考研數(shù)學二公式高數(shù)線代費了好大的勁技巧歸納

1、 高等數(shù)學公式 一、常用的等價無窮小 x 0當時 x -1 e ln（1+） tan sin arcsin arctan xxxxxx xln a -1ax (1+)-1 xx) (為任意實數(shù)，不一定是整數(shù) 12 1-cos xx2 增加113 3-sin arcsin 對應(yīng)xxxxxx66113 3 對應(yīng) - arctan tan xxxxxx33 二、利用泰勒公式 32xx32 x ） x?x?o（?xsinxx+ o（） 1 + = e2！!322xx22? ln（1+）= o（）cos= 1 o（） xxxxx ！22 導數(shù)公式：1?x)(arcsin2?xtgx()sec?2x1?2

2、?x?(ctgx)csc1?)?(arccosx?tgx?secx)x?(sec2x?1?ctgxx?(cscx)?csc1?)(arctgxxx? a(aa)ln?2x?111?(arcctgx)?)(logx a2x1?axln 基本積分表：dx? Ccosx?lntgxdx?2?Ctgx?xdx?sec 2xcos? Cctgxdx?x?lnsindx2?Cctgx?xdx?csc 2xsin? Csecxdx?x?tgx?lnsec?Cx?dx?secsecx?tgx? Cctgx?lncscx?cscxdx?Cx?csccscx?ctgxdxxdx1?C?arctg 22xa?xaa

3、ax?Cdx?a adx1?xaln?Cln? 22a2?axx?a?C?shxdx?chxxa1?dx?Cln?C?chxdx?shx 22x?ax?2aadxxdx22?C?x)?ax?ln(?Carcsin? 22aax?22xa? 221?nnn?IxdxcosI?sinxdx? 2n?nn002ax222222?C)x?x?a?x?adx?x?aln( 222ax 222222?C?a?dx?a?x?a?lnxxx 222xax2222?Carcsin?xdx?ax?a a22 三角函數(shù)的有理式積分：2dux22u1?ucosx?，u?x?，tg，dx?sin 2222u?1u?1u

4、?1 兩個重要極限：一些初等函數(shù)： xsinxx?ee?1lim?:shx雙曲正弦 x20?x1x?xe?ex.2.7182818284(1?)59045?e?lim?:chx雙曲余弦 x?x?2x?xe?eshx?thx雙曲正切:? x?xchxe?e2）?1arshx?ln(x?x2)x?ln(?x1?archx?x11?lnarthx? x?21 三角函數(shù)公式： 誘導公式： 函數(shù) ctg tg cos sin A 角 cos ctg-sin - tg sin tgctgcos-90 -ctg -sin cos+90 -tg -ctg-cos-180 sin tg ctgtg180+- -

5、sin cos tg 270- ctgsin-cos - sin -tg-cos- ctg270+ - ctgtg -360- sin -cosctgcos360sintg 和差化積公式： 和差角公式：?sincoscos)?sinsin(?cossinsin?sin?2 22?sin?)?cos?cossincos(?sin?sincos?2sin?tg?tg 22?)(tg? ?tg?tg1?cos2coscos?cos?1?ctgctg? 22?)?ctg( ?ctgctg?sincos?cos?sin2 22 倍角公式：?cos?2sin2sin3?sin?3sinsin342222?

6、sin?cos2?2coscos?1?1?2sin3?cos?4coscos332?1?ctg?ctg2 3?ctg2tg?3tg?tg3 2?tg31?tg2?tg2 2?tg1? 半角公式：?cos?1?1cos?cos?sin? 2222?sincos1?coscossin?1?cos11?tg?ctg ?221?coscos?sincos1?cossin11? cab222Cc2?aab?bcos?R?2 正弦定理：余弦定理： CBsinsinAsin ?arcctgxx?arccosxarctgx?arcsin 反三角函數(shù)性質(zhì)： 22 Leibniz）公式：高階導數(shù)公式萊布尼茲（n?

7、)k)(n?k(n)kvCu?(uv)n0k? )1?k?)(n?1)n(n?1?(nn)(n(n?1)k(?(n2)n(n?)k)(?uv?u?vv?nuuv?v?u !k2 中值定理與導數(shù)應(yīng)用：?)?(a)f?(a)(b(拉格朗日中值定理：fb)?f?)?f()f(af(b?柯西中值定理： ?)a)F(F(b)?F拉格朗日中值定理。時，柯西中值定理就是)?x當F(x 曲率：2?tg?dx,其中y弧微分公式：ds?1?y? ?弧長。MM?sM:從M點到：點，切線斜率的傾角變平均曲率：K?化量；.?s?y?d?M點的曲率：K?lim?. ?sds32?0?s?)?1y(直線：K?0;1半徑為a

