專題一三角與向量的交匯題型分析及解題策略規(guī)劃

1、專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，在高考中，主要出現(xiàn)在解答題的第一 個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換公式、性質(zhì)與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著 不同程度的交匯，在高考中是一個熱點(diǎn)如08年安徽理科第5題（5分），考查三角函數(shù)的對稱性與向量平移、08年山東文第8題理第15題（5分）考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第17題（12分）考查三角函數(shù)的求值與向量積、07的天津文理第15題（4分）考查正余弦定理與向量數(shù)量積等根據(jù)2009年考綱預(yù)計在09年

2、高考中解答題仍會涉及三角函數(shù)的基本恒等變 換公式、誘導(dǎo)公式的運(yùn)用、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、向量的數(shù)量積、共線（平行）與垂直的充要條件條件主要考查題型：（1）考查純?nèi)呛瘮?shù)函數(shù)知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三角函數(shù)式，再求三角函數(shù)的值或研究三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)；（2）考查三角函數(shù)與向量的交匯，一般是先利用向量知識建立三角函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)知識求解；（3）考查三角函數(shù)知識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起【考試要求】1. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定義.了解余切、正割、余割的定義.掌握同角 三角函數(shù)的基本關(guān)系式掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式了解周期函數(shù)與最小正

3、周期的意義.2 .掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3 能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.4 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（ 3x+Q的簡圖，理解 A , 3, $的物理意義.5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.6 .掌握向量的加法和減法.掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.7 了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.8掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、 角

4、度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.9 .掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn) 用.掌握平移公式.【考點(diǎn)透視】向量具有代數(shù)運(yùn)算性與幾何直觀性的雙重身份”，即可以象數(shù)一樣滿足運(yùn)算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的運(yùn)算，又可以利用它的幾何意義進(jìn)行幾何形式的變換而三角函數(shù)是以角”為自變量的函數(shù)，函數(shù)值體現(xiàn)為實(shí)數(shù)，因此平面向量與三角函數(shù)在角”之間存在著密切的聯(lián)系同時在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性 主要考點(diǎn)如下：1.考查三角式化簡、求值、證明及求角問題2. 考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像，特別是 y=Asin（ .x+）的性質(zhì)和圖像及其圖像變

5、換 3 考查平面向量的基本概念，向量的加減運(yùn)算及幾何意義，此類題一般難度不大，主 要用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、平行問題等4 .考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算5.考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（包括坐標(biāo)形式及非坐標(biāo)形式 ），兩向量平行與垂直的充要條件等問題6 .考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問題【典例分析】題型一 三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實(shí)質(zhì)是一樣的，它們都統(tǒng)一于同一坐標(biāo)系的變化前后的兩個圖象中解答平移問題主要注意兩個方面的確定：（1）平移的方向；（2）平移的單位這兩個方面就是體現(xiàn)

6、為在平移過程中 對應(yīng)的向量坐標(biāo).【例1】 把函數(shù)y = sin2x的圖象按向量a =3）平移后，得到函數(shù) y= Asin（ wx6+ ）（A 0, w0, | 1= 2）的圖象，貝U :和B的值依次為兀12,B. 3, 3JIC. 3， 3方，3=4匹【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)確定平行公式為*X = x十6,再代入已知解析式可得.還可以、y = y+ 3由向量的坐標(biāo)得圖象的兩個平移過程，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經(jīng)對照即可作出選擇.【解析1】由平移向量知向量平移公式 jX = x 6,即jX = x + 6，代入y = sin2x得yy = y 一 3y = y + 3+ 3= sin2(x +

7、 6),即到 y= sin(2x + j 3，由此知;=3, B = 一 3，故選 C.【解析2】由向量弓=（,3），知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體6向左平移個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖象為 y= sin2（x + 7） 3,即y =6 6sin(2x + 3) 3,由此知 = 3, B= 3,故選 C.【點(diǎn)評】 此類題型將三角函數(shù)平移與向量平移有機(jī)地結(jié)合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應(yīng)用能力，同時考查方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想 .本題解答的關(guān)鍵，也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小題型二 三角函數(shù)與平面向量平行（共線）的綜合此題型的解答一般是從向量平

