數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書new

1、數(shù)值計(jì)算方法（一）實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書一、 基本情況 課程名稱：數(shù)值計(jì)算方法（一） 課程編號(hào)：01024002, 01025002, 01825059, 01826059 課程學(xué)時(shí)：授課 50學(xué)時(shí)， 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 20學(xué)時(shí) 適用專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理力學(xué)綜合班等理科本科生 使用教材：數(shù)值計(jì)算方法（一） 上海大學(xué)數(shù)學(xué)系編 數(shù)值實(shí)驗(yàn)：1）Lagrange插值多項(xiàng)式 2) Newton差商插值法 3）Aitken逐次線性插值法 4）等距節(jié)點(diǎn)情況下的Newton差分插值法 5）兩點(diǎn)三次Hermite插值法 6）Lagrange插值余項(xiàng)的極小化法求近似最佳一致逼近多項(xiàng)式 7）Newton-co

2、tes型求積公式 8）Romberg算法9）Gauss型求積公式10)Remes算法(機(jī)動(dòng)) 實(shí)驗(yàn)環(huán)境：裝有FORTRAN 4.0以上系統(tǒng)或C語言系統(tǒng)的微型計(jì)算機(jī) 實(shí)驗(yàn)要求： 在上機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)完成相應(yīng)實(shí)驗(yàn)的算法的程序編制，并上機(jī)運(yùn)行，學(xué)會(huì)應(yīng)用這些算法于實(shí)際問題，以便對(duì)算法有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解?？疾旌腕w會(huì)數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)的一些問題和現(xiàn)象： 誤差的估計(jì),算法的穩(wěn)定性、收斂性、收斂速度以及迭代初值對(duì)收斂的影響等。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（一）實(shí)驗(yàn)一：Lagrange插值多項(xiàng)式1、 目的：學(xué)會(huì)Lagrange插值算法,并應(yīng)用算法于實(shí)際問題;觀察Lagrange插值的龍格現(xiàn)象。2、 例題：1）取正弦函數(shù); 2）取函數(shù)

3、3、 要求：要求用鍵盤輸入,程序具有通用性.1)以0.32,0.34,0.36為節(jié)點(diǎn),分別用線性插值和拋物插值求正弦函數(shù) 在0.3367處的近似值;線性插值場合,比較內(nèi)插與外插.2）分別取節(jié)點(diǎn)數(shù) 的等距節(jié)點(diǎn)為插值點(diǎn)，構(gòu)造 出 ，并畫出其圖形，與 的圖形比較； 觀察在 附近的現(xiàn)象，寫出分析結(jié)果。4、公式：Lagrange插值多項(xiàng)式：，其中 （二）實(shí)驗(yàn)二：Newton差商插值法1、目的：學(xué)會(huì)Newton差商插值法,并應(yīng)用算法于實(shí)際問題.2、例題：取函數(shù) 3、要求：已知 用Newton差商插值法求4次Newton差商插值多項(xiàng)式在2.15處的值,以此作為函數(shù)值的近似值 4、公式：Newton差商插值多

4、項(xiàng)式： 其中、依次為一 階、二階、階差商.（三）實(shí)驗(yàn)三：Aitken逐次線性插值法1、目的：學(xué)會(huì)Aitken逐次線性插值法,并應(yīng)用算法于實(shí)際問題.2、例題：取雙曲正弦函數(shù) .3、要求：已知 用Aitken逐次線性插值法求在0.23處的具有六位正確的有效數(shù)字的近似值 ,要求一旦達(dá)到指定的精度,計(jì)算便自動(dòng)結(jié)束.4、 公式：Aitken逐次線性插值公式： 而（四）實(shí)驗(yàn)四：等距節(jié)點(diǎn)情況下的Newton差分插值法1、目的：學(xué)會(huì)等距節(jié)點(diǎn)情況下的Newton差分插值法,特別是Newton前插公式.并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：取函數(shù) 1、 要求：已知 用Newton前插公式求的近似值 .4、公式：New