8、的圓：K?. a 定積分的近似計算：bab?)?y?)?y?(矩形法：yf(x 1?10nnab1?ab?)f(梯形法：y?yx(y?y)? 1?0n1n2nabab?y?y)f(拋物線法：x(y?y)?2y?y?y)?4y 1nn2?n24310?n3a 定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W?F?s水壓力：F?p?Amm12,kk為引力系數(shù)引力：F? 2rb1 ?dx)f(x函數(shù)的平均值：y? b?aab12?dtt均方根：f)(a?ba 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用?z?z?u?u?udx?dydu?dx全微分：dz?dy?dz ?x?y?x?y?z全微分的近似計算：?z?dz?f(x,y)?x?f(x,y

9、)?yyx多元復合函數(shù)的求導法：dz?z?u?z?vz?fu(t),v(t)? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x當u?u(x,y)，v?v(x,y)時，?u?u?v?vdu?dx?dydv?dx?dy ?x?y?x?y隱函數(shù)的求導公式：2FFFy?d?dydyxxx)?)(0，?，?(?x隱函數(shù)F(,y) 2dxF?xF?yFdxdxyyyFF?z?zyx，?0?，?),(隱函數(shù)Fxyz F?F?xyzzF?FFF 0?v)F(x,y,u,?)GF,?(v?uvu?J?隱函數(shù)方程組：? GG?GG0)?G(x,y,u,v),v?(

10、u?vuv?u?)G?(F,?(F,G)v1?u1? )xu,v)?xJ?(?xJ?(x),GG)?v1?(F?u1?(F,? )y?yJ?(u,y?yJ?(,v) 微分法在幾何上的應(yīng)用： 方向?qū)?shù)與梯度： 多元函數(shù)的極值及其求法：C?,y)B,f(x)?A,f(x,y)?,f設(shè)f(x,y)?(x,y)?0，令：f(xy0yy00xx0yxyx000000?為極大值)x,yA?0,(?002時，0?B?AC?為極小值)x,yA?0,(?00? 2時，無極?0則：值A(chǔ)C?B?2不確定時?B,?0AC? 重積分及其應(yīng)用：?rdrdsincos),y)dxdy?rf(r(fx,?DD22?z?z?d

11、xdy1的面積曲面z?f(x,y)A?y?x?D?d)d)x,yyx(x,yMMyxDD?y?,平面薄片的重心：x? MM?d(x,),y(y)dxDD22?dy)(y,對于軸I?I平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸?xyxx(,y)d,yxDD平面薄片（位于xoy平面）對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(a?0)的引力：F?F,F,F，其中：zxy?xdy)yd,(x,(xyxdx(,y)?fa?FfF，f，F(xiàn)? zyx333222222222 DDD)a)?y?(xa?yx(?)x(?ya222 微分方程的相關(guān)概念：?0?,y)dyy)dx?Q(一階微分方程：yx?f(x,y)或P(x,的形式，解法

12、：dx(x)g(y)dy?f可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為?稱為隱式通解。Cx)?(y)?F(g(y)dy?Gf(x)dx得：ydy?程可以寫成齊次方程：一階微分方)，即寫成?的函數(shù)，解法：(x,y?f(x,y) xdxyduydydududx?，u)，?分離變量，積分后將，則?u?x，u?代替(u設(shè)u? ?xu(u)?dxxdxdxx即得齊次方程通解。 一階線性微分方程：dy)x?Q(P(x)y1、一階線性微分方程：? dx?dxx)?P(Cey?0時,為齊次方程，當Q(x) ?dx)?P(P(x)dxx?eC)當Q(x)?0時，為非齊次方程，y?(Q(x)edx?dyn)1n?

13、0?yQ(x)y,，(2、貝努力方程：?P(x) dx 全微分方程：分方程，即：0中左端是某函數(shù)的全微)dy?()dx?Qx,y如果P(x,yuu?)y(x,y)，?Q,(xy)dy?0，其中：?P(x,xdu(,y)?P(xy)dx?Q y?x通解。應(yīng)該是該全微分方程的?Cyu(x,)? 二階微分方程：f(x)?0時為齊次2ydyd?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： ?qy?0，其中p?py,q(*)y為常數(shù)；求解步驟：22?,yyy的系數(shù)；,q?0，其中r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是，r(*)式中(1、寫出特征方程：?)r?pr

14、2、求出(?)式的兩個根r,r213、根據(jù)r,r的不同情況，按下表寫出(*)式的通解： 21(*)式的通解 的形式rr， 21rxrx2ece?y0qp(?4?)c?21 兩個不相等實根21xr2e)xy?(c?(pc?4q?0)1 兩個相等實根 21?x2?)sincp(cos?4q?0)xxy?e?c(一對共軛復根 21?ii?，r?r?212pq?4p ?，?22 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?為常數(shù),q(x)y，?pyp?qy?f?x?為常數(shù)；型，P(xf(x)?e) m?x?型)sinx)cosxx?Pf(x)?e(xP(nl 式1、行列2n 個元素，展開后有項，可分解為1. 行列式