8、行（共線）條件入手，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后再 利用三角函數(shù)的相關(guān)知識再對三角式進(jìn)行化簡，或結(jié)合三角函數(shù)的圖象與民性質(zhì)進(jìn)行求解此類試題綜合性相對較強(qiáng)，有利于考查學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況，因此在高考中常有考查【例2】已知A、B、C為三個銳角，且 A + B+ C= n若向量p = （2 2sinA , cosA + sinA)與向量 q = (cosA sinA , 1 + sinA)是共線向量（I）求角A ;C 3B（n）求函數(shù)y = 2sin2B + cos 2 的最大值【分析】 首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值，再根據(jù)角的范圍即可解決第 （I ）小題；而第

9、（n ）小題根據(jù)第（I ）小題的結(jié)果及 A、B、C三個 角的關(guān)系，結(jié)合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的表達(dá)式，再根據(jù)B的范圍求最值【解】 (I)： p、q 共線， (2 2si nA)(1 + sinA) = (cosA + si nA)(cosA si nA)，則23sinA = 4,又A為銳角，所以sinA=寧，則A=3TT(n# B) 3B2 C 3B c 2(31(n) y= 2sin B + cos 2= 2sinB + cos 2.2兀iV3=2sin B + cos(3 2B) = 1 cos2B + ?cos2B + 丁sin2B,31二=si n2B 2cos2B +

10、 1 = si n(2B 6)+ 1.：B （0, 2），二 2B 6 （6，青）， 2B 6 = 2 解得 B= 3 ymax= 2.【點(diǎn)評】本題主要考查向量共線（平行）的充要條件、三角恒等變換公式及三角函數(shù)的有界性.本題解答有兩個關(guān)鍵：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題；（2）根據(jù)條件確定 B角的范圍.一般地，由于在三角函數(shù)中角是自變量，因此解決三角函數(shù) 問題確定角的范圍就顯得至關(guān)重要了題型三 三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合此題型在高考中是一個熱點(diǎn)問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

11、此類題型解答主要體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想等【例 3】 已知向量 q = (3sin a ,cos q = (2sin ,，sin 4cos a,)a (, 2 n，且卞 qq .(I)求tan %的值；(n)求 cos(%+ 3)的值.【分析】第（I ）小題從向量垂直條件入手，建立關(guān)于a的三角方程，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得 tan曲勺值；第（n ）小題根據(jù)所求得的tan舶勺結(jié)果，利用二倍角公式求 得tan2的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最后的結(jié)果.=(2sin a , 5shn4cos a,)ta n a=1.cosa=-25【解】(I) t a 丄 b , a -b

12、= 0.而 a = (3sin a cos a, b故 a -b = 6sin2a+5sin a co&acos2a= 0.24由于 cos aM,0.6tan a+ 5tan 齒 4= 0.解之，得 tan = 3 或3笄14T a (才)2 n), tan a 0,故 tan =(舍去).二 tan =-.（n）T %（竽,2 n） , 2（普,n）.由 tan = 求得 tan* 1, tana= 2 （舍去）. sinf= j322225 cos（篤弓=cos-co sinin兀-鑽x1 -運(yùn)衛(wèi)=2質(zhì)+師22323 323525210【點(diǎn)評】本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數(shù)

13、的基本關(guān)系、二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)同時本題兩個小題的解答都涉及到角的范圍的確定，再一次說明了在解答三角函數(shù)問題中確定角的范圍的重要性同時還可以看到第（I）小題的解答中用到 弦化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現(xiàn)切函數(shù)與弦函數(shù)”關(guān)系問題常用方法題型四三角函數(shù)與平面向量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)眉|2= 2，如果涉及到向量的坐標(biāo)解答時可利用兩種方法：（1）先進(jìn)行向量運(yùn)算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）先將向量的坐標(biāo)代入向量的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解【例 3】已知向量a = （cos a ,sin, db）= （cos 3 ,sin, |a） b|= ；

