無窮級(jí)數(shù)的定義,性質(zhì)和及斂散性判別.ppt

1、第十一章 無窮級(jí)數(shù),從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問題展開討論：級(jí)數(shù)的收斂性判定問題，把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，級(jí)數(shù)求和問題。,重點(diǎn),級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier 展開式；,難點(diǎn),常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法和間接法， Fourier 展開，級(jí)數(shù)求和；,基本要求,掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)

2、,掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法,掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz審斂法,掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念,掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù),熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑,掌握 Fourier 級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式的Fourier 系數(shù),掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù),一、問題的提出,1. 計(jì)算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,二、級(jí)數(shù)的概念,1. 級(jí)數(shù)的定義:,一般項(xiàng),(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的部分和,部分和數(shù)列,2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:,

3、余項(xiàng),無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì) 稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,第 次分叉：,周長為,面積為,于是有,雪花的面積存在極限（收斂）,結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,三、基本性質(zhì),結(jié)論: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結(jié)論: 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,證明,類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,若記,則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為,的部分和記為,則,由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收斂的必要條件,級(jí)數(shù)收斂的必要條件:,證明,注意,1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,2項(xiàng),2項(xiàng),4項(xiàng),8項(xiàng),項(xiàng),由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.,由定積分的幾何意義,這塊面積顯然大于定積分,就是圖中 n 個(gè)矩形的面積之和,即,故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和,五、小結(jié),常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念,基本審斂法,思考