15、共有行列式；n!nn2 代數(shù)余子式的性質(zhì)：2. 的大小無關(guān)；、和aAijij ；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0 ；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為 Aji?j?i 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：3. MA(?M(?1)1)?Aijijijij 行列式 設(shè)：4.nD1)?n(n 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為將，則；DDD?D(?1)2111)?n(n o，則順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為； 將DD1)?DD(90222將主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則； DDDD?33 ，則；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為DDD?D44 5. 行列式的重要公

16、式： 、主對角行列式：主對角元素的乘積；1)?n(n ； 、副對角行列式：副對角元素的乘積1)?(2、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積； ? n(n?1) ； 和、：副對角元素的乘積?1)?( 2 CAAAOCOAmgn 、拉普拉斯展開式：、 B?1)(?AABCCBOBOBB、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積； 、特征值；n?kknn? ，其中為階主子式；6. 對于階行列式，恒有：? nAkSSA?(?1)Ekk1k? 的方法：7. 證明 0A? ；、 A?A 、反證法； ，證明其有非零解；、構(gòu)造齊次方程組0?Ax ；、利用秩，證明n?r(A) 是其特征值；、證明0 陣、矩2 階可

17、逆矩陣： 是1.nA （是非奇異矩陣）； 0?A? （是滿秩矩陣）?n?r(A) 的行（列）向量組線性無關(guān)；?A 有非零解；齊次方程組?0?Axn ，總有唯一解；?bAx?R?b? 與等價；EA? 可表示成若干個初等矩陣的乘積；?A 0；的特征值全不為?AT 是正定矩陣；?AAn 的一組基；的行（列）向量組是?ARn 中某兩組基的過渡矩陣；是A?R* 成立；無條件恒 2. 對于階矩陣： nE?AAA?AAA*T*TT?1T?1?1*1 3. )?(A?)(A()(?(AA)(AA)11?1TTT*? A(AAB)(AB)?BA(AB)B?B? 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，

18、可求代數(shù)和；4. 、可逆：5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均BAA?1?A?2 若，則：?A?O?A?s、； AALA?As21?1?A1?1?A?1?2； 、?A?O?1?A?s1?1AO?OA?；（主對角分塊）、 ?1BOBO?1?1AO?BO?；（副對角分塊） 、?1?OBOA?1?11?1CA?CBAA?；（拉普拉斯）、 ?1BOBO?1?1AO?AO?、 ；（拉普拉斯）?1?11CB?BBCA?3、矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：n?mAEO?r； ?F?OO?m?n等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類

19、；標準形為其形狀最簡A單的矩陣； 對于同型矩陣、，若； BABA:(B)?r(A)?r2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0； 3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換） r:?1? ，則可逆，且、若；A)?X(E,(A?E)?,?A?Xc1?1?；變?yōu)闀r，就變成即： ，當、對矩陣做初等行變化，BAE)B(A,)?(E,AB,(AB)BAr:可逆，則、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果nnA)x(E(A,b),bAx?1? ；且b?Ax 初等矩陣和對角矩陣的概念：4. 、初等矩陣是

20、行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列 矩陣；?1?2的各列元的各行元素；右乘，乘，左乘矩陣、，乘?AAA?ii?O?n素； 1?11?1，例如： ，、對調(diào)兩行或兩列，符號且；11?)iE(,j),i(,j)j(?EiE?11?1?1，例如且，號某乘、倍某行或列，符：)(E(ik)kiE()?Ei( k1?1?1?1?； 0)k?(k? ?k?1?1?1，如：符號,且、倍加某行或某列，)k(ij(ij(k)(?EE)(ij(kE?11k1k? ；0)?(k?11?11?5. 矩陣秩的基本性質(zhì)： 、； )n?min(m,0?r(A)n?mT；、 )A)?rr(A(、若，則

21、； BA:)B?r(Ar()、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩） P)(PAQ?r(AQ)?rr(A)?r(PA)Q、；（） )(Br(A)?r),r(B)?r(A,B)?max(r(A、；（） )B(A)?r(r(A?B)?r、；（） )B(A),r(rr(AB)?min(、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（） snn?m?BA0?AB 、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）； B0AX?、 n?B)A)?r(r(、若、均為階方陣，則； nBAn)?r(Br(AB)?r(A)6. 三種特殊矩陣的方冪： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用?結(jié)合

22、律； 1ac?的矩陣：利用二項展開式；、型如 b10?100? 二項展開式：n?n?mmmn11n?1nn0n1n?11mn?mmn? ；Cab?bCab?Ca?Cab?L?Cb?L)(a?b?Cannnnnn0m?n展開后有項；注：、 1n?)?b(an(n?1)LL(n?m?1)n!0nm、 ?1?CC?C nnn)!1g2g3?mmm!(ngLgn?rnrr1mm?1mmn?m ；、組合的性質(zhì)：nC ?CC?2?CCCrC?C1nnn?n1nn?nn0r?、利用特征值和相似對角化： 7. 伴隨矩陣： nr(A)?n?*；、伴隨矩陣的秩： 1nA)?1?(rA)?(r?1?0n?)A(r?