14、 - 5.（ I ）求 cos（ B 的5值；（n ）若一- 30v av-，且 sin = 13,求 sin a的值.2213【分析】利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可解決第(I)小題；而第(n)小題則可變角a= ( a 3)+ 3,然后就須求sin( a 3與cos 3即可.【解】(I ) |= |.5 ,.2 2 + 2 = 4，將向量=(cos a ,sin, )= (cos 3 ,sin代入)式得22 431 2(cos acos 3+ sin asin 3 ) 1 =-, cos(a 3)=：5 5JlJl(n ) / 2 3 0 a , 0 a 3 n34由 cos( a 3

15、)= ：,得 sin( a 3)=5 5512又 sin f=, cos B=,131333 sin a= sin (a 3 + 閔 =sin( a cos 3+ cos(a sin 3= 65點(diǎn)評：本題主要考查向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、和角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題解答中要注意兩點(diǎn)：(1)化|a b |為向量運(yùn)算|a b |2= (a b )2;注意解a 3的 范圍.整個解答過程體現(xiàn)方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想題型五三角函數(shù)與平面向量數(shù)量積的綜合此類題型主要表現(xiàn)為兩種綜合方式：(1)三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系；(2)利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯， 達(dá)到與數(shù)量積的綜合.解答時也主要是利用向

16、量首先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用三角函數(shù)知識求解.【例 5】設(shè)函數(shù) f(x)=.其中向量=(m, cosx), b = (1 + sinx, 1), x R,且 f(-)=2. (I)求實(shí)數(shù) m的值；(H)求函數(shù)f(x)的最小值.分析：利用向量內(nèi)積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量內(nèi)積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的 數(shù)量關(guān)系”，從而，建立函數(shù)f(x)關(guān)系式，第(I)小題直接利用條件f(2)= 2可以求得， 而第(H )小題利用三角函數(shù)函數(shù)的有界性就可以求解.解：(I) f(x) = = m(1 + sinx) + cosx，由 f( 2)= 2，得 m(1 + sin)+ cosf 2，解得 m= 1.(H

17、)由(I)得 f(x) = sinx + cosx+ 1 = 2si n(x +4) +1，當(dāng)sin(x + ；)= 1時，f(x)的最小值為1 2.點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)交匯點(diǎn)較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可 以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，其解法都差不多，首先都是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.六、解斜三角形與向量的綜合在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導(dǎo)的，說明正弦定理、余 弦定理與向量有著密切的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應(yīng)的三角函數(shù)值為向量的坐

18、標(biāo)，要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題【例6】已知角A、B、C ABC的三個內(nèi)角，其對邊分別為a b、c,若=(A . A A . A口1cos?，sin2)， n = (cos?，sin2)，a= 2.3，且 m- n =(I)若 ABC的面積S= ,3,求b+ c的值.(H)求b+ c的取值范圍.【分析】第(I )小題利用數(shù)量積公式建立關(guān)于角A的三角函數(shù)方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關(guān)于b、c的方程組求取b+ c的值;第(n )小題正弦定理及三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于B的三角函數(shù)式，進(jìn)而求得 b+ c的范圍.sin 今)，Km 懇=2 ,-A A -A【

19、解】(I)： m = ( cos, sin), n = (cosq,2A 2A 1 口口A 1又 A (0, n A =才 cos 2 + sin = 2, 即一 cosA = , 3 -1又由 ABC = ?bcsinA = .3,所以 bc= 4,由余弦定理得：a2= b2+ c2 2bc cos= b2+ c2 + bc,(n)由正弦定理得： 一生=一丄=鼻=23 = 4, 2兀 16= (b+ c)2,故 b + c= 4.sinB si nC sinA又 B + C A = 3,3( b + c= 4s inB + 4si nC = 4s inB + 4si n(3 B) = 4si