5、ton前插公式： 其中 而 、依次為函數(shù)在處以為步長的一階、二階、階向前差分.（五）實(shí)驗(yàn)五：兩點(diǎn)三次Hermite插值法1、目的：學(xué)會(huì)兩點(diǎn)三次Hermite插值法,并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：取函數(shù) 3、要求：已知 用兩點(diǎn)三次Hermite插值公式求在2.45處的近似值 .4、公式：兩點(diǎn)三次Hermite插值公式： （六）實(shí)驗(yàn)六：Lagrange插值余項(xiàng)的極小化法求近似最佳一致逼近多項(xiàng)式1、目的：學(xué)會(huì)用Lagrange插值余項(xiàng)的極小化法求近似最佳一致逼近多項(xiàng)式(即用次Tchebycheff多項(xiàng)式的零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)作Lagrange插值多項(xiàng)式),并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：取函數(shù) 3

6、、要求：取,以 為節(jié)點(diǎn), 構(gòu)作Lagrange插值多項(xiàng)式,這就是函數(shù)的4次近似最佳一致逼近多項(xiàng)式.取等,插值來檢驗(yàn)逼近效果.4、公式：同Lagrange插值法.（七）實(shí)驗(yàn)七：Newton-cotes型求積公式1、目的：學(xué)會(huì)Newton-cotes型求積公式,并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：取定積分 3、要求：選擇等分?jǐn)?shù),用復(fù)化Simpson求積公式求上述定積分的誤差不超過 的近似值,已知定積分的準(zhǔn)確值為-12.0703463162、 公式：復(fù)化Simpson求積公式：其中 ,（八）實(shí)驗(yàn)八：Romberg算法1、目的：學(xué)會(huì)數(shù)值求積的Romberg算法,并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：求定積分

7、 3、要求：要求程序不斷加密對(duì)積分區(qū)間的等分,自動(dòng)地控制Romberg算法中的加速收斂過程,直到定積分近似值的誤差不超過為止,輸出求得的 定積分近似值.4、公式：數(shù)值求積的Romberg算法公式： 梯形求積公式： 復(fù)化梯形求積的遞推化公式： 加速收斂公式： 其中為定積分近似值,決定著Newton-cotes求積公式的階數(shù),例如為一階Newton-cotes求積公式(即梯形求積公式),一般地, 是階Newton-cotes求積公式的計(jì)算結(jié)果;決定著等分?jǐn)?shù), 是在等分情況下的階復(fù)化Newton-cotes求積公式的計(jì)算結(jié)果,例如意為不復(fù)化,對(duì)于梯形求積來說已經(jīng)是復(fù)化的了.（九）實(shí)驗(yàn)九：Gauss型

8、求積公式1、目的：學(xué)會(huì)Gauss型求積公式,并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：取定積分 3、要求：把Gauss點(diǎn)的表格存入計(jì)算機(jī),以Gauss-Legendre求積公式作為本實(shí)驗(yàn)的例子,要求程序可以跟據(jù)不同的階數(shù),自動(dòng)地用階Gauss-Legendre求積公式計(jì)算上述定積分的近似值.體會(huì)Gauss型求積公式是具有盡可能高的代數(shù)精度的數(shù)值求積公式.4、公式：Gauss-Legendre求積公式：其中是Gauss點(diǎn),它們是次Legendre正交多項(xiàng)式的零點(diǎn),求積系數(shù)可如下求得：其中為次Legendre正交多項(xiàng)式.（十）實(shí)驗(yàn)十：Remes算法(機(jī)動(dòng))1、目的：學(xué)會(huì)用Remes算法求近似最佳一致逼近多項(xiàng)式,并應(yīng)用該算法于實(shí)際問題.2、例題：取函數(shù) 3、要求：用Remes算法求在上的二次近似最佳一致逼近多項(xiàng)式.取初始近似偏差點(diǎn)為使三次Tchebycheff多項(xiàng)式輪流達(dá)到和的點(diǎn),即 要求迭代進(jìn)行到為止,其中 而是步近似最佳一致逼近多項(xiàng)式.4、公式：第1步：選取初始近似偏差點(diǎn)第2步：將近似偏差點(diǎn)代入線性方程組,求解4個(gè)未知數(shù),即近似最佳一致逼近多項(xiàng)式的3個(gè)系數(shù)和近似最小偏差(注意: 中包含因子,可能為負(fù)).第3步：利用第2步的結(jié)果,對(duì)近似偏差點(diǎn)作修正,新的近似偏差點(diǎn)使得達(dá)