23、AA*1*?；、伴隨矩陣的特征值： ? )A,AX?AAX?(AX?X?n?1 1*?* 、 A?AAAA?8. 關(guān)于矩陣秩的描述： A、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話） nA1?nn)?r(A、，中有階子式全部為0； nAn?A)r(、，中有階子式不為0； nAn)?r(A9. 線性方程組：，其中為矩陣，則： n?mAbAx?、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程； mmb?Ax、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程； nnbAx?10. 線性方程組的求解： b?Ax、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）； B、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后

24、求得； 11. 由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程： nnmax?ax?L?ax?b?111n12n121?ax?ax?L?ax?b?2nn2211222； 、?LLLLLLLLLLL?ax?ax?L?ax?b?n12nmmm12naaLaxb?111112n1?aLxbaa?2n212222（向量方程，為矩陣，個方程，、mnm?Ab?Ax?MMMMOM?aLaaxb?mmmnm1m2 個未知數(shù)）nxb?11?xb?22、）； （全部按列分塊，其中?aaaL?21n?MM?bx?nn?（線性表出） 、?axax?L?ax?n2n121?（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）、有解的充要條件： nn)A,

25、?r(A)?r(4、向量組的線性相關(guān)性 1. 個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣； ?mn?mnA)LA,L,?(,m12m21T?1?T?TTT2；：構(gòu)成矩陣 個維行向量所組成的向量組?nmmn?B?B,L?m21M?T?m含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)； 2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 有、無非零解；（齊次線性方程組） 0?Ax?、向量的線性表出 （線性方程組） 是否有解；b?Ax?、向量組的相互線性表示 （矩陣方程） 是否有解；B?AX?3. 矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；0Bx?0?AxBAnln?m?P例(14) 101PT例( 15) ；4.)AA

26、A)?r(r(101維向量線性相關(guān)的幾何意義： 5.n?線性相關(guān) ； 、?0?、線性相關(guān) 坐標成比例或共線（平行）； ?,、線性相關(guān) 共面； ?,6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理： 若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)； ?,L,L11sss12?2若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為?,L,L1?s2211s對偶） 若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組： nn?rBAr若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的AABB維數(shù)加加減減） 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定； 7. 向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則(二sABA

27、sr?rP定理7)；版 74P定理3）線性表示，則；（ 向量組能由向量組BA)r(A)?r(B86向量組能由向量組線性表示 BA有解； B?AXP定理2） （ )?r(A,B?r(A85P定理2推論） 能由向量組 向量組等價（BA)A(,B?r(A)?r(B)?r858. 方陣可逆存在有限個初等矩陣，使； ?APPPLA?PP,P,L,ll2211r 與同解（左乘，、矩陣行等價：可逆）BPA?AB?P0Bx0?Ax?c ；、矩陣列等價：（右乘，可逆）QBAAQ?B? 、可逆）；（、矩陣等價：PQB?PAQ?AB 對于矩陣與：9. BAnn?l?m 與的行秩相等；、若與行等價，則BBAA的任何對

28、應(yīng)的列向量組具有與與行等價，則與同解，且、若BBAA0Bx?Ax0? 相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣的行秩等于列秩；A 若，則：10. CA?Bn?ms?sn?m 為系數(shù)矩陣；的列向量組線性表示，、的列向量組能由BACT 的行向量組線性表示，的行向量組能由、（轉(zhuǎn)置）為系數(shù)矩陣；BCA11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證0ABxBx?0?明； 、 只有零解只有零解； 0?0Bx?ABx、 有非零解一定存在非零解； 0?0ABx?BxP題19結(jié)論）設(shè)向量組可由向量組線性表示為：（ 12. a,b,A:a,a,LB:b,b,L110sr2n?r1n1?2s（） AKB?Ka)ab)?(a,L,(b,b,L,s2r211 其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有rs?KKBABr)?r(K相同線性相關(guān)性） （必要性：；充分性：反證法） r?r(K)K),r()?r,?Qr?r(B)?r(AK)?r(K 注：當時，為方陣，可當作定理使用； sr?KP）（ ， 、的