20、 n(B + -3),33 0 v B v 3,則 3 B+ 3 2f,則當(dāng)V si n(B + 3) wj 即 b+ c 的取值范圍是(2羽，4.點(diǎn)評本題解答主要考查平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換及三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式、三角形內(nèi)角和定理等解答本題主要有兩處要注意：第 (I )小題中求b+ c沒有利用分別求出 b、c的值為解，而是利用整體的思想，使問題得到簡捷的解答；(2)第(n)小題的求解中特別要注意確定角B的范圍.【專題訓(xùn)練】、選擇題1.已知a = (cos40 , sin40 ), b = (cos20 , sin20 )，則= V31B . C. 22將函數(shù)y = 2

21、sin2x 才的圖象按向量 , p平移后得到圖象對應(yīng)的解析式是A . 2cos2xB . 2cos2xC. 2sin2xD. 2sin2x3. 已知 ABC 中，AB = , AC =，若 0)平移所得的圖象關(guān)于 y軸對 稱，貝U m的最小值為()C.35_7：68.9.設(shè) 00/3, 丁).若/，則 sin2日的值為.14 .已知在 OAB(O為原點(diǎn))中， OA =(2cosa, 2sina), OB = (5cosP, 5sinP),若OA-OB =5，貝U Saaob 的值為.15. 將函數(shù)f(x)= tan(2x+ 3) + 1按向量a平移得到奇函數(shù)g(x),要使|a|最小，貝U a=

22、-3 n - - 16. 已知向量 m = (1, 1)向量n與向量m夾角為，且m -n = 1.則向量n =三、解答題17. 在 ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,若 AB-AC = BA-bC = k(k R).(I)判斷 ABC的形狀；(n)若c= 2，求k的值.18. 已知向量 rn = (sinA,cosA) , , 3, 1), m = 1,且 A為銳角.(I )求角 A 的大??；(n )求函數(shù) f(x) = cos2x+ 4cosAsinx(x R)的值域.19. 在厶ABC中，A、B、C所對邊的長分別為 a、b、c,已知向量 m = (1, 2sinA) ,

23、 n = (sinA ,1 + cosA)，滿足-/ , b+ c= 3a.( I )求 A 的大??；(n )求 si n(B + )的值.20. 已知 A、B、C 的坐標(biāo)分別為 A (4, 0) , B ( 0, 4), C ( 3cos a 3sin 況.(I)若 a (- n 0)，且 |AC| = |BC|,求角 a的大小;2 .(n)若 AC丄bc，求2si：sin2 的值.1 + tan a21. ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c, rm = (2b c, a), 卞=(cosA, cosC),且 rm 丄n .(I )求角A的大??；2江(n )當(dāng)y = 2sinB +

24、sin(2B + 6)取最大值時，求角 B的大小.22 .已知 r = (cosx+ sinx, sinx), = (cosx sinx, 2cosx),(I)求證：向量與向量不可能平行；r r (n)右f(x) = a -b，且x 4Q時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值.1. B解析：12. D【解析】3. A【解析】4. B【解析】5. B【解析】6. A【解析】52.7. B【解析】=,Jicos(x + 3所以m =；：3& C【解析】9. D【解析】故選B.【專題訓(xùn)練】參考答案-、選擇題it典由數(shù)量積的坐標(biāo)表示知a肩=cos40 sin20 + sin40 cos20 = sin60

25、 =飛.jnynyny = 2sin2x -亍月=2si n2 (x + 2)一 2 + 2, 即 即 丫 =一 2sin2x.c c-c -c因?yàn)?cos/ BAC = AB AC = f v 0 ,/ BAC 為鈍角.c cc c|AB|AC| |a|b|由平行的充要條件得 3* sincos.：= 0, sin2/= 1, 2 . = 90，.二=45 .2 3-3 1-c-c-c -cab =sin + |sin 0,v 0 (n, -y) ,|sin 0= sin 0 /. ab= 0, a丄 b.仃c = a + 百=(6, 4 + 2 )，代入 y= sinx 得，一4+ 2 =

