，且滿足,（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基,說明,（4）若向量組 是向量空間 的一 個(gè)基，則 可表示為,（2）若把向量空間 看作向量組，那末 的基 就是向量組的極大無關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的 秩.,（3）如果V是向量空間，V的任何r個(gè)線性無關(guān) 的向量都是V的一個(gè)基,那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什 么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐 標(biāo)如何改變呢？,問題：在 維線性空間 中，任意 個(gè)線性 無關(guān)的向量都可以作為 的一組基對(duì)于不同的 基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的,二、基變換與坐標(biāo)變換,它們是等價(jià)向量組，故,其中P是n階矩陣，,的過渡矩陣，,由上式可知P可逆。,(1),則由,由坐標(biāo)的唯一性得：,(1)式(2)式分別稱為基變換公式和坐標(biāo)變換

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