高等數(shù)學(xué)（2015級版）：(不講)8_9 二元泰勒公式

1、,*第九節(jié),一、二元函數(shù)泰勒公式,二、極值充分條件的證明,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二元函數(shù)的泰勒公式,第八章,一、二元函數(shù)的泰勒公式,一元函數(shù),的泰勒公式:,推廣,多元函數(shù)泰勒公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,記號,(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):,一般地,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,表示,表示,定理1.,的某一鄰域內(nèi)有直,到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,為此鄰域內(nèi)任,一點(diǎn),則有,其中, 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式,稱為其拉格,朗日型余項(xiàng) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證: 令,則,利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

2、 返回 結(jié)束,一般地,由,的麥克勞林公式, 得,將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,(1) 余項(xiàng)估計(jì)式.,因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉,鄰域其絕對值必有上界 M ,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 當(dāng) n = 0 時(shí), 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:,(3) 若函數(shù),在區(qū)域D 上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù),恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求函數(shù),解:,的三階泰,勒公式.,因此,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,時(shí), 具有極值,二、極值充

3、分條件的證明,的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),A 0 時(shí)取極大值;,A 0 時(shí)取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時(shí), 沒有極值.,時(shí), 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),定理2 (充分條件),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意,則有,所以,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中 , , 是當(dāng)h 0 , k 0 時(shí)的無窮小量 ,于是,(1) 當(dāng) ACB2 0 時(shí),必有 A0 , 且 A 與C 同號,可見 ,從而z0 ,因此,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,從而 z0,(2) 當(dāng) ACB2 0 時(shí),若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0,則,時(shí), 有,異號;,同號.,可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,+,+,若 AC 0 ,則必有 B0 ,不妨設(shè) B0 ,此時(shí),可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù),(3) 當(dāng)ACB2 0 時(shí),若 A0,則,若 A0 ,則 B0 ,為零或非零,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,此時(shí),因此,作業(yè) P67