26、 sin= 1，解得考慮把函數(shù)y= sin（x +牛）的圖象變換為y= cosx的圖象，而y= sin（x +青） ），即把y= cos（x+扌）的圖象變換為y= cosx的圖象，只須向右平行 才個單位,|PX|= . (2 + si nB cosB)2+ (2 - cos 0- si nB)2= .10 8cosBW.3c + c = (cos： + cos :,s in 養(yǎng) + sin：), a b = (cosx+ cos：,s in： si n ：),(ab )= cos% cos2P + sin2a sin20 = 0,二(+ )丄(b ).10. C 【解析】|u |2= |_a

27、|2+幣|2+ 2ta= 1 + t2+ 2t(sin20 cos25 + cos20 sin25 )= t2+ 2t + 1= (t +2+ 1 2 =1 =2 十 2，| U |min =:，IU |min = ? ii. c【解析】 設(shè)bc的中點(diǎn)為d，則aB + aC = 2AD，又由OP= OA + - (AB + AC), aP=2 AD，所以AP與AD共線，即有直線 AP與直線AD重合，即直線 AP 一定通過 ABC 的重心.12. A【解析】設(shè)卞=(x,y) , x軸、y軸、z軸方向的單位向量分別為 了 = (1,0), 了 = (0,1),r ?2，則 cos2。+ cos20

28、 = 1.x + y由向量知識得 COSO(= = f j m COS0 = 幣同小冇|、填空題13.8493【解析】由冷卞，得一知*2一3跡昇曲=4-3,.毗*s2黑鞋=2仞日=8田tan2 二+ 149 14.15.【解析】OA- OB = 5 ： 10cos:co ：s+ 10sin: sin - = 5 ： 10cos(: ：)= 5 : cos(: ：)=寸，.sin/ AOB 二于，又 |OA| = 2, |OB| = 5，二 Saaob = *25k25l3(6， 1)【解析】要經(jīng)過平移得到奇函數(shù)g(x)，應(yīng)將函數(shù)f(x) = tan(2x + 3) + 1的圖象向下平移1個單位

29、，再向右平移一牙+ 6化 Z)個單位.即應(yīng)按照向量a=(n+6n = 1,有 x+ y= 1，由 m 與x= - 1l. y=01) (k Z)進(jìn)行平移.要使|a最小，16. ( 1, 0)或(0, 1)【解析】設(shè)n = (x, y)，由mn夾角為苧有W = |rn| |cos3jn, . |n |= 1，則x2 + y2= 1，由解得cx = 0戸亠y 1 即 n = ( 1, 0)或 n = (0, 1). y= 1三、解答題17. 【解】(I)： AB -Ac = bccosA, BA， = cacosB, bccosA = cacosB,sinBcosA = sinAcosB，即 si

30、nAcosB sinBcosA = 0，二 sin(A B) = 0.A B = 0, 即卩A = B ,. ABC為等腰三角形b2+ c2 a2 c2，又ABAC = Ba-Bc, 由正弦定理，得 nV A B V n,(n)由(I)知C =彳2,. k= 1.a = b , . AB -AC = bccosA = bc - ?bc18. 【解】(I )由題意得r?rrT = 3si nA cosA = 1, 2si n(A ：)= 1,由A為銳角得A A =-.6631嚴(yán)廠 r r 2123(n )由(I)知 cosA = 2,所以 f(x) = cos2x+ 2sinx = 1 2sin x + 2sinx = 2(sinx )+ 2， 因?yàn)閤 R,所以sinx 1,1，因此，當(dāng)sinx = *時，f(x)有最大值|.3 當(dāng)sinx = 1時，f(x)有最小值3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是3,.19. 【解】(I )由斥 / n，得 2sin2A 1 cosA = 0,即 2cos2A + cosA 1 = 0,二 cosA = ?或 cosA=1. A 是厶 ABC 內(nèi)角，cosA= 1 舍去， A = 3.3(n ) / b+ c= “.；3a，由正弦定理，sinB + sinC = . 3sinA = 2,/ B + C= , sinB + sin(